Elektryczność i magnetyzm.
Pole elektryczne w pró\
ni
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Podręczniki (HRW)
David Halliday, Robert
Resnick, Jearl Walker,
Podstawy fizyki. T. 3,
Elektryczność i
magnetyzm, Wydawnictwo
Naukowe PWN Warszawa,
2003, Cena: 49,90 zł.
Podręczniki (IWS)
I.W. Sawieliew, Wykłady
z fizyki, t. 2,
Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 1998,
cena 47 zł.
Podręcznik uzupełniający (WF)
Feynmana wykłady z fizyki.
T. 2, cz. 1, Elektryczność i
magnetyzm.
Elektrodynamika,
Wydawnictwo Naukowe
PWN, 2004, Cena: 39,00 zł.
Podręcznik bardziej zaawansowany
(DG)
David J. Griffiths,
Podstawy
elektrodynamiki,
Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 2005
Cena: 49,90
A
adunek elektryczny (HRW R.22)
" Istnieją dwa rodzaje ładunku, umownie nazwane dodatnim
i ujemnym.
" A
adunki ró\
nego znaku przyciągają się, jednakowego 
odpychają.
" Wszystkie ciała istniejące w przyrodzie mają zdolność
nabywania albo oddawania ładunku  elektryzowania się.
" A
adunek elektryczny jest nieodłączną własnością
niektórych cząstek elementarnych. Wszystkie one mają
ładunek jednakowej wielkości, chocia\
mo\
e on mieć ró\
ny
znak.
" Elementarny ładunek dodatni będziemy oznaczali literą e.
" A
adunek elektronu równy jest  e, protonu e, neutronu 0e.
Budowa otaczającej nas materii
(HRW R.22)
Otaczająca nas materia zbudowana jest atomów.
Składnikami atomów są elektrony, neutrony i
protony. Oprócz tego otaczają nas fotony  cząstki
bez ładunku elektrycznego i bez masy. Istnieją
jeszcze inne cząstki elementarne, ale spotykamy je
jedynie w wyjątkowych sytuacjach  w specjalnych
laboratoriach czy w wiązkach promieni kosmicznych.
Stabilna materia jest zrównowa\
ona pod względem
elektrycznym.
Budowa nukleonu
Własności kwarka d (down):
d
u
masa: 4 do 8 MeV/c�,
ładunek elektryczny: -1/3 e,
d
spin: �.
u
d
Własności kwarka u (upper):
masa: 1,5 do 4 MeV/c�,
u
ładunek elektryczny: +2/3e,
spin: �
Ziarnistość ładunku
A
adunek Q ka\
dego ciała naładowanego jest
wielokrotnością ładunku elementarnego e
Q=ąeN.
Jednak je\
eli N>>1, to ziarnistości ładunku nie
odczuwamy.
Zasada zachowania ładunku
(HRW R.22)
Sumaryczny ładunek ciała odizolowanego
elektrycznie nie mo\
e ulec zmianie.
Ogólniej: w procesach, w których biorą udział
cząstki elementarne ładunek jest zachowany.
Charles Augustin de Coulomb
Urodził się: 14 czerwca 1736 w Angoulęme, Francja,
zmarł: 23 sierpnia 1806 w Pary\
u.
Grudniu 1761 Coulomb zakończył studia i został dobrze
wyszkolonym in\
ynierem w randze porucznika w  Corps du
G�nie . Budował Fort Bourbon na Martynice. Po powrocie
do Francji zajął się statyką budowli. Pracując w Cherbourgu
napisał słynną rozprawę o kompasie magnetycznym, którą
przedstawił do nagrody Akademii Nauk w 1777. Następnie
zajął się drganiami torsyjnymi włókien. Zajmował się teorią
tarcia. Spełniał szereg funkcji państwowych.
Charles Augustin de Coulomb
Coulomb - fizyk
Wyniki badań dotyczące skręcania nici Coulomb
przedstawił w 1784 r. Zbudował instrument, który
pozwolił mierzyć z du\
ą precyzją siły oddziaływania
ładunków elektrycznych, magnesów i oddziaływania
grawitacyjne.
Charles Coulomb razem z Henry Cavendishem jest
ojcem elektrostatyki i magnetostatyki. W serii
siedmiu prac Coulomb opisał w latach (1785-1791)
prawa elektrostatyki i magnetostatyki.
Aparat Coulomba
A
adunek punktowy
Je\
eli L  liniowe rozmiary ciała o ładunku q są
małe w porównaniu z odległościami tego ciała do
innych ciał naładowanych elektrycznie (L<to ciało nazywamy ładunkiem punktowym.
r
L
Prawo Coulomba (HRW & 22.4)
Siła oddziaływania dwóch ładunków punktowych
jest proporcjonalna do ka\
dego z ładunków
i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości
r pomiędzy nimi. Kierunek tej siły pokrywa się
z prostą łączącą te ładunki. Kierunek tej prostej
określa jednostkowy wektor e12.
q1q2
F12 = -k e12 = -F21 , gdzie e12e12 =1
r2
q2
q1
e12
F12
F21
Prawo Coulomba
q1q2
F12 = -k e12 .
r2
Je\
eli ładunki mają ten sam znak q1q2>0, to
F12 <" -e12 = e21.
