Kn K
(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ,
ą (x1, x2, ..., xn) = (ąx1, ąx2, ..., ąxn) ,
ą xi, yi " K i " {1, 2, ..., n} , K
C(a,b) (a, b) ,
d" n, n " N,
W = {(x, y) ; x " R, y = 0 " R}
(x, 0) (x , 0) = (x + x , 0) , ą (x, 0) = (ąx, 0) , ą " R,
R2
U = (x1, x2, x3, x4) " R4; x1 + x2 - x3 = 0
R4
U = (x1, x2, x3, x4, x5) " R5; x1 + 2x2 - x4 = 0, x2 - 4x3 + x5 - 1 = 0
R5
 W
V
a) W = {(x, y) " R2; 2x = 3y} , V = R2
b) W = {(x, y, z); x - y = y + z = 0} , V = R2.
W
V
x y
a) W = ; x, y " R , V = M2 (R) ,
x + y 2x
0 0
b) W = A; A AT = , V = M2(R).
0 0
R3
a) U = { (x, y, 1) ; x, y " R} ,
b) U = { (x, y, z) ; x + 2y - z = 0, x, y, z " R} ,
c) U = { (0, 0, z) ; z " R} ,
d) U = { (x, y, 0) ; x2 = y2, x, y " R} ,
e) U = { (x, y, z) ; x2 + y2 + z2, x, y, z " R} ,
f) U = { (x, x, z) ; x, z " R} .
a b
g) ; a, b, c " R ,
0 c
a b
h) ; a + b = c + d, a, b, c, d " R .
c d
M2(R)
c) A ; A " M2(R), A = AT
d) { A ; A " M2(R), A B = 0} , B M2(R),
e) { A ; A " M2(R), A2 = A} ,
f) {A; A " M2(R), det A = 0} .
a) (3, -2, 5) , (0, -1, -1) ;
b) (3, -2, 5) , (1, 1, 1) , (0, -5, 2) ;
c) (1, -2, 3) , (1, 0, 1) , (-1, -2, 1) .
R3
a) (1, 0, 2) , (1, 3, 0), (1, 1, 1), b) (2, 3, 1) , (3, 2, 0) , (7, 8, 2) .
a " R
(1, 2, 2a) , (3, 2, 1) , (2, 0, a)
R3
m
(1, 2, 0) , (2, -1, -1) , (0, m, 2)
R3
u, v, w " V(K)
a) u + v, u + v + w, w,
b) u + v - w, u - v, u + v;
1 -1
I, A, A2, A =
2 1
M2R.
v (u, w).
a) v = (1, -1, 2), u = (1, 1, 1), w = (0, 1, 3);
b) v = (3, 1, -3), u = (1, 1, 1), w = (0, 1, 3);
c) v = (4, 1, -3, 1), u = (1, 0, 1, 0), w = (2, 0, 1, 3);
1 3 1 -1 2 1
f) v = , u = , w = ;
-1 1 2 1 1 0
1 -4 1 -1 2 1
g) v = , u = , w = .
5 3 2 1 1 0
M2(R)
1 0 1 0 0 1 1 1
, , , .
0 0 0 1 1 0 0 1
 V,
((1, 0, -1) , (1, -1, 0), (0, 1, -1)); V = R3
((1, 2, -1) , (3, -1, 0), (5, 3, -2)); V = R3
1 2 1 0 1 2 0 2
, , , ; V = M2(R)
-1 0 -1 0 0 0 -1 1
R4
a) {(a, a + b, a - b, b) ; a, b " R} ,
b) {(a, b, c, d) ; a + 2b - c + 3d = 0, a, b, c, d " R} ,
c) {(a, b, c, d) ; a - 2b = 3c - d, 3b - 4d = a - 2c, a, b, c, d " R} .
M2(K).
a) A ; AT = -A ,
1 1 1 1
b) A ; A = A ;
-1 0 -1 0
1 0 0 0
c) A ; A = A ,
-1 0 0 0
1 1 0 1
d) A ; A = A .
-1 0 -1 1
v = (1, 2, 0, 1, 3) " R5.
R5 v
R5 v
U
(x1, x2, x3, x4, x5) " R5
x1 - 2x2 - x3 + x4 - x5 = 0,
x2 - x3 + x4 - x5 = 0,
x1 - x2 + 2x3 - 2x4 + 2x5 = 0,
x1 + 3x2 - 2x3 + 2x4 - 2x5 = 0.
U
(x1, x2, x3, x4) " R4
2x1 - x2 + x3 + x4 = 0,
x1 + 2x2 - x3 - x4 = 0,
x1 - 3x2 - x3 - 2x4 = 0,
x1 + x2 - 2x3 + 2x4 = 0.
(u, v, w) V
V
a) (u + v, u + w, v + w) , b) (2u + v+3w, 3u + v - w, v-4w) ,
b) (u, u + v + w) , d) (u + v + w, 3u + v, -w, v-4w) ,
a b (a, a + b, 0, 1) , (b, 2, a, 0)
y + z + t = 4
x + y + z = 4
x + z + t = -1
a) 2x - 3y + 5z = -5 ; b) ;
x + y + t = 2
-x + 2y - z = 2
x + y + z = -2
x + y = 3
y + z = 5
c) z + u = 7
u + v = 9
10x + v = 15
a) 2x - y + 3z = 9 b) 2x - y - 6z + 3 = 0
3x - 5y + z = -4 7x - 4y + 2z - 15 = 0
4x - 7y + z = 5, x - 2y - 4z + 9 = 0.
c) 2x1 + 2x2 - x3 + x4 = 4 d) x1 + x2 + x3 + x4 = 0
4x1 + 3x2 - x3 + 2x4 = 6 2x1 - 3x2 + 4x3 - 2x4 = 17
8x1 + 5x2 - 3x3 + 4x4 = 12 - x1 + 3x3 - x4 = 7
3x1 + 3x2 - 2x3 + 2x4 = 6, 3x1 + 4x2 + 2x3 - 3x4 = 9,
e) x1 + x2 + x3 - x4 - x5 = 3 f) x1 + 2x2 + 5x3 + 9x4 = 79
2 x1 + 3x2 + 4x3 - 5x4 + x5 = 5 3 x1 + 13x2 + 18x3 + 30x4 = 263
-2 x2 - 2x3 + 3x4 + 3x5 = -6 2 x1 + 4x2 + 11x3 + 16x4 = 146
4x1 + x2 - 3x4 - 2x5 = 5 x1 + 9x2 + 9x3 + 9x4 = 92,
x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 0,
g) a x1 + x2 + ... + xn-1 + xn = 1
x1 + a x2 + ... + xn-1 + xn = 1
x1 + x2 + ... + xn-1 + a xn = 1, a " R,
�ł łł
t - s - 1
�ł śł
t + s + 1
�ł śł
s, t " R
�ł �ł
s
t
x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = -3,
2x1 - x2 + 3x3 - x4 = -3.
2x - 3y - z = 0, x, y, z " R.
a, b, c " R
a) 3x + y - z = a a) 2x + y - z = a c) - x + 3y + 2z = -8
x - y + 2z = b 2y + 3z = b x + z = 2
5x + 3y - 4z = c x - z = c 3x + 3y + az = b
d) a x1 + x2 + x3 = 1 e) a x + y + z = 1 f) x + 4y - 2z = -b
x1 + a x2 + x3 = 1 x + b y + z = 1 3x + 5y - bz = 3
x1 + x2 + a x3 = 1, x + y + c z = 1, bx + 3by + z = b.
a " R
a x + y + z + t = 1
x + a y + z + t = a
x + y + a z + t = a2
x + y + z + a t = a3.
�ł łł
1 0 0 0 1
�ł łł
�ł śł
1 2 3 4 0 0 1 0 1
�ł śł
�ł �ł �ł śł
a) -1 0 1 0 , b) 0 0 0 0 0 .
�ł śł
�ł �ł
0 2 4 4 0 0 1 0 1
1 0 1 0 2
�ł łł
�ł łł
3 5 1 7
�ł łł
1 3 5 -1
�ł śł
2 -1 3 -2 4 -1 -3 -3 -5
�ł śł �ł śł
2 -1 -3 4
�ł �ł �ł śł �ł śł
a) 4 -2 5 1 7 , b) , 2 c) 3 2 -5 1 ,
�ł �ł �ł śł
5 1 -1 7
�ł �ł
2 -1 1 8 2 2 3 0 4
7 7 9 1
5 4 7 1
�ł łł �ł łł
4 3 -5 2 3 17 -28 45 11 39
�ł łł
�ł śł �ł śł
8 6 -7 4 2 47 -67 35 201 155 24 -37 61 13 50
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł �ł �ł śł
d) 4 3 -8 2 7 , e) 26 98 23 -294 86 , f) 25 -7 32 -18 -11 .
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
4 3 1 2 -5 16 -428 1 1284 52 31 12 19 -43 -55
8 6 -1 4 -6 42 13 29 -55 -68
�ł łł �ł łł
�ł łł
3 2 1 3 1 0 1 0 2
1 1 0 2 1
�ł śł �ł śł
1 0 1 2 2 0 0 - 3
�ł śł �ł śł �ł śł
0 1 2 5 0
�ł śł �ł śł �ł śł
g) , h) 2 1 3 3 , i) -2 3 0 0 0 .
�ł �ł �ł śł �ł śł
2 0 1 4 1
�ł �ł �ł �ł
0 4 1 1 0 3 1 0 2
-1 2 3 7 0
1 1 3 4 1 2 1 3 3

�ł łł
3 1 1 4
�ł śł
 4 10 1
�ł śł
�ł �ł
1 7 17 3
2 2 4 3
A 
�ł łł �ł łł
1  -1 2 1 -1 1
�ł �ł �ł �ł
a) A = 2 -1  5 , b) A = -1 1  .
1 10 -6 1   
a) x - y + 2z + t = 1 b) 2x + 2y - z + t = 1
3x + y + z - t = 2 x - y - z + 3t = 2
5x - y + 5z + t = 4, 3x + 5y - 4z - t = 0.
x + y + z - t + 4s = 0
x - y + z + 2t = 0 2x - y + 2t + s = 0
a) , b) .
3x - 3y + 2z + t = 0 4x - y - 3z - t - s = 0
3x + 2y - z = 0
2x + 3y + z - 2s - t = 6
x - 3y + z - 2s - t = 0
4x + 7y + 2z - 5s + t = 17
a) ; b) 3x + 4y - z + s + 3t = 1 .
6x + 5y + 3z - 2s - 9t = 1
x - 8y + 5z - 9s + t = -1
2x + 6y + z - 5s - 10t = 12
2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6 x1 - 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2
a) 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 ; b) 7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5 ;
9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2 5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3
3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2
6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5
2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3
4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4
c) 9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 = 1 ; d) ;
4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0
2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
2x1 + x2 + 7x3 + 3x4 + 5x5 = 1
7x1 + x2 + 6x3 - x4 = 7
x1 - x3 = 0
x1 - x3 + x5 = 0
x2 - x4 = 0
x2 - x4 + x6 = 0
-x1 + x3 - x5 = 0
e) x1 - x2 + x5 - x6 = 0 ; f) .
-x2 + x4 - x6 = 0
x2 - x3 + x6 = 0
-x3 + x5 = 0
x1 - x4 + x5 = 0
-x4 + x6 = 0