Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 7
Wykład 7
Wykład 7
Stabilność liniowych
Stabilność liniowych
Stabilność liniowych
stacjonarnych układów
stacjonarnych układów
stacjonarnych układów
sterowania
sterowania
sterowania
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Plan wykładu:
Plan wykładu:
Ogólne warunki stabilności
Matematyczne warunki stabilności
Kryterium Hurwitza
Kryterium Michajłowa
Kryterium Nyquista
Logarytmiczne kryterium stabilności
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Ogólne warunki stabilności
Stabilność układu sterowania jest
najważniejszą jego cechą charakteryzującą
zdolność układu do wykonywania zadań dla
których został on zbudowany.
Stabilność jest pojęciem określającym - w
potocznym znaczeniu - zdolność układu do
zachowania pewnego stanu.
3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Rodzaje równowagi:
a) b)
niestabilna stabilna asymptotycznie
c) d)
stabilna nieasymptotycznie
stabilna lokalnie
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przez stabilność układu automatycznej
regulacji (UAR), rozumiemy właściwość układu
polegajÄ…cÄ… na:
powrocie do stanu równowagi stałej po ustaniu
działania wymuszenia, które wytrąciło układ z
tego stanu, lub
osiągnięciu nowego stanu równowagi stałej,
jeśli wymuszenie pozostało na stałym poziomie.
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykładowe charakterystyki czasowe
układów stabilnych układów niestabilnych
y y
6
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Analityczne sformułowanie warunków stabilności -
korzystamy z równania różniczkowego opisującego
dynamikę układu
dny dn-1y dy dmx dx
an +an-1 +....+a1 +a0y =b0 +....+b1 +b0x
dtn dtn dt dtm dt
Rozwiązanie tego równania jest sumą dwóch rozwiązań
ogólnego y0(t)
szczególnego ys(t)
Ponieważ rodzaj sygnału wejściowego nie ma znaczenia
przy badaniu stabilności, układ będzie stabilny gdy
lim y0(t) = 0
7
t"
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
W celu sprawdzenia czy układ jest stabilny,
należy zbadać rozwiązanie ogólne równania
różniczkowego jednorodnego
n
dy dy dy
n -1
an + an -1 + ... + a1 + a0 y = 0
n
dt dt dt
n -1
Korzystając z przekształcenia Laplace a
otrzymamy równanie algebraiczne zwane
równaniem charakterystycznym
ansn + an-1sn-1 + ...+ a1s + a0 = 0
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Pierwiastki równania charakterystycznego mogą
przybrać wartości:
rzeczywiste dodatnie lub ujemne,
1 2 n
y0(t) = C1es t + C2es t + ... + Cnes t
Rozwiązanie możemy zapisać w postaci
n
i
y0(t) = Cies t
"
i =1
gdzie: Ci - stałe całkowania wynikające z warunków
poczÄ…tkowych
9
si - pierwiastki równania charakterystycznego
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
zespolone z częścią rzeczywistą dodatnią,
zerowÄ… lub ujemnÄ…
s1,2 = Ä…1 Ä… jÉ1 , s3,4 = Ä…2 Ä… jÉ2
Jeżeli są pierwiastkami
tego równania to rozwiązanie ma postać:
1
y0(t) = eÄ… t(A1 cosÉ1t + A2 sinÉ1t +
2
+ eÄ… t(A3 cosÉ2t + A4 sin É2t)
W zależności od wartości pierwiastków
otrzymujemy różne przebiegi
10
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wpływ lokalizacji pierwiastków na stabilność układu
A
Im
3
es t
1
Re
s1 s2 s3
2
e-s t
1
e-s t
0t
A
Im
É
+j
1
Re
É
-j
11
0t
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wpływ lokalizacji pierwiastków na stabilność układu
A
Im
-Ä…+jÉ
e-Ä…t sinÉt
1
Re
-Ä…-jÉ
0
t
A
Im
Ä…+jÉ
e-Ä…t sinÉt
1
Re
Ä…-jÉ
12
0
t
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Z przedstawionych wykresów wynika, że:
przebiegi yo(t) zanikają w funkcji czasu, jeżeli
pierwiastki równania charakterystycznego są
rzeczywiste ujemne lub zespolone o częściach
rzeczywistych ujemnych.