Siła jest skierowana przeciwnie skierowana do
e12
wektora .
Je\
eli ładunki mają ró\
ne znaki q1q2<0, to
F12 <" e12.
Siła Culomba jest siłą centralną
Siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy
dwoma ładunkami punktowymi jest centralna, bo
zale\
y ona jedynie od wektora je łączącego.
q1q2
F12 = -k e12 .
z
q1 r12
2
q2
r12
r1
e12 = -e21 �! spelniona jest III
r2
zasada dynamiki Newtona :
x
y
F12 = -F21 .
Zbiór ładunków
Doświadczenie pokazuje, \
e obecność dodatkowych
ładunków nie zmienia oddziaływania pomiędzy q1 i
q2. Rozwa\
ymy N ładunków (N>2). Na i-ty ładunek
działa siła:
N N
/
Fi = Fij a" Fij ,
" "
j=1 j=1
( j`"i)
`"
`"
`"
Fij
gdzie jest siłą z jaką, pod nieobecność
pozostałych ładunków, na wybrany i-ty ładunek
działa j-ty ładunek (j=1,2,..,i-1,i+1,...,N).
Układ Gaussa jednostek
a) Je\
eli we wzorze Coulomba poło\
ymy k=1,
wyrazimy ładunek elektryczny w jednostkach
bezwzględnego elektrostatycznego układu
ładunku. Po dołączeniu jednostek
magnetycznych powstaje w ten sposób układ
jednostek Gaussa. Oparty jest on na
pomiarach odległości (L), masy (M) i czasu
(T) (liniał, waga i zegar). Podstawowymi
jednostkami tego układu są gram (g),
centymetr (cm) i sekunda (s).
Układ jednostek SI
Współcześnie u\
ywamy układu SI.
Podstawowymi jednostkami w SI są metr (m),
kilogram (kg), sekunda (s), amper (A), kelwin
(K), kandela i mol. Siłę określa się na podstawie
oddziaływania przewodników z prądem.
Prawo Coulomba w SI
W układzie SI stała k jest ró\
na od jedności
1
k = `"1 .
`"
`"
`"
4Ą�0
Stała �0 nazywa się stałą elektryczną, albo
przenikalnością elektryczną pró\
ni.
W układzie SI jednostką ładunku jest
Coulomb (1C).
Siły oddziaływania pomiędzy
ładunkami 1C w odległości 1 m
Wielkość siły F1 z jaką oddziałują dwa ładunki
punktowe o wielkości 1 C ka\
dy, znajdujące się
w odległości 1 m:
F1 H" 9�109 N H" 109 kG.
A
adunek elementarny e wyra\
ony w kulombach
e = 1,60 �10-19 C
Wielkość stałej elektrycznej �0
W układzie SI: jednostkowe ładunki (ka\
dy równy
1C) znajdują się w odległości jednostkowej (1 m),
wtedy siła oddziaływania F12 ich wzajemnego
oddziaływania równa jest 9�109 N.
2
1C
1 ( )
F12 = 9�"109 N = .
4Ą�0 1m 2
( )
1 C2 C2 1
�0 = H" 0,85 �"10-11 =
4Ą �"9 �"109 Nm2 Nm m
F
= 0,85 �"10-11 F / m.
Stała �0 ma wymiar fizyczny
�
�
�
C2/(Nm2)= [C2/Nm]/m a" 1F/m.
Iloraz C2/Nm = F nazywa się faradem.
Pole elektryczne (HRW R. 23)
Oddziaływanie dwóch nieruchomych
ładunków odbywa się za pośrednictwem pola
elektrycznego. Ka\
dy ładunek zmienia
własności otaczającej go przestrzeni 
wytwarza pole elektryczne. Pole elektryczne
badamy przy pomocy ładunku próbnego.
Wektor natę\
enia pola elektrycznego
ładunku punktowego
Oddziaływanie ładunku punktowego q z ładunkiem
próbnym qpr określa natę\
enie pola
E
elektrycznego przezeń wytwarzanego:
E a" F/qpr .
�ł �ł
1 q
Poniewa\
:
F = qpr �ł er
4Ą�0 r2 �ł.
�ł łł
1 q
E = er .
4Ą�0 r2
Natę\
enie pola elektrycznego ładunku
punktowego w dowolnym punkcie przestrzeni
Punktowy ładunek q wytwarza w ka\
dym punkcie
przestrzeni pole elektryczne. Natę\
enie pola
E r
( )
elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni
r
równe jest:
1 q
E = er .
4Ą�0 r2
qpr
q
er
r F=qprE
Pole elektryczne ładunku punktowego zale\
y od
wektora r  jest niejednorodne przestrzennie. Nie
wyró\
nia kierunku w przestrzeni  jest izotropowe.
