Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 7
Stabilność
Stabilność
Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do
stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które
wytrąciło układ z tego stanu.
a) b)
y y
4
2
3
2
1
t t
1
3
Stabilność
Zamknięty układ liniowy będziemy uważać za stabilny, jeżeli:
Zamknięty układ liniowy będziemy uważać za stabilny, jeżeli:
" przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i
" przy każdej skończonej wartości zadanej w(t) oraz
" dla dowolnych warunków początkowych
sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej
dla czasu dążącego do nieskończoności.
Układ jest stabilny asymptotycznie, gdy po zaniknięciu
zakłócenia układ powraca do tego samego stanu
równowagi co zajmowany poprzednio.
Stabilność
Układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania
różniczkowego lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej:
n n-1 m m-1
d y d y d z d z
an n + an-1 n-1 + K + a0 y = bm m + bm-1 m-1 + K + b0 z
dt dt dt dt
bm sm + bm-1sm-1 + K + b0
y(s) M (s)
G(s) = = =
z(s) N(s)
ansn + an-1sn-1 + K + a0
Równanie charakterystycznego układu zamkniętego - (mianownik
Równanie charakterystycznego układu zamkniętego - (mianownik
transmitancji operatorowej równy zeru)
N(s) = ansn + an-1sn-1 +K+ a0 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego - sk
Stabilność
Stabilność jest cechą układu, nie zależy od charakteru zakłócenia
Aby stwierdzić czy dany układ jest stabilny, wystarczy zbadać przebieg
jego charakterystyki impulsowej:
lim g(t) = 0
g(t) = L-1[G(s)]
t"
Przykłady:
�ł łł
L(s) A B
łł
g(t) = L-1�ł
�ł(s +1)(s + 2)śł = L-1�ł
�łs +1 s + 2śł = Ae-t + Be-2t
�łs +1 +
s + 2śł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł(s +1)(s + 2)śł
�ł
�ł łł �ł łł
L(s) A B C
g(t) = L-1�ł = L-1�ł + + = Ae-t + Be-2t + Cte-2t
śł
s +1 s + 2 (s + 2)2 śł
�ł(s +1)(s + 2)2 �ł �ł �ł
�ł łł
L(s) A Bs + C
łł
g(t) = L-1�ł = L-1�ł =
�łs +1 +
s2 + 2s + 4śł
�ł �ł
�ł(s +1)(s2 + 2s + 4)śł
�ł
C - B - 2 + j 12 - 2 - j 12
Ae-t + Be-t �"cost �" 3 + e-t sin t �" 3 s1 = -1, s2 = , s3 =
2 2
3
Stabilność
Przykłady:
�ł łł
L(s) A B
łł
lim g(t) = B
g(t) = L-1�ł = L-1�ł = Ae-t + B
t"
śł
�łs +1 + śł
s
�ł �ł
�ł(s +1)s �ł
�ł łł
L(s) A B C
łł
lim g(t) ="
g(t) = L-1�ł = L-1�ł = Ae-t + B + Ct
śł
�łs +1 + + śł
t"
s s2 �ł
�ł
�ł(s +1)s2 �ł
�ł łł
L(s) A B
łł
lim g(t) ="
g(t) = L-1�ł = L-1�ł = Ae-t + Be2t
t"
�łs +1 +
s - 2śł
�ł �ł
�ł(s +1)(s - 2)śł
�ł
�ł łł lim g(t) ="
L(s) A Bs + C
łł
g(t) = L-1�ł = L-1�ł = t"
�łs +1 +
- s2 - 2s + 4śł
�ł �ł
�ł(s +1)(s2 2s + 4)śł
�ł
C - B 2 + j 12 2 - j 12
Ae-t + Bet �"cost �" 3 + et sin t �" 3 s1 = -1, s2 = , s3 =
2 2
3
Konieczny i dostateczny warunek stabilności
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności
asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania
charakterystycznego układu zamkniętego były ujemne
lub miały ujemne części rzeczywiste:
Re(sk ) < 0
Układ jest stabilny nieasymptotycznie, jeśli jego
równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków
równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków
ujemnych i zespolonych o ujemnych częściach
rzeczywistych posiada jeden pierwiastek zerowy
Układ jest niestabilny, jeśli jego równanie
charakterystyczne posiada więcej niż jeden pierwiastek
zerowy lub pierwiastki dodatnie lub zespolone o
dodatnich lub zerowych częściach rzeczywistych
Stabilność