jeżeli chociażby jedna z części rzeczywistych si
jest dodatnia to y0(t) zmierza do nieskończoności
czyli układ jest niestabilny
13
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności
asymptotycznej układu jest aby pierwiastki równania
charakterystycznego układu zamkniętego leżały w
lewej półpłaszczyz
nie płaszczyzny zmiennej
zespolonej s (miały ujemne części rzeczywiste)
lim y0(t) = 0
Re(sk)<0 i wtedy
t"
jeżeli równanie charakterystyczne ma pierwiastki w lewej
półpłaszczyz
nie oraz jednokrotne na osi liczb urojonych, to
układ jest na granicy stabilności (nie jest stabilny
asymptotycznie)
jeżeli pierwiastki są zerowe lub są wielokrotne to układ jest
niestabilny
14
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Matematyczne warunki stabilności
Wyróżniamy dwa rodzaje stabilności:
stabilność układu w stanie swobodnym (gdy na
układ nie działają sygnały zewnętrzne,
zarówno sterujące jak i zakłócające)
stabilność układu poddanego działaniom
zewnętrznym
15
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przyjmijmy, że jeżeli układ swobodny znajduje się
w stanie równowagi czyli
F[y(t),y'(t),...,y(n)(t)] = 0
to odpowiadający temu punkt równowagi w
przestrzeni fazowej umieszczamy w poczÄ…tku jej
układu współrzędnych.
Stan dynamiczny układu możemy określić na
podstawie znajomości wektora y(t) w przestrzeni
fazowej.
16
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Jeżeli dla t" trajektoria dąży do początku
układu współrzędnych (punkt równowagi) to
układ jest stabilny asymptotycznie.
Jeżeli dla t" trajektoria oddala się
nieskończenie do początku układu
współrzędnych to układ jest niestabilny.
Jeżeli dla t" trajektoria nie wychodzi poza
pewien ograniczony obszar otaczajÄ…cy poczÄ…tek
układu współrzędnych, to układ jest stabilny w
sensie Lapunowa.
17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Stabilność Lapunowa zachodzi gdy dla liczby
dodatniej µ można znalez
ć takÄ… liczbÄ™ ´, żeby
przy
||y(t0)|| < ´
obowiązywała nierówność:
||y(t)|| < µ dla t>t0
Przez ||y|| będziemy oznaczać w przestrzeni
fazowej będącej liniową przestrzenią wektorową,
normę wektora y o składowych y1,y2,.....,yn
równą:
n
2
2 2 2
y(t) =
"[y (t)] = y1(t) + y2(t) + ...+ yn(t)
k
18
k =1
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Stabilność asymptotyczna zachodzi gdy można
dobrać dodatniÄ… liczbÄ™ ´ żeby przy speÅ‚nionym
warunku
y(t0 ) < ´
i dla t>t0 trajektoria dążyła do początku układu
współrzędnych tzn.
y(t) 0
t +"
19
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Stabilność globalna zachodzi w przypadku gdy układ
jest stabilny dla dowolnych warunków początkowych.
Wtedy trajektoria układu swobodnego wychodząca z
dowolnego punktu przestrzeni fazowej:
osiąga początek układu współrzędnych
(stabilność globalna asymptotyczna),
lub dochodzi do obszaru określonego wzorem
||y(t)|| < µ dla t>t0
i pozostaje w nim (stabilność globalna w sensie
Lapunowa).
20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przebiegi trajektorii fazowej dla układu II-go rzędu
wychodzÄ…ce z punktu:
A0 - dlaukładu stabilnego
w sensie Lapunowa,
y2
B0 - dlaukładu stabilnego
asymptotycznie,
C0 - dlaukładu niestabilnego
C0
C0
y1
´
0
B0
µ
A0
21
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
W przypadku układu liniowego stan swobodny
jest opisany jednorodnym równaniem liniowym o
stałych współczynnikach
n n-1
d y(t) d y(t) dy(t)
an + an-1 + ...+ + a0 y(t) = 0
dtn dtn-1 dt
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego n-go
rzędu, zwyczajnego liniowego o stałych
współczynnikach i jednorodnego zależy od
pierwiastków równania charakterystycznego
ansn + an-1sn-1 + ...+ a1s + a0 + 0
22
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dla przykładu rozpatrzymy szereg przypadków:
Równanie charakterystyczne ma wyłącznie
pojedyncze pierwiastki rzeczywiste ujemne
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s) A B
Å‚Å‚
g(t)= L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚
ïÅ‚s +1 + s + 2śł = Ae-t + Be-2t
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s +1)(s + 2 )śł
ûÅ‚
lim g(t) = 0
t"
czyli układ jest stabilny asymptotycznie.