Pole elektryczne
Je\
eli w ka\
dym punkcie przestrzeni określony jest
wektor E to mówimy o polu elektrycznym. Jest to
pole wektorowe. Natę\
enie pola elektrycznego w
E
punkcie r jest równe sile działającej na jednostkowy
ładunek elektryczny umieszczony w tym punkcie.
Kierunek wektora natę\
enia wektora pola
elektrycznego pokrywa się z kierunkiem siły
działającej na jednostkowy ładunek dodatni.
Gdy qpr>0, to E i F mają jednakowe zwroty,
gdy qpr<0, to E i F mają przeciwne zwroty.
Jednostki natę\
enia pola
elektrycznego
F = qprE �! E = F/qpr �! jednostka E to N/C.
Jednak u\
ywana jednostka natę\
enia pola
elektrycznego to wolt/m. �!
V/m = N/C �! V = mN/C = J/C.
Jednostki natę\
enia pola elektrycznego
Za jednostkę natę\
enia pola elektrycznego przyjmuje-
my natę\
enie w punkcie, w którym na ładunek
jednostkowy 1C działa jednostkowa siła 1N. W SI
jednostka natę\
enia pola elektrycznego nosi nazwę
wolt na metr (V/m): q = 1C, r = 1 m.
1 1 C / m2 C
E = = = 9�109 a"
1
4Ą�0 12 mF
4Ą F / m
4Ą�9�109
V
1V a" C / F.
a" 9�109 .
m
Natę\
enie pola elektrycznego
wytwarzane przez układ ładunków
W ka\
dym punkcie przestrzeni o wektorze
natę\
enia pola elektrycznego na ładunek qpr
E
(doznający działanie pola elektrycznego) działa siła
F = qprE.
Niech na ładunek qpr działa siła ze strony N innych
ładunków, wtedy
N N
F =
"F = "q Ej.
j pr
j=1 j=1
Zasada superpozycji pól elektrycznych
N N
F =
"F = "q Ej.
j pr
j=1 j=1
Po podzieleniu obydwu stron przez qpr otrzymamy :
N
F/qpr a" E =
"E - zasada superpozycji pólelektrycznych.
j
j=1
Zasada superpozycji pól elektrycznych
N
F(r)/qpr a" E(r) =
"E (r).
j
j=1
Natę\
enie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie
r przestrzeni jest sumą wektorów natę\
enia w
punkcie r wytwarzanych przez ka\
dy z N ładunków
układu.
Zastosowanie zasady superpozycji
pól elektrycznych
Zasada superpozycji pozwala znalez
ć natę\
enie
pola elektrycznego dowolnego rozkładu
ładunków, tak\
e rozkładów ciągłych. Gdy\

ciągły rozkład ładunku mo\
na podzielić na małe
fragmenty dqi (i=1,2,& ,N).
Michael Faraday
(ur. 22 września 1791, zm. 25 sierpnia 1867)  fizyk i
chemik angielski, jeden z najwybitniejszych uczonych
XIX w., eksperymentator, samouk.
Profesor Instytutu Królewskiego i Uniwersytetu w
Oksfordzie, członek Royal Society, w młodości
asystent H.B. Davy'ego.
Największe znaczenie miały prace Faradaya
dotyczące elektryczności. W 1831 r. odkrył zjawisko
indukcji elektromagnetycznej, co przyczyniło się do
powstania elektrodynamiki. W latach 1833-34
sformułował prawa elektrolizy i wprowadził
nomenklaturę dla opisu tego zjawiska.
Stworzył podstawy elektrochemii. Faraday odkrył
równie\
zjawisko samoindukcji, zbudował pierwszy
model silnika elektrycznego . W 1845 r. stwierdził,
\
e diamagnetyzm jest powszechną właściwością
materii, odkryty zaś przez niego paramagnetyzm 
właściwością szczególną niektórych jej rodzajów.
Faraday wprowadził pojęcie linii sił pola i wysunął
twierdzenie, \
e ładunki elektryczne działają na siebie
za pomocą takiego pola. W 1848 r. odkrył zjawisko
Faradaya.
Michael Faraday
Linie sił pola elektrycznego
Są to linie w przestrzeni takie, \
e w ka\
dym
punkcie przestrzeni wektory natę\
enia pola
elektrycznego są do nich styczne.
Linie sił pola elektrycznego
E1 = E r1
( )
E2 = E r2
( )
r2
r1
z
y
x
Linie sił pola ró\
noimiennych
ładunków punktowych
Umowa: linie sił pola wychodzą z ładunków
dodatnich i kończą się na ładunkach ujemnych.
Linie sił pola dwóch jednoimiennych
ładunków punktowych
Oś symetrii pola
elektrycznego
Linie sił pola elektrycznego układu dwóch
ładunków jednakowego znaku widzianego
z du\
ej odległości
Obserwator znajdujący się
daleko od tego układu widzi
ładunek punktowy o ładunku
będący sumą ładunków.
q1+q2
Dlatego linie sił pola
elektrycznego powinny mieć
symetrię sferyczną.