Stabilność jest cechą układu, nie zależy od charakteru zakłócenia
Ograniczenie stosowalności kryterium bezpośredniego
Trudności wyznaczenia pierwiastków równania charakterystycznego
układów opisanych równaniami różniczkowymi wyższych rzędów
(wyskoki stopień równania charakterystycznego)
Metody oceny stabilności bez konieczności obliczania pierwiastków
równania charakterystycznego:
" kryterium Hurwitza
" kryterium Michajłowa
" kryterium Nyquista
Kryterium Hurwitza
y(s) M (s)
G(s) = =
z(s) N(s)
Równanie charakterystyczne układu :
N (s) = 0
an sn + an-1sn-1 + K + a1s + a0 = 0
Warunek 1
Warunek 1
wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją
i mają jednakowy znak (warunek konieczny, ale
niedostateczny)
an > 0, an-1 > 0, K , a0 > 0
Kryterium Hurwitza
Warunek 2  podwyznaczniki "i, od i=2 do i=n-1, wyznacznika
głównego "n są większe od zera. Wyznacznik "n, utworzony
ze współczynników równania charakterystycznego, ma n
wierszy i n kolumn:
an-1 an 0 0 0 K
an-3 an-2 an-1 an 0 K
n
n
a s + a sn-1 + K + a s + a = 0
an s + an-1sn-1 + K + a1s + a0 = 0
" = a a a a a K
"n = an-5 an-4 an-3 an-2 an-1 K
an-7 an-6 an-5 an-4 an-3 K
K K K K K K
Kryterium umożliwia stwierdzenie stabilności nieasymptotycznej i
asymptotycznej. Stabilność nieasymptotyczna zachodzi wtedy, gdy w
równaniu charakterystycznym współczynnik:
a0 = 0
Nie można badać stabilności układów, w których występują człony opóz
niające
Kryterium Hurwitza
Przykład:
N(s) = s4 + 3�" s3 + 2�" s2 + 2�" s +1 = 0
3 1 0 0
�ł łł
�ł2 2 3 1śł
�ł śł
"n=4 =
�ł śł
0 1 2 2
�ł śł
�ł0 0 0 1�ł
an-1 an 3 1
an-1 an 3 1
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
s3
s3
" = = det(" ) = 6 - 2 = 4 > 0
"2 = = det("2) = 6 - 2 = 4 > 0
�ł
�ła śł �ł śł
an-2 śł �ł2 2śł
�ł n-3 �ł �ł �ł
an-1 an 0 3 1 0
�ł łł �ł łł
�ła �ł2 2 3śł det("3) =12 - 4 - 9 = -1 < 0
"3 = an-2 an-1śł =
n-3
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
an-4 an-3�ł �ł0 1 2�ł
n-5
�ła
Układ niestabilny
Przykład:
N(s) = s4 + 3s3 + 2s +1 = 0
Kryterium Hurwitza
Przykład:
N(s) = s5 + 3�" s4 + 2�" s3 + 2�" s2 + s = 0
N(s) = s4 + 3�" s3 + 2�" s2 + 2�" s +1 = 0
3 1 0 0
�ł łł
�ł2 2 3 1śł
�ł śł
�ł2 2 3 1śł
" =
"n=4 =
�ł śł
0 1 2 2
�ł śł
�ł0 0 0 1�ł
an-1 an 3 1
�ł łł �ł łł
"2 = = det("2) = 6 - 2 = 4 > 0
�ła
an-2 śł �ł2 2śł
�ł n-3 �ł �ł �ł
an-1 an 0 3 1 0
�ł łł �ł łł
�ła �ł2 2 3śł det("3) = 12 - 4 - 9 = -1 < 0
"3 = an-2 an-1śł =
n-3
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
an-4 an-3�ł �ł0 1 2�ł
n-5
�ła
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista - pozwala badać stabilność układu (tylko)
zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć
zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie
z
Transmitancja układu otwartego: Transmitancja układu zamkniętego:
y(s) G1(s)
u(s) MO (s)
GZ (s) = =
GO (s) = = G1(s)G2(s) =
z(s) 1+ G1(s)G2(s)
z(s) NO (s)
Kryterium Nyquista
y(s) G1(s)
u(s) MO (s)
GZ (s) = =
GO (s) = = G1(s)G2(s) =
z(s) 1+ G1(s)G2(s)
z(s) NO (s)
y(s) G1(s)
GZ (s) = =
Mo (s)
z(s)
1+
No(s)
y(s) G1(s)No(s)
GZ (s) = =
Z
z(s) N (s) + M (s)
z(s) No(s) + Mo (s)
Równanie charakterystyczne Równanie charakterystyczne
układu otwartego: układu zamkniętego:
NZ (s) = MO (s) + NO (s) = 0
NO (s) = 0
Oba równania są stopnia n
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu
otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich
częściach rzeczywistych (może mieć pierwiastki zerowe).