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne ma oprócz
pojedynczych ujemnych pierwiastków
rzeczywistych ma również wielokrotne
pierwiastki rzeczywiste ujemne
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s) A B C
Å‚Å‚
g(t)= L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚
śł
2
ïÅ‚s+1+ s+2 + s+2śł = Ae-t +Be-2tCte-2t
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s+1)(s+2) ûÅ‚
lim g(t) = 0
t"
wtedy układ jest również stabilny asymptotycznie.
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne ma rzeczywiste
pierwiastki ujemne i pierwiastki zespolone o
częściach rzeczywistych ujemnych
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s) A Bs + C
Å‚Å‚
g(t) = L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚ + =
ïÅ‚
s +1 s2 + 2s + 4śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s +1)(s2 + 2s + 4 )śł
ûÅ‚
C - B
= Ae-t + Be-t cost 3 + e-t sin t Å" 3
3
wtedy układ jest stabilny asymptotycznie, bo
występują sinusoidy o gasnącej amplitudzie.
25
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne ma oprócz
pierwiastków o ujemnych częściach
rzeczywistych jeden pierwiastek zerowy
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s)2 A B
Å‚Å‚
g(t) = L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚ = Ae-t + B
śł
ïÅ‚s +1 + s śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s +1)s ûÅ‚
lim g(t) = B
t"
Stabilność nieasymptotyczna związana jest z
występowaniem jednego pierwiastka zerowego;
układ stabilny w sensie Lapunowa.
26
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków
ujemnych ma wielokrotny pierwiastek zerowy
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s) A B C
Å‚Å‚
g(t) = L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚ = Ae-t + B + Ct
śł
ïÅ‚s +1 + s + s2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s +1)s2 ûÅ‚
lim g(t) = "
t"
wtedy układ jest niestabilny
27
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne oprócz
pierwiastków ujemnych ma pierwiastki dodatnie
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s) A B
Å‚Å‚
g(t) = L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚
ïÅ‚s +1 + s-2śł = Ae-t + Be-2t
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s +1)(s-2 )śł
ûÅ‚
lim g(t) = "
t"
wtedy układ jest niestabilny
28
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne oprócz
pierwiastków ujemnych ma pierwiastki
zespolone o dodatniej części rzeczywistej
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s) A Bs + C
Å‚Å‚
g(t) = L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚ + =
ïÅ‚
- s +1 s2 - 2s + 4śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s +1)(s2 2s + 4 )śł
ûÅ‚
C + B
= Ae-1 + Bet cost 3 + et sin t Å" 3
3
lim g(t) = "
t"
wtedy układ jest niestabilny
29
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne oprócz
pierwiastków ujemnych ma pierwiastki zespolone
o zerowych częściach rzeczywistych
îÅ‚ Å‚Å‚
L(s) A B C
Å‚Å‚
g(t) = L-1ïÅ‚ = L-1îÅ‚
ïÅ‚s +1 + s2 + 4śł = Ae-t + B cos2t + 2 sin 2t
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚(s +1)(s2 + 4 )śł
ûÅ‚
wtedy występują drgania niegasnące - układ
stabilny w sensie Lapunowa.
30
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Warunek konieczny stabilności Lapunowa jest
następujący:
wszystkie pierwiastki rzeczywiste i części
rzeczywiste pierwiastków zespolonych powinny
być ujemne,
krotność pierwiastków rzeczywistych równych
zeru,
krotność par pierwiastków urojonych powinna
być co najwyżej równa jedności.
31
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Gdy spełniony jest powyższy warunek konieczny,
układ jest stabilny w sensie Lapunowa gdy:
występuje jeden pierwiastek rzeczywisty równy
zeru,
występują pojedyncze (nie wielokrotne) pary
pierwiastków urojonych,
przy jednym pierwiastku rzeczywistym równym
zeru występują pojedyncze (nie wielokrotne)
pary pierwiastków urojonych.
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Globalna stabilność asymptotyczna występuje
gdy układ jest stabilny asymptotycznie
Warunkiem koniecznym i wystarczajÄ…cym
stabilności asymptotycznej jest, aby wszystkie
pierwiastki rzeczywiste oraz części rzeczywiste
pierwiastków urojonych były ujemne, możemy
zapisać:
Re( sk ) < 0
33
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Najbardziej znanymi sÄ… kryteria :
analityczne Hurwitza
analityczne Routha
kryterium graficzne Michajłowa
analityczno-graficzne Nyquista
Pierwsze dwa kryteria wymagają znajomości
transmitancji układu w postaci analitycznej.