Linie sił pola elektrycznego dwóch
ró\
noimiennych ładunków punktowych
Oś symetrii pola
elektrycznego
20.12.10
Umowa:
Gęstość powierzchniową linii sił pola
elektrycznego dobiera się tak, aby liczba linii
przenikających przez element powierzchni
prostopadłej do linii sił pola w punkcie o
r
wektorze wodzącym , o jednostkowym polu,
była równa wielkości wektora natę\
enia .
E r
( )
Przykład
Rozwa\
ymy powierzchnię sferyczną otaczającą
ładunek punktowy q. Wielkość wektora
natę\
enia pola elektrycznego: E=(q/r2)/(4Ą�0).
Obliczymy Nsf  liczbę linii sił pola przechodzą-
cych przez powierzchnię kuli o promieniu r.
Pole tej powierzchni: S = 4Ąr2.
Nsf = [(q/r2)/(4Ą�0)]� 4Ąr2 = q/�0.
Liczba Nsf nie zale\
y od promienia kuli.
Potencjał pola elektrycznego
(HRW R. 25)
Rozpatrzymy pole ładunku punktowego q. W
dowolnym punkcie o wektorze wodzącym r
przestrzeni na ładunek punktowy q/ działa siła
1 qq/
F(r) = - er = F(r)er .
4Ą�0 r 2
F r
( )
Praca związana
z przesunięciem ładunku
Obliczymy pracę wykonaną na drodze ,
dl = r - r/
wykonaną w wyniku przesunięcia ładunku q/ z
punktu o wektorze wodzącym r do punktu o
wektorze wodzącym r .
Praca dA wykonana w wyniku przesunięcia
ładunku q/ na drodze S12 1
/
W wyniku przesunięcia r, er �! r , er/
F
dl S12
dl = r - r/ .
r/
/
er
er
Obliczymy pracę dA wykonaną
.
r1
przy przesunięciu ładunku o
r
r2
odcinek :
dl
dA = q 'E(r)dl = q'E(r)erdl ,
dA = q 'E(r)dr.
erdl = dr
Praca związana z przesunięciem ładunku
wzdłu\
odcinka łamanej
przybli\
ającej S12
Dzielimy krzywą S12 na Z małych odcinków .
dli
Ka\
dy z nich mo\
emy uwa\
ać za prostoliniowy.
W ten sposób zamieniamy krzywą S12 na łamaną.
Im odcinki dli są mniejsze (liczba Z rośnie ), tym lepiej
łamana przybli\
a krzywą. Na drodze dli praca dAi
wykonana przy przemieszczeniu ładunku wynosi:
dAi = q 'Eidli = q 'E(ri)dli = q 'E(ri)eidli = q 'E(ri)dri
(i = 1, 2,& , Z), bo eidli = dri.
/
Praca A12 związana z przesunięciem ładunku q
wzdłu\
łamanej przybli\
ającej S12
Praca A12 jest sumą prac wykonanych przy
przemieszczaniu ładunku q/ na odcinkach dl1,
dl2,..., dlZ:
Z Z Z
A12 H"
"dA ="q/E(r )dli ="q/E(r )dri.
i i i
i=1 i=1 i=1
Praca A12
Gdy liczba odcinków łamanej dą\
y do "
(wtedy długość ka\
dego z nich dą\
y do 0),
to łamana przechodzi w krzywą S12. Zatem
Z Z
A12 = lim
"A = lim"q/E(r )dli =
i i
Z" Z"
i=1 i=1
Z
r2
/E(r)dr .
=Z" q
lim
"q/E(r )dri a"
i
+"
r1
i=1
F r
( )
Dwa ładunki punktowe
2
F(r)dr
Obliczymy całkę
+"
1
2
/ /
2 2
qq dr qq 1
A12 = F(r)dr = - = - =
+" +"
1
4Ą�0 1 r2 4Ą�0 r
1
/
�ł �ł
qq 1 1
= - a" Wp1 - Wp2 .
4Ą�0 �ł r1 r2 �ł
�ł łł
Energia potencjalna ładunku q w polu ładunku
punktowego q:
/
1 qq
Wp a" + const.
20.12.14
4Ą�0 r
/
1 qq
Wp a" + const.
4Ą�0 r
Umowa:
w punkcie nieskończenie odległym (r = ")
energia potencjalna jest równa 0.
1 qq/
Wp a" .
4Ą�0 r
Obserwacja:
Praca AS wykonana w wyniku przesunięcia ładunku
q/ wzdłu\
zamkniętego konturu S jest równa zero:
z
1
r
S
y
x
1
/ / /
�ł �ł
qq dr qq 1 qq 1 1
AS = F(r)dr = - = - = - = 0.
+" +"
S
4Ą�0 S r2 4Ą�0 r 4Ą�0 �ł r1 r1 �ł
1
�ł łł
Własności pracy sił zachowawczych
z
S1
Przy pomocy punktu 1 i
1
czarnego punktu
r
S
podzieliliśmy kontur S na
dwa kontury S1 i S2.