Przypadek ten dotyczy znacznej większości układów. Kryterium
odnoszące się tylko do tego przypadku nazywa się uproszczonym
Warunek stabilności układu zamkniętego:
Warunek stabilności układu zamkniętego:
Jeżeli równanie charakterystyczne układu
otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o
dodatnich częściach rzeczywistych, to układ
� = "
zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego GO(j�) dla
pulsacji � od 0 do +" nie obejmuje punktu (-1,j0).
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest
stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-
fazowa GO(j�) dla pulsacji � od 0 do +" nie
obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po
zamknięciu będzie on również stabilny.
� = "
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Charakterystyki układów, które Charakterystyki układów, które
po zamknięciu są stabilne po zamknięciu nie są stabilne
� = "
� = "
(-1, j0)
(-1, j0)
Kryterium Nyquista- przypadek 1
W przypadku złożonego kształtu krzywych GO(j�) wygodnie jest
posługiwanie się z tzw.  reguły lewej strony : układ zamknięty
jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze
leżącym po lewej stronie charakterystyki GO(j�), idąc w stronę
rosnących �.
Stabilne: Niestabilne:
� = "
� = "
� = "
� = "
Możemy badać układy mające dowolna liczbę pierwiastków zerowych
Kryterium Nyquista- przypadek 2
Warunek stabilności układu zamkniętego:
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m
pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej
półpłaszczyz
nie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
otwartego dla pulsacji � od 0 do +" okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w
otwartego dla pulsacji � od 0 do +" okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w
kierunku dodatnim
Zastosowanie tego kryterium wymaga znajomości liczby pierwiastków równania
charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo
ogranicza jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce
są zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0).
Zapas stabilności
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
układów otwartych (po zamknięciu: układ a stabilny,
układ b niestabilny)
Warunek stabilności:
"M
"
"
"
G ( j� ) < 1
GO( j�x) < 1
�x  pulsacja, dla której:
arg GO( j�x ) = -1800
Gdzie: "M  zapas modułu
"Ć  zapas fazy
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Warunek stabilności dla charakterystyk częstotliwościowych podanych
w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(�)
i fazowej Ć(�):
L(�x) = 20 log GO( j�x) < 0
Definicja: Zamknięty układ
Definicja: Zamknięty układ
automatycznej regulacji jest
stabilny wtedy, gdy
logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu otwartego
ma wartość ujemną przy
pulsacji odpowiadającej
przesunięciu fazowemu -1800.
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Układ otwarty zapisać można za pomocą logarytmicznych
charakterystyk częstotliwościowych - amplitudowej L(�) i fazowej �(�).
� = 0
Charakterystyka
amplitudowo-
fazowa,
charakterystyka
Black a
� ="
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
złożonych układów otwartych (a  stabilny, b - niestabilny)
� = "
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty stabilny jest
wtedy, gdy liczba wartości dodatnich L(�x) jest parzysta, a niestabilny
 gdy liczba wartości dodatnich L(�x) jest nieparzysta
Zalety kryterium Nyquista
Charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego można
wyznaczyć doświadczalnie i analitycznie
Można nie tylko zbadać stabilność, ale także określić oddalenie
układu od granicy stabilności
Umożliwia badanie stabilności układów zawierających człony
opóz
niające
Kryterium Michajłowa
Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne sprawdzenie stabilności
układu regulacji automatycznej.