Kryteria graficzne oparte sÄ… na charaktery-
stykach częstotliwościowych.
34
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryterium Hurwitza
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, żeby
układ liniowy stacjonarny ciągły był stabilny
asymptotycznie jest aby:
1) wszystkie współczynniki równania charakterystycznego
ansn + an-1sn-1 + ...+ a1s + a0 = 0
były różne od zera i jednakowego znaku
ai > 0,i = 0,1,2,...,n
2) wszystkie podwyznaczniki główne (minory) wyznacznika
Hurwitza były większe od zera.
35
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
an-1 an-3 an-5 Å" Å" Å" Å" 0
an an-2 an-4 Å" Å" Å" Å" 0
0 an-1 an-3 Å" Å" Å" Å" 0
0 an-1 an-3 Å" Å" Å" Å" 0
Å" Å" Å" Å" Å" Å" Å" Å"
"n =
Å" Å" Å" Å" Å" Å" Å" Å"
0 0 0 Å" Å" a1 0 0
0 0 0 Å" Å" a2 a0 0
0 0 0 Å" Å" a3 a1 0
0 0 0 Å" Å" a4 a2 a0
an-1 an-3 an-5
an-1 an-3
"1 = an-1 > 0
;;
"2 = > 0
"3 = an-1 an-2 an-4 > 0
an an-2
0 an-1 an-3
Kryterium Hurwitza pozwala na sprawdzenie czy równanie
algebraiczne dowolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki
36
ujemne lub o ujemnych częściach rzeczywistych.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 1
Dany jest układ regulacji automatycznej o
schemacie przedstawionym na rysunku i
transmitancjach:
W(s) E(s) U(s) Y(s)
K1 K2
T1s +1 s(T2s +1)

Wyznaczyć zakresy parametrów K1, K2, T1, i T2,
przy których układ jest stabilny.
37
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja operatorowa układu zamkniętego
G0GR K1K2
G(s) = =
1+ G0GR s(T1s +1)(T2s +1)+ K1K2
Równanie charakterystyczne ma postać
s(T1s +1)(T2s +1)+ K1K2 = 0
a po przekształceniu
T1T2s3 +(T1 +T2 )s2 +s+K1K2 =0
W tym przypadku n=3, należy więc zbadać tylko
wyznacznik drugiego stopnia
a2 a0 T1 + T2 K1K2
"2 = = = T1 +T2 - K1K2T1T2
a3 a1 T1T2 1
38
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Aby układ był stabilny, parametry regulatora T1 i K1
muszą spełniać warunek
1 1
+ > K1K2
T1 T2
Aby układ był na granicy stabilności, musi
zachodzić zależność
1 1
+ = K1K2
T1 T2
Wówczas równanie charakterystyczne ma postać
(T1T2s2 +1)(s + K1K2 ) =0
39
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Rozkład pierwiastków tego równania pokazano
na poniższym rysunku
Im
1
j
T1T2
Re
K1K2
1
j
T1T2
40
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryterium Hurwitza umożliwia stwierdzenie
stabilności:
asymptotycznej
nieasymptotycznej
Możliwość wystąpienia stabilności nieasympto-
tycznej zachodzi wtedy, kiedy w równaniu
charakterystycznym współczynnik a0=0.
Po podzieleniu stron równania przez s,
otrzymujemy równanie stopnia n-1 w odniesieniu
do którego stosujemy kryterium Hurwitza.
41
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryterium Michajłowa
Kryterium Michajłowa służy do oceny stabilności
układu liniowego jednowymiarowego, a właściwie
do uzyskania metodÄ… graficznÄ… odpowiedzi na
pytanie: ile pierwiastków równania charaktery-
stycznego leży w prawej półpłaszczyz
nie?