S2
Poło\
enie czarnego
y
punktu jest dowolne.
x
Zamiast punktu 1 mo\
na by wybrać dowolny inny
punkt krzywej.
z
S1
1
r
S
S2
y
x
AS = F(r)dr = F(r)dr + F(r)dr = 0.
+" +" +"
S S1 S2
F(r)dr = - F(r)dr .
+" +"
S1 S2
Praca A12 związana z przesunięciem
ładunku q w polu elektrycznym
2
A12 = q �1 - �2 oraz A12 = q Edl .
( )
+"
1
2
�1 - �2 = Edl .
( )
+"
1
Praca sił pola elektrostatycznego zale\
y jedynie
od punktów początkowego 1 i końcowego 2, nie
zale\
y od drogi jej łączącej. Takie pole
nazywamy zachowawczym.
Gdy przesunięcie ładunku odbywa się po S 
konturze zamkniętym to AS = 0:
AS = Edl = 0 .
+"
S
- calka po konturze zamkniętym
+"
Potencjał pola elektrycznego
Ró\
ne ładunki będą posiadały w tym samym
punkcie ró\
ne energie potencjalne. Wielkość
Wp/q/ jest dla wszystkich ładunków próbnych
taka sama, więc charakteryzuje pole, a nie
doświadczenie.
Wp
1 q
� a" = .
qpr 4Ą�0 r
Potencjał N ładunków punktowych
A
adunki punktowe q1, q2, ...,qN w punktach o
wektorach wodzących odpowiednio r1, r2, ..., rN
wytwarzają pole elektrostatyczne.
Praca A12 związana z przesunięciem ładunku q/ na
drodze łączącej punkty 1 i 2:
/ /
N N �ł �ł
1
A12 =
"A = 4Ą�0 "�ł qiq - qiq �ł.
i
�ł �ł
ri1 ri2 łł
i=1 i=1
�ł
Stąd energia potencjalna ładunku q/ w polu N
ładunków N
1 qi
Wp = .
"
4Ą�0 i=1 ri
Potencjał układu
ładunków punktowych
N N N
W Wi 1 qi
� = = = .
" "� = 4Ą�0 "
i
ri
i=1 i=1 i=1
q/ q/
Potencjał układu ładunków punktowych jest
równy algebraicznej sumie potencjałów
wytwarzanych przez ka\
dy ładunek oddzielnie.
Cząstka w elektrostatycznym
polu wielu cząstek
Rozpatrzymy układ N naładowanych cząstek
(N>2):
q1,r1,q2,r2,& ,qN,rN .
Na i-tą cząstkę wpływa potencjał �i wytwarzany
przez wszystkie pozostałe cząstki
N N
qk qk
/
�i = a" .
" "
rik rik
k=1 k=1
k`"i
`"
`"
`"
Iloczyn �iqi =Wi jest energią potencjalną i-tego
ładunku w polu elektrycznym pozostałych ładunków.
Inne spojrzenie na energię
potencjalną ładunków
Rozpatrzymy energię potencjalną W ładunku
/
q w polu ładunku q. Mo\
na W uznać za
energię potencjalną ładunku q w polu
/:
potencjalnym wytwarzanym przez ładunek q
1 q 1 q/
W = q/� = q/ = q = q�/.
4Ą�0 r12 4Ą�0 r12
Gdy ładunki q i q / są porównywalne mo\
emy
mówić o energii oddziaływania dwóch
ładunków. Gdy q>>q / to lepiej mówić o
/
energii potencjalnej ładunku q w polu
ładunku q.
Energia oddziaływania
układu N>2 cząstek
Wik - energia oddziaływania dwóch cząstek: i-tej i
k-tej
1 qiqk
Wik = = Wki rik = ri - rk , rik = rik .
( )
4Ą�0 rik
W energia oddziaływania N ładunków jest równa
sumie wyrazów Wik pomno\
onej przez �, co pozwala
uniknąć dwukrotnego uwzględniania wkładu i-tej i
k-tej cząstki (i,k=1,2,...,N):
N N
1 1 1 1 qiqk
/
W = qi�i = .
" "
2 4Ą�0 2 4Ą�0 rik
i=1 i,k=1
Wektor wodzący r i jego składowe x,y,z
r = xex + yey + zez a" (x, y, z) �! (r)x = x,(r)y = y,(r)z = z
Dla określenia poło\
enia punktu
o wektorze wodzącym mo\
na
r
z
u\
ywać składowych x,y,z, albo
r
i dwóch kątów  � i Ć;
r = r
r, � i Ć nazywają się
�
współrzędnymi sferycznymi.
ez
- rzut wektora
rĄ"
y
na płaszczyznę x,y
x Ć
r
r
Pochodna kierunkowa
M/(r+s�)
s
Rozwa\
ymy prostą, którą określa
M(r)
wektor s i przesunięcie o � wzdłu\

niej.
Wektor s ma
składowe sx, sy, sz
z
s=sxex+ syey+ szez
sz
s
sy
sx
y
x
Pochodna kierunkowa
Wektor s wyznacza prostą. � - długość odcinka MM/.