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego można przedstawić
w postaci:
N(s = j�) = an ( j�)n + an-1( j�)n-1 +K+ a1( j�) + a0 = 0
P(�) = a0 - a2�2 + a4�4 - a6�6 +K
Q(�) = a1� - a3�3 + a5�5 - a7�7 +K
N ( j�) = P(�) + jQ(�)
Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(j�) przy zmianie
pulsacji od 0 do + " wynosi nĄ/2, gdzie n oznacza stopień równania
charakterystycznego.
nĄ
" arg N( j�) =
2
0<� <"
Kryterium Michajłowa
Krzywą N(j�) nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub
hodografem Michałowa
� "
a0
� "
�1 =
a2
a1
�2 =
a3
Krzywe charakterystyczne Krzywe charakterystyczne
układów stabilnych układów niestabilnych
Kryterium Michajłowa
Jako zmienną niezależną s możemy wybrać m.in. zbiór punktów
położonych na osi liczb urojonych, wówczas s = j�:
N( j�) = a ( j� - s )( j� - s )...( j� - s )
N( j�) = an ( j� - s1)( j� - s2)...( j� - sn )
Każdy z czynników (j�  sk) można przedstawić graficznie jako różnicę
dwóch wektorów, wektora j� oraz wektora sk przedstawiającego k-ty
pierwiastek równania charakterystycznego.
Im
sk-j�
j�
sk
Re
Kryterium Michajłowa
Funkcję N(j�), jako funkcję zmiennej zespolonej, można przedstawić
w postaci wykładniczej:
N( j�) = an( j� - s1)( j� - s2)...( j� - sn)
c
jĆ
N( j�) = N( j�) e
N( j�) = an j� - s1 j� - s2 ... j� - sn - oznacza moduł funkcji N( j�)
Ć = arg N( j�) = arg( j� - s1) + arg( j� - s2) + ...+ arg( j� - sn)
- oznacza argument funkcji N(j�).
Kryterium Michajłowa
Jeżeli przyjmujemy, że spośród n pierwiastków równania
charakterystycznego (n-m) pierwiastków znajduje się w lewej
półpłaszczyz
nie, a m pierwiastków w prawej, to zmiana argumentu
N(j�) przy zmianie � od -" do +" wyniesie:
" arg N( j�) = (n - m)Ą
-"<�<"
"arg N( j�) = nĄ
Warunek stabilności:
-"<� <"
Ponieważ N(j�) jest funkcją symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:
N(s = j�) = an( j�)n + an-1( j�)n-1 +K+ a1( j�) + a0 = 0
P(�) = a0 - a2�2 + a4�4 - a6�6 +K
Q(�) = a1� - a3�3 + a5�5 - a7�7 +K
N ( j�) = P(�) + jQ(�) N (- j�) = P(�) - jQ(�)
wystarczy więc zbadać przebieg jednej z gałęzi krzywej N(j�), dla pulsacji
zmieniającej się od 0 do +".
Kryterium Michajłowa
Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny wtedy
i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(j�) przy zmianie
pulsacji od 0 do + " wynosi nĄ/2, gdzie n oznacza stopień
równania charakterystycznego.
nĄ
" arg N( j�) =
" arg N( j�) =
2
2
0<� <"
Kryterium Nyquista- przypadek 2
Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu
otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyz
nie
zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyz
nie .
" arg N0 ( j�) = (n - 2m)Ą
-"<�<"
N0(j�) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:
Ą
" arg N0 ( j�) = (n - 2m)
0<�<" 2
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:
Ą
" arg N ( j�) = n
z
0<�<" 2
Przykłady odpowiedzi układu
Jeśli układ zamknięty opisany jest za pomocą transmitancji operatorowej:
bm sm + bm-1sm-1 + K + b0
y(s) M (s)
G(s) = = =
z(s) N(s)
ansn + an-1sn-1 + K + a0
i równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków wielokrotnych ani
równych zero,
to czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym
zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej
postaci ogólnej:
n
�ł �ł
�ł �ł
k
k
y(t) = A + A es t z
y(t) = A0 + Ak es t zst
�ł �ł
�ł �ł
"
"
�ł k =1 łł
lim y(t) = A0 zst
Wówczas:
t"
lim y(t) = 0
A przy zakłóceniu impulsowym:
t"
Przykład odpowiedzi na zakłócenie impulsowe, przy jednym pierwiastku
zerowym:
�ł łł
M (s) A B
łł
g(t) = L-1�ł = L-1�ł + = A + B �"e-t
�ł
s(s +1)śł s s +1śł
�ł �ł
�ł �ł