Umożliwia ono badanie stabilności na podstawie
przebiegu na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej
wykresu funkcji N(jÉ), otrzymanej z wielomianu
charakterystycznego po podstawieniu s=jÉ
N(s) = ansn + an-1sn-1 + ...+ a1s + a0
42
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wyrażenie to zapiszemy w postaci
N(s) = an(s - s1 )(s - s2 )..........(s - sk )
gdzie: sk(k=1,2,...,n)
po obraniu s= jÉ otrzymujemy
"arg N(jÉ ) = (n - m)Ä„ - mÄ„ = (n - 2m)Ä„
lub inaczej
jÅš
N(j É ) = N(j É ) e
N(j É ) = a jÉ - s2 ... jÉ - sn
gdzie:
n
Åš = arg N(jÉ ) = arg jÉ - s1 + ....+ arg jÉ - sn
43
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wektor odpowiadajÄ…cy jÉ jest poÅ‚ożony na osi
urojonej i końce poszczególnych wektorów
przedstawiajÄ…cych czynniki (jÉ-sk) znajdujÄ… siÄ™
na tej osi na rysunku poniżej.
Im
Sk
jÉ
Re
44
k
S
-
É
j
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Jeżeli bÄ™dziemy zmieniać pulsacjÄ™ É, w zakresie
od -" do +", to stwierdzimy, że zmiana
argumentu wektora (jÉ-sk) zależy od poÅ‚ożenia
punktu odpowiadającego sk na płaszczyz
nie
zmiennej zespolonej.
W przypadku gdy punkt ten leży w lewej
półpłaszczyz
nie wektor (jÉ-sk) przy zmianie
-"<É<+" obróci siÄ™ w kierunku przeciwnym do
ruchu wskazówek zegara o kąt +Ą
Natomiast gdy punkt odpowiadający sk leży w
prawej półpłaszczyz
nie to wektor (jÉ-sk) przy
zmianie -"<É<+" obróci siÄ™ w kierunku
45
zgodnym z ruchem wskazówek zegara o kąt - Ą
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Jeżeli z liczby wszystkich pierwiastków n, m
pierwiastków znajduje się w prawej
półpłaszczyz
nie a (n-m) w lewej to zmiana
argumentu N(jÉ) przy -"<É<+"
"arg N(jÉ ) = (n - m)Ä„ - mÄ„ = (n - 2m)Ä„
-"<É<+"
Ponieważ warunkiem stabilności jest aby
wszystkie pierwiastki miały ujemne części
rzeczywiste (czyli m=0), to:
Resk < 0 jeżeli "argN(jÉ)=nÄ„
-"<É<+"
46
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryterium Michajłowa można sformułować
następująco :
Układ regulacji automatycznej jest stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu
krzywej N(jÉ) przy zmianie pulsacji -"<É<+"
wynosi n(Ą/2) gdzie n oznacza stopień równania
charakterystycznego tzn.
nĄ
"arg N(jÉ ) =
2
-"<É<+"
47
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykładowe wykresy Michajłowa układów
stabilnych asymptotycznie rzędu od n=4 do n=1
É
jQ
( )
n=2
n=1
n=3
P (É )
É =
0
n=4
48
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 2
Dany jest układ regulacji automatycznej jak na
rysunku. Zbadać stabilność układu, wykorzystując
kryterium Michajłowa, jeśli T1=0.14s, T2=2s i
K=10. Jakie powinno byś K by układ znalazł się na
granicy stabilności?
U(s) Y(s)
W(s)
K
(T1s +1)2

1
T2s
49
Schemat blokowy układu regulacji
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja zastępcza układu zamkniętego
K
(T1s +1)2 KT2s
Gz(s) = =
K 1
T2s(T1s +1)2 + K
1+ Å"
(T1s +1) T2s
Przekształcając mianownik transmisji Gz(s),
otrzymujemy wielomian charakterystyczny układu
N(s) = T12T2s3 + 2T1 T2s2 + T2s + K
po podstawieniu danych
N(s) = 0,04s3 + 0,56s2 + 2s +10
50
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
PodstawiajÄ…c s=jÉ oraz wyodrÄ™bniajÄ…c część
rzeczywistÄ… i urojonÄ… otrzymamy
N(jÉ ) = P(É )+ jQ(É ) = 10 - 0,56É2 + jÉ( 2 - 0,04É2 )
NastÄ™pnie rozwiÄ…zujemy równania P(É)=0 i
Q(É)=0 znajdujÄ…c w ten sposób punkty, przy
których wykres Michajłowa przecina osie.
Wykres krzywej N(jÉ ) przedstawiono na rysunku
poniżej.
51
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wykres tego przechodzi kolejno przez trzy ćwiartki
płaszczyzny zmiennej zespolonej, więc układ jest
stabilny.