Niech �<<1. Rozwa\
my przyrost "�=�(M/) - �(M):
"� = �(M/ ) - �(M) = � r + �s - � r .
( ) ( )
Granica ilorazu:
�ł� r + �s - � r łł
( ) ( )�ł a" "� r
"� ( )
�ł
lim = lim ,
�0 �0
� � "s
nazywa się pochodną kierunkową.
Wektor gradientu
Wektor
"�(x, y, z)
( )
( )
( )
"�(r) a" "�(x, y, z) = - ex -
" ( ) " ( ) =
" ( ) " ( ) =
" ( ) " ( ) =
"x
"�(x, y, z) "�(x, y, z)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
- ey - ez .
"y "z
nazywa się gradientem pola skalarnego �(r).
Związek pochodnej kierunkowej
z gradientem
�(r + s�) = �(x + sx�, y + sy�, z + sz�) �!
�(r + s�) - �(r) = �(x + sx�, y + sy�,z + sz�) - �(x, y, z) H"
�ł "�(x, y, z) "�(x, y, z) łł
"�(x, y,z)
H" � cos(s, x) + cos(s, y) + cos(s, z)śł =
�ł
"x "y "z
�ł �ł
�ł
"�(x, y,z) "�(x, y,z) "�(x, y, z)
� sex + sey + sey śł =
( )
( ) ( )łł
�ł
"x "y "z
�ł �ł
�ł łł
"�(x, y, z) "�(x, y, z) "�(x, y, z)
= � ex + s ey + s ey śł = � s" � �!
( )
�łs
"x "y "z
�ł �ł
"�(r)
= s" � = s"�.
( )
"s
Nabla
Wektorowa operacja ró\
niczkowania
" " "
" = ex + ey + ez ,
" =
" =
" =
"x "y "z
nazywana jest nablą, gdzie na przykład
"f (x, y, z) df (x, y, z) df (x, y, z)
a" a" .
"x dx dx
y,z=const y,z
Działanie nabli na pole skalarne zamienia je
na pole wektorowe
Związek między natę\
eniem pola
elektrycznego i potencjałem
Siła F związana jest z energią potencjalną Wp
zale\
nością
F = -"Wp .
"
"
"
Dla cząstki naładowanej znajdującej się w polu
elektrostatycznym mamy F=qE i Wp = q�, zatem:
F = qE = -"(q�).
"
"
"
E = -"� .
"
"
"
Je\
eli znamy zale\
ność � od r
mo\
emy określić wektor E
w ka\
dym punkcie przestrzeni
E(r) = -"�(r) .
"
"
"
Relacja pomiędzy E i �
"� "� "�
E = Exex + Eyey + Ezez = - ex - ey - ez,
"x "y "z
"f (x, y, z) df (x, y, z)
gdzie: a" .
"x dx
y,z
Jak widać:
"� "� "�
Ex = - ; Ey = - ; Ez = - .
"x "y "z
Rzut E na dowolny kierunek l
�ł
"�
El a" El = -l �""� = -
"
"
"
(e l )+ "�(e l )+ "�(e l )łł a"
x y z
�ł śł
"x "y "z
�ł �ł
"�
a" -
- pochodna kierunkowa potencjału.
"l
exl - cosinus kąta pomiędzy ex i l , itd.
Związek pomiędzy E i � wytwarzanymi
przez ładunek punktowy, mierzonymi
w punkcie o wektorze wodzącym r
1 q 1 q
�(r) = = .
4Ą�0 r 4Ą�0 x2 + y2 + z2
"�(r) q d 1 q 2x
= = - =
"x 4Ą�0 dx 4Ą�0 2 x2 + y2 + z2 3/ 2
x2 + y2 + z2 y,z=const
( )
q x
= - .
Wykorzystany wzór:
4Ą�0 r3
�ł �ł -1/ 2 -1/ 2-1 -3/ 2
d 1 d 1
= x2 + C = - x2 + C 2x = -x x2 + C .
( )
( ) ( ) ( )
�ł �ł
dx dx 2
x2 + C
�ł łł
Związek pomiędzy E i � dla ładunku
punktowego znajdującego się
w punkcie o wektorze wodzącym r
Pozostałe składowe:
"�(r) q y "�(r) q z
= - , = - .
"y 4Ą�0 r3 "z 4Ą�0 r3
Wektor pola elektrycznego ładunku punktowego
xex + yey + zez
q q r q er
E = -"�= = a" ,
"
"
"
4Ą�0 r3 4Ą�0 r3 4Ą�0 r2
gdzie er a" r/r.
Powierzchnie jednakowego potencjału
 powierzchnie ekwipotencjalne
Powierzchnia w przestrzeni R3, której punkty mają
jednakowy potencjał nazywa się powierzchnią
ekwipotencjalną. Jej równanie ma postać
�(x, y, z) = const.
Powierzchnię ekwipotencjalną mo\
na przeprowadzić przez
ka\
dy punkt przestrzeni.
Powierzchnie ekwipotencjalne
Warunek �(r)=const. określa w przestrzeni powierzchnię
stałego potencjału (w skrócie psp)  powierzchnię
ekwipotencjalną.
Przykład: powierzchnie ekwipotencjalne potencjału
wytwarzanego przez ładunek punktowy.
1 q 1 q
�(r) = = = const.
4Ą�0 r 4Ą�0 x2 + y2 + z2
To równanie określa powierzchnię kuli o promieniu r.
Powierzchnie ekwipotencjalne
ładunku punktowego
Umowa: Powierzchnie
�2
ekwipotencjalne
rysujemy tak, aby ró\
nica
potencjału pomiędzy sąsiednimi
�1
powierzchniami była stała.
Wtedy gęstość linii obrazuje
szybkość zmiany potencjału.
Praca związana z przesunięciem ładunku
wzdłu\
powierzchni ekwipotencjalnej
Rozwa\
ymy przesunięcie ładunku próbnego o odcinek dl
wzdłu\
linii le\
ącej na powierzchni stałego potencjału.
Praca dA
"�
dA = qprEdl = qprEldl = -qpr dl = -qprEt = 0 �! Et = 0 .
"l
To oznacza, \
e składowa Et wektora pola elektrycznego
styczna do powierzchni stałego potencjału znika: Et=0.
Wektor pola elektrycznego jest Ą"
do powierzchni ekwipotencjalnej
n
W ka\
dym punkcie r dowolnej
B
krzywej le\
ącej na psc mo\
na
Bn
wprowadzić układ współrzędnych
t
Bt
związany z n - wektorem
prostopadłym do powierzchni i wektorem t - stycznym do
krzywej. Ka\
dy wektor, np. E(r), mo\
na zapisać w postaci
sumy E(r) = nEn+ tEt. Poniewa\
Et = 0, więc E = nEn.
WNIOSKI
a) Wektor pola elektrycznego jest prostopadły do psp.
b) E= -" "� jest Ą" do psc.
"� "
" "
" "
Wektor gradientu dowolnego
pola skalarnego A(r)
Rozpatrzymy ŁA- powierzchnię stałej wartości A(r)=const.
Wektor "
"A jest Ą" do ŁA, a skierowany jest w kierunku
"
"
rosnących wartości A.
Przykład:
psp dla ładunku punktowego
Psp są powierzchniami
Niech � = f(r),
r = x2 + y2 + z2
kul.
�1= �(r1)
er
r1
�2= �(r2)
r2
xex + yey + zez
�ł
d�(r) "r "r "r �ł
"�(r) = ex + ey + ez �ł = =
�ł
dr "x "y "z r
�ł łł
r d�(r) d�(r)
= er .
r dr dr
Własności dipola
Dipol elektryczny  układ dwóch równych co do wartości,
lecz przeciwnego znaku, ładunków punktowych +q i  q
znajdujących się w odległości l. Długość l jest znacznie
mniejsza od odległości r punktu, w którym mierzone
jest pole elektryczne.
Prosta, na której le\
ą ładunki nazywa się osią dipola.
Pole wytwarzane przez dipol ma symetrię osiową.
Geometria dipola
Poło\
enie punktu P
E
Er
względem dipola określa
EŃ
wektor r, albo jego długość
Ń
i kąt (współrzędne
P
P
biegunowe). Wektor l
określa oś dipola i łączy
ładunek  q z ładunkiem +q.
Poło\
enie ładunku +q względem
środka dipola określa wektor a,
ładunku  q  wektor  a. l = 2a, r+ jest
odległością punktu P od +q, r- -
-a +a
odległość P od +q.
Potencjał dipola elektrycznego
r+ H" r - a cos Ń = r - aer;
+
+
+
r- H" r + a cos Ń = r + aer .
-
-
-
Potencjał dipola
�ł �ł q r- - r+ q r- - r+
1 q q 1 ( ) 1 ( )
�(r) H" - = H" =
4Ą�0 �ł r+ r- �ł 4Ą�0 r+r- 4Ą�0 r2
�ł - łł -
- -
- -
q 2a er
1 ( ) = 1 ql �"er 1 p �"er
= a"
4Ą�0 r2 4Ą�0 r2 4Ą�0 r2
gdzie p = ql jest momentem dipola.
p
-q
+q
l
Potencjał dipola elektrycznego
Pole potencjalne dipola zale\
y od jego momentu dipolowego
jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości
punktu, w którym przeprowadzamy pomiar do dipola.
per = ql �"er = ql cos Ń = p cos Ń
Poniewa\
, więc
1 p cos Ń
�(r, Ń) H" .
4Ą�0 r2
Na osi Ą" do dipola przechodzącej przez jego środek
p cos Ą / 2
1 ( )
�(r,Ń = Ą / 2) H" = 0.
4Ą�0 r2
Natę\
enie pola elektrycznego dipola
E
Er
Wykorzystany wzór
EŃ
dr-2 d 1 2r 2
�ł �ł
= = - = -
�ł
dr dr r2 �ł r4 r3
�ł łł
Składowa radialna wektora E
"�(r,Ń) p cos Ń p cos Ń
Er = - = - dr-2 / dr = .
-a +a
"r 4Ą�0 Ń=const. 4Ą�0r3
Składowa styczna wektora E
Składowa styczna: Zmiana kąta
Ń Ń + dŃ (dŃ <<1)
powoduje przesunięcie końca wektora r o dl H" rdŃ << r
Pole elektryczne:
�łcos Ń + dŃ - cos Ńłł
( )
d� d� p
�ł �ł
EŃ H" = = - =
dl rdŃ 4Ą�0r2 rdŃ
cos Ńcos dŃ - sin Ńsin dŃ - cos Ń
p ( )
= - H"
4Ą�0r3 dŃ
cos Ń - dŃsin Ń - cos Ń cos Ń - dŃsin Ń - cos Ń
p ( ) p ( )
H" - = - =
4Ą�0r3 dŃ 4Ą�0r3 dŃ
1 psin Ń
= .
4Ą�0 r3
Wykorzystane wzory: cosxE"1, sinx E"x (x<<1).
Długość E
wektora pola elektrycznego dipola
2 2
2 2
�ł �ł �ł �ł
1 p 1 p
�ł �ł �ł �ł
2
E2 = E2 + EŃ = 4cos2 Ń + sin2 Ń = 1+ 3cos2 Ń
( ) ( )
�ł �ł
r �ł
4Ą�0 �ł �ł r3 łł 4Ą�0 �ł �ł r3 �ł
�ł �ł łł
�ł łł �ł łł
1 p
Stąd E = 1+ 3cos2 Ń .
1 = cos2 Ń + sin2 Ń
4Ą�0 r3
1 2p
Na osi dipola
Ń = 0 mamy E = .
4Ą�0 r3
Na osi prostopadłej do dipola, przechodzącej przez jego
środek:
1 p
Ń = Ą / 2, stąd E(r,Ń = Ą / 2) a" EĄ" = .
4Ą�0 r3
Linie sił pola elektrycznego dipola
E(+) - wektor natę\
enia
pola elektrycznego w
punkcie P na osi dipola
pochodzące od ładunku
dodatniego.
- wektor natę\
enia
E(-)
pola elektrycznego w
punkcie P na osi dipola
pochodzące od ładunku
ujemnego.
p
Moment dipolowy jest
skierowany od ładunku
ujemnego do dodatniego.
Dipol w jednorodnym
polu elektrycznym
Niech na dipol działa jednorodne pole elektryczne E
tworzące z nim kąt ą
Siły działające na dipol w
jednorodnym polu elektrycznym
Pole jednorodne przestrzennie: E nie zale\
y od r.
A
adunek  q: F2=F-=-qE, ładunek +q: F1=F+= qE
|F-|=|F+|=F, gdzie F=qE.
Siły F-,, F+ tworzą parę sił usiłujących ustawić
dipol równolegle do linii sił pola elektrycznego.
Na dipol działa para sił o momencie N
N - moment pary siły jest wektorem o długości
N=Flsiną=ql Esiną=pEsiną.
Wektor momentu siły
Wektor N skierowany jest prostopadle do płaszczyzny, w
której le\
ą wektory p i E. Zwrot wektora N zgodny jest z
kierunkiem śruby wkręcanej zgodnie z obrotem
przeprowadzającym p w E przez mniejszy kąt. Tak
zdefiniowany wektor jest iloczynem wektorowym
�ł �ł
N = p� E a"
N
�łpEłł
Długość wektora N
N = pEsiną.
ą
E
p
Energia potencjalna Wp dipola w
zewnętrznym jednorodnym polu elektrycznym
Wp = q�+ - q�- =
= q �+ - �-
( )
Skierujemy E wzdłu\
osi x
Potencjał jednorodnego pola
elektrycznego: aby E nie zale\
ało od x
d�(x)
�(x) = -Ex �! - = E .
Zatem
dx
Wp = q �+ - �- = -qE �ł x + l - xłł = -El cos ą = -pE .
( ) ( )
�ł �ł
Energia potencjalna Wp dipola w
zewnętrznym niejednorodnym
polu elektrycznym
F1`"F2
Niejednorodne pole elektryczne ||
do osi dipola
W niejednorodnym polu elektrostatycznym równoległym
do osi dipola na dipol działa siła powodująca jego
przesunięcie wzdłu\
osi x. Powód: siła F+ działająca na
ładunek +q jest inna ni\
siła F- działająca na ładunek  q.
F- = -qEx (x, y, z); F+ = qEx (x + l, y,z) .
Siła wypadkowa F:
F = Fx (x, y, z) + Fx (x + l, y, z) = q �ł-Ex x, y, z + Ex (x + l, y, z)łł H"
( )
�ł �ł
dEx (x, y, z) "Ex (x, y, z
�ł-E x, y, z + Ex x, y, z +
H" q lłł = ql =
( ) ( )
x
�ł śł
dx "x
�ł �ł
"Ex (x, y, z) "E(x, y, z)
p = p cos ą.
"x "x