Wykład VIII Mechanika
Teoria małych drgań
Mamy układ M ciał punktowych poddanych f więzom.
& & &
funkcja Lagrange a: L = T (x1, x2,...x3M ) -V (x1, x2,...x3M )
więzy: fi (x1, x2,...x3M ) = 0, i = 1,2,... f
stopnie swobody: N = 3M - f
współrzędne uogólnione: {q1, q2,...qN}
0 0 0
Zakładamy, że V (q1,q2,...qN ) ma minimum w (q1 ,q2 ,...qN ) i rozwijamy V (q1,q2,...qN )
wokół tego minimum
N N
"V 1 "2V
0 0 0
V (q1,q2,...qN ) H" V (q1 , q2 ,...qN ) + (qi - qi0) + (qi - qi0)(qj - q0)
" " j
"qi qi = 2 "qi"qj qi =qi0
0
i=1 i, j=1
i , q =q0
j j
1424q
3
=0
"2V
Macierz Kij a" jest symetryczna tzn. Kij = K i dodatnio określona, bo w
ji
"qi"qj qi =qi0, q =q0
j j
0 0 0
(q1 ,q2 ,...qN ) jest minimum. Dodatnia określoność oznacza, że uiKiju > 0 dla dowolnych
j
r
niezerowych wektorów rzeczywistych u = (u1,u2,...uN ) " RN .
Rozważamy teraz energię kinetyczną, która zapisujemy w postaci
3M 3M N N 3M
ëÅ‚ ëÅ‚
1 1 "xi & öÅ‚ìÅ‚ N "xi & öÅ‚ 1 "xi "xi öÅ‚
÷Å‚qjqk .
&
T = mixi2 = miìÅ‚ qi ÷Å‚ëÅ‚ qk ÷Å‚ = & &
" " " " "ìÅ‚"mi
ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
2 2 "qj ÷Å‚íÅ‚ j=1 "qk ÷Å‚ 2 "qj "qk ÷Å‚
i=1 i=1 j=1 j,k=1 i=1
Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Wprowadzamy oznaczenie
3M
"xi "xi
jk
Åš (q1,q2,...qN ) a"
"mi
"qj "qk
i=1
jk jk 0 0 0
i definiujemy symetryczną macierz masy M = Ś (q1 ,q2 ,...qN ) , o której zakładamy, że jest
dodatnio określona. Energię kinetyczną przybliżamy jako
N
1
& &
T H" qjqk .
"M kj
2
j,k=1
1
Wykład VIII cd. Mechanika
Wprowadzamy nowe współrzędne: hi a" qi - qi0, i = 1,2,...N
N
1
& &
funkcja Lagrange a: L = (Mijhihj - Kijhihj)
"
2
i, j=1
& &
d "L(h, h) "L(h, h)
równania Lagrange a: - = 0, i = 1,2,K N
&
dt "hi "hi
N
&
(Mijh&j + Kijhj)= 0 ,
"
j=1
gdzie skorzystaliśmy z symetryczności macierzy M i K. Szukamy teraz rozwiązań w postaci:
hi a" cieiÉt, i =1,2,...N ( fizyczne rozwiÄ…zanie odpowiada części rzeczywistej !eiÉt = cosÉt )
N
Ć Ć
(Kij -É2Mij)cj = 0 Ô!
det(K -É2M)= 0
"
j=1
Ć Ć
Równanie charakterystyczne det(K -É2M)= 0 jest równaniem stopnia N ze wzglÄ™du na É2
i ma co najwyżej N różnych rozwiązań.
Twierdzenie
RozwiÄ…zania równania charakterystycznego sÄ… rzeczywiste (É2 " R) i dodatnie (É2 > 0) .
Dowód
n N N
* *
(Kij -É2Mij)cj = 0 Ò! (Kij -É2Mij)ci cj = 0
"ci " "
i=1 j=1 i, j=1
cj = a + ibj , aj a" !cj, bj a" !cj
j
N N
(Kij -É2Mij)(ai - ibi)(aj + ibj)= (Kij -É2Mij)(aiaj + bibj + i(aibj - biaj ))
" "
i, j=1 i, j=1
N
Kij -É2Mij = K -É2M Ò! (Kij -É2Mij)(aibj - biaj)= 0
ji ji "
i, j=1
N
Równanie (Kij -É2Mij)ci*cj = 0 przybiera postać
"
i, j=1
N
N
Kij(aia + bibj)
" j
(Kij -É2Mij)(aiaj + bibj)= 0
"
i, j=1
i, j=1 É2 =
N
(aia + bibj)
N N
"M ij j
i, j=1
É2 (aiaj + bibj)= (aiaj + bibj)
"Mij "Kij
i, j=1 i, j=1
Ponieważ Mij , Kij,ai,bi sÄ… rzeczywiste, wiÄ™c É2 " R , a ze wzglÄ™du na dodatniÄ… okreÅ›loność
Mij , Kij mamy É2 > 0 .
2