Pola i fale elektromagnetyczne
Ćwiczenie 5
Fala płaska w ośrodkach stratnych.
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zespolony współczynnik propagacji:
= + ² = j 1 -
= 1 + - 1 = 1 + + 1
2 2
współczynnik tłumienia współczynnik fazowy
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Dla materiału silnie stratnego (metalu), czyli gdy k" 1 uproszczone wyrażenia na
impedancję i powyższe współczynniki mają postać
H" H" H"
Dla materiału mało stratnego (dielektryka), czyli gdy j"1
H" H" H"
Wzory na długość i prędkość fali oraz relacje impedancyjne, które wyprowadzone
były dla ośrodków bezstratnych, pozostają prawdziwe!
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zadanie:
Wyznacz głębokość wnikania fali elektromagnetycznej o częstotliwości = 2.4 GHz w miedz
(przyjąć: = 6 Å" 10 S/m,
= 1 i = 1).
Odp: = = E" 1.33 Å" 10 m
Korzyść praktyczna tego zjawiska jest taka, że aby uzyskać niskie straty komponentów mikrofalowych
(np. prowadnic, falowodów) wystarczy pokryć je cienką warstwą bardzo dobrego przewodnika (np.
srebro, złoto, miedz
).
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zadanie:
W oÅ›rodku o parametrach = 10, = 36 i = 2 · 10 rozchodzi siÄ™ elektromagnetyczna
fala płaska. Wyznacz długość i prędkość fazową fali oraz odległość, na której jej amplituda
zmaleje pięciokrotnie. Przyjmij, ze częstotliwość wynosi:
(a) f = 1kHz, (b) f = 1GHz.
RozwiÄ…zanie (a):
w celu ustaleniu typu ośrodka należy określić wartość
= 10 k" 1
Zatem współczynnik fazowy i współczynnik tłumienia wyznaczyć można ze wzoru:
= = = · 10 · 4 · · 10 · 10 · 2 · 10 = 2 2 10 .
StÄ…d:
= = 500 2 ,
·
= = = 5 2 · 10 .
Odległość d, na której amplituda pola zmaleje pięciokrotnie wyznaczyć można z relacji
= .
Zatem = 5 i ostatecznie
ln(5) 250 2ln(5)
= = .
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
RozwiÄ…zanie (b):
w celu ustaleniu typu ośrodka należy określić wartość
= 10 j" 1
zatem
= = = 60 = 0.02 10
= = = 40 10 .
StÄ…d:
= = ,
= = 5 10 · 10 .
Odległość d, tak jak w punkcie (a), wyznaczamy z relacji
ln(5) 5 10ln(5)
= = .
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zadanie:
zatem
&!
Ostatecznie
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Zadanie:
Głębokość wnikania dla ośrodka o przenikalności elektrycznej = 4 i przewodności = 1 S/m przy częstotliwości
= 30 MHz wynosi = m. Określ przenikalność magnetyczną ośrodka oraz długość i prędkość rozważanej fali.
Zakładając, że pole elektryczne w ośrodku ma postać , , , = 60 cos - V/m wyznacz
towarzyszÄ…ce mu pole magnetyczne.
Odp.:
= 3,
= m,
= 10 m/s,
, , , = - 5 2 cos - - A/m,
gdzie = 6 10 rad/s,
= = 6 rad/m,
=
4
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Dodatek 1 Wyprowadzenie wyrażeń ogólnych na i
W związku z tym współczynnik tłumienia wyznaczamy korzystając z
Wychodzimy ze wzoru na :
wyrażenia:
Podnosząc równanie do kwadratu i wymnażając wyrażenie w nawiasie
otrzymujemy
Ponieważ:
Wstawiając powyższą zależność do układu równań otrzymujemy:
możemy zapisać następujący układ równań:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
WyznaczajÄ…c ² z drugiego równania i podstawiajÄ…c do pierwszego
otrzymujemy:
otrzymujemy:
2
Podstawiając = e" 0 otrzymujemy równanie kwadratowe:
dla którego wyróżnik wynosi:
i rozwiÄ…zanie (nieujemne):
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Dodatek 2 Wyprowadzenie wyrażeń ogólnych na | | i
Aby wyznaczyć moduł i fazę impedancji falowej dla ośrodka stratnego wychodzimy ze wzoru:
gdzie
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Dodatek 3 Wyprowadzenie wyrażeń na i w ośrodku słabo stratnym j" 1
Uwzględniając przyjęte założenie j" 1 we wzorach wyprowadzonych w Dodatku 1 czynnik ten może zostać pominięty. Jednakże w
przypadku współczynnika tłumienia oraz fazy impedancji falowej taki krok prowadziłby do całkowitego wyzerowania tych elementów.
Wówczas w przypadku współczynnika tłumienia korzystamy z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora 1 + H" 1 + dla | | << 1
i otrzymujemy:
Współczynnik fazowy redukuje się do postaci:
Moduł impedancji falowej:
Do wyznaczenia fazy impedancji falowej korzystamy z założenia tan H" dla << 1 i otrzymujemy:
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej
Dodatek 4 Wyprowadzenie wyrażeń na i w ośrodku silnie stratnym k" 1
Uwzględniając przyjęte założenie j" 1 we wzorach wyprowadzonych w Dodatku 1 w przypadku współczynnika
tłumienia otrzymujemy:
W ten sam sposób redukuje się współczynnik fazowy:
Moduł i faza impedancji falowej wynoszą odpowiednio:
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej