PRZYKA
ADOWE ZADANIA Z ROZWI
ZANIAMI
Zadanie 1.
Niech A = {-1, 1, 3}. Niech B będzie zbiorem wartości funkcji f : A B zdefiniowanej
następująco f(x) = x2 - 2x + 2. Wyznacz następujące zbiory: A *" B, A )" B, A \ B, B \ A,
A × B, B × A, 2A, 2B.
Rozwiązanie: A = {-1, 1, 3}, f(x) = x2 - 2x + 2. Obliczamy wartości funkcji
f(-1) = (-1)2 - 2 · (-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5.
f(1) = 1 - 2 + 2 = 1.
f(3) = 32 - 2 · 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5.
Zatem B = {1, 5}. Wykresem funkcji jest trzypunktowy zbiór {(-1, 5), (1, 1), (3, 5)}.
Wyznaczamy zbiory:
A *" B = {-1, 1, 3, 5}.
A )" B = {1}.
A \ B = {-1, 3}.
B \ A = {5}.
A × B = {(-1, 1), (1, 1), (3, 1), (-1, 5), (1, 5), (3, 5)}.
B × A = {(1, -1), (1, 1), (1, 3), (5, -1), (5, 1), (5, 3)}.
2A = {", {-1}, {1}, {3}, {-1, 1}, {-1, 3}, {1, 3}, {-1, 1, 3}}.
2B = {", {1}, {5}, {1, 5}}.
1
Zadanie 2.
Ciąg an jest zdefiniowany rekurencyjnie następująco:
a1 = 8,

n-1

n
an = ai.
i
i=1
Oblicz a5.

n
Przypomnijmy, że symbol oznacza liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-
k
elementowego i

n n! 1 · 2 · ... · (n - 1) · n
= = .
k k! · (n - k)! (1 · 2 · ... · (k - 1) · k)(1 · 2 · ... · (n - k - 1) · (n - k))
RozwiÄ…zanie:
a1 = 8.

2
a2 = · a1 = 2 · 8 = 16.
1

2

3 3 3
a3 = ai = a1 + a2 = 3 · 8 + 3 · 16 = 24 + 48 = 72.
i 1 2
i=1

3

4 4 4 4
a4 = ai = a1 + a2 + a3 = 4 · 8 + 6 · 16 + 4 · 72
i 1 2 3
i=1
= 32 + 96 + 288 = 416.

4

5 5 5 5 5
a5 = ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 5 · 8 + 10 · 16 + 10 · 72 + 5 · 416
i 1 2 3 4
i=1
= 40 + 160 + 720 + 2080 = 3000.
2
Zadanie 3.
Napisać zaprzeczenia zdań.

x " B.
x<10

y 8 =Ò! y2 " B.
y"B
ëÅ‚ öÅ‚


íÅ‚
x " B '" y > 8 =Ò! y2 " BÅ‚Å‚ .
x<10 y"B
ëÅ‚ öÅ‚


íÅ‚
x " B (" y > 8 =Ò! y2 " BÅ‚Å‚ .
x<10 y"B
RozwiÄ…zanie:

Zaprzeczeniem zdania x " B. (Pewna liczba mniejsza od 10 należy do zbioru B)
x<10
będzie zdanie

x " B.
/
x<10
(Żadna liczba mniejsza od 10 nie należy do zbioru B).

Zaprzeczeniem zdania y > 8 =Ò! y2 " B. (Dla każdego elementu zbioru B, wiÄ™kszego
y"B
od 8, jego kwadrat należy do zbioru B) będzie zdanie

y > 8 '" y2 " B.
/
y"B
(Istnieje element zbioru B większy od 8, którego kwadrat nie należy do zbioru B).
Z praw de Morgana zaprzeczeniem zdania
ëÅ‚ öÅ‚


íÅ‚
x " B '" y > 8 =Ò! y2 " BÅ‚Å‚ .
x<10 y"B
będzie zatem zdanie
ëÅ‚ öÅ‚


íÅ‚
x " B (" y > 8 '" y2 " BÅ‚Å‚ ,
/ /
x<10 y"B
a zaprzeczeniem zdania
ëÅ‚ öÅ‚


íÅ‚
x " B (" y > 8 =Ò! y2 " BÅ‚Å‚ .
x<10 y"B
będzie zdanie
ëÅ‚ öÅ‚


íÅ‚
x " B '" y > 8 '" y2 " BÅ‚Å‚ .
/ /
x<10 y"B
3
Zadanie 4.
Niech A = {1, 2, 3}. Zbadać własności (zwrotność, symetryczność, przechodność) nastę-
pujÄ…cych relacji w zbiorze A:
r1 = {(1, 3), (3, 1)}.
r2 = {(1, 1), (1, 3), (3, 1)}.
r3 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}.
r4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
RozwiÄ…zanie: Relacja r1 jest symetryczna, nie jest zwrotna i nie jest przechodna. Nie
jest zwrotna, gdyż (1, 1) " r1. Nie jest przechodna, gdyż
/
(1, 3) " r1 i (3, 1) " r1, ale (1, 1) " r1.
/
Relacja r2 jest symetryczna, nie jest zwrotna i nie jest przechodna. Nie jest zwrotna,
gdyż (2, 2) " r1. Nie jest przechodna, gdyż
/
(3, 1) " r1 i (1, 3) " r1, ale (3, 3) " r1.
/
Relacja r3 nie jest symetryczna, nie jest zwrotna i nie jest przechodna. Nie jest syme-
tryczna, gdyż
(1, 2) " r3, ale (2, 1) " r3.
/
Nie jest zwrotna, gdyż (1, 1) " r3. Nie jest przechodna, gdyż
/
(2, 3) " r3 i (3, 1) " r3, ale (2, 1) " r3.
/
Relacja r4 jest symetryczna, jest zwrotna i jest przechodna.
Zadanie 5.
Udowodnić przez indukcję twierdzenie:
Dla każdego n > 4, n2 < 2n.
RowiÄ…zanie: 10. Sprawdzamy dla n=5. Lewa strona = 52 = 25 < 32 = 25 = Prawa
strona.
20. Trzeba pokazać, że jeśli n2 < 2n, to (n + 1)2 < 2n+1.
ZakÅ‚adamy, że n2 < 2n. GdybyÅ›my pokazali, że (n+1)2 < 2·n2, to korzystajÄ…c z zaÅ‚ożenia
indukcyjnego n2 < 2n, dostaniemy
(n + 1)2 < 2 · n2 < 2 · 2n = 2n+1.
A zatem wystarczy pokazać, że
(n + 1)2 < 2 · n2.
Obliczamy lewą stronę (n + 1)2 = n2 + 2n + 1. Ponieważ n > 4, to tym bardziej n > 1 i
n > 3. Skoro n > 1, to
n2 + 2n + 1 < n2 + 2n + n = n2 + 3n.
A 3n < n2, bo 3 < n. Zatem
n2 + 2n + 1 < n2 + 2n + n = n2 + 3n < n2 + n2 = 2n2.
4