)
5,44
É1
É
0
=
-18 2
0
É3
10
É
=
52
8
)
É
j
(
N
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Uzupełnieniem kryterium Michajłowa jest
następujące twierdzenie:
Całkowita zmiana argumentu wielomianu
charakterystycznego N(jÉ) niestabilnego ukÅ‚adu
liniowego jednowymiarowego rzędu n-tego,
którego m pierwiastków leży w prawej
półpłaszczyz
nie wynosi:
Ä„
"arg N(jÉ( = (n - 2m)Å"
2
É"( 0,")
53
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista jest graficznym sposobem
oceny stabilności układu zamkniętego na podstawie
znajomości charakterystyki częstotliwościowej
układu otwartego.
W(s) Y(s)
GO(s)
GR(s)

Schemat blokowy układu regulacji
54
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja operatorowa układu otwartego,
otrzymanego poprzez przerwanie pętli sprzężenia
zwrotnego wynosi:
Y(s)
G(s) = = GR(s)G0(s)
W(s)
PrzedstawiajÄ…c tÄ™ transmitancjÄ™ w postaci ilorazu
wielomianów zmiennej s, otrzymamy
M(s)
G(s) =
N(s)
przy czym N(s)=0 jest równaniem charaktery-
styczne n-tego stopnia układu otwartego.
Transmitancja układu zamkniętego wynosi:
G0(s)GR(s) G(s) M (s)
Z
G(s) = =
55
1+ G0(s)GR(s) 1+ G(s) NZ(s)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
M (s)
lub po uwzględnieniu wyrażenia
G(s) =
N (s)
M (s)
G(s) =
otrzymujemy
N (s)+ M(s)
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego
NZ(s) = N(s) + M(s) = 0
jest również stopnia n.
56
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wnioskujemy zatem, że równanie charakterystyczne Nz(s)
ma te same miejsca zerowe co wyrażenie w mianowniku
transmitancji
G0(s)GR(s) G(s) M (s)
Z
GZ(s) = = =
1+ G0(s)GR(s) 1+ G(s) NZ(s)
Przyrost argumentu wyrażenia 1+G0(jÉ) przy zmianach
czÄ™stoÅ›ci É od 0 do +" wyniesie:
" arg [1 + G (j É )]= " arg N (j É ) - " arg N (j É )
0 Z 0
0<É<" 0<É<" 0<É<"
czyli:
"arg[1+ G0(jÉ)]= "arg[M (jÉ) + NZ(jÉ)]- "arg N0(jÉ)
Z
0<É<" 0<É<" 0<É<"
57
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Rozpatrzmy teraz dwa przypadki:
Układ otwarty jest stabilny
Równanie charakterystyczne układu otwartego
posiada wszystkie pierwiastki w lewej
półpłaszczyz
nie s. Zgodnie z kryterium
Michajłowa
Ä„
"arg N(jÉ) = nÅ"
2
0<É<"
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli
Ä„
"arg NZ(jÉ) = n Å"
2
0<É<" 58
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Warunek stabilności układu zamkniętego można
wtedy zapisać:
"arg[1+ G(jÉ)]= 0
0<É<"
Ten sam warunek odniesiony do charakterystyki
amplitudowo-fazowej ukÅ‚adu otwartego G0(jÉ)
będzie sformułowany następująco:
Jeżeli otwarty układ regulacji jest stabilny i jego
charakterystyka amplitudowo-fazowa G0(jÉ) dla
pulsacji 0<É< " nie obejmuje punktu (-1,j0) to
wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on
również stabilny.
59
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
É
jQ ( )
É
P( )
(-1,j0) É = É =
0 0
a
b
Charakterystyki amplitudowo fazowe:
a) układów stabilnych
60
b) układów niestabilnych
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Układ otwarty jest niestabilny.
Równanie charakterystyczne układu otwartego ma
(n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyz
nie
zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej
półpłaszczyz
nie. Zgodnie ze wzorem:
Ä„
"arg N(jÉ) = (n - 2m)
2
0<É<"
61
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli
Ä„
"arg NZ(jÉ) = (n - 2m)
2
0<É<"
Warunek stabilności układu zamkniętego można
więc zapisać
m
"arg[1+ G(jÉ)]= Å" 2Ä„
2
0<É<"
62
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Warunek ten odniesiony do charakterystyki
amplitudowo-fazowej ukÅ‚adu otwartego G(jÉ)
możemy sformułować następująco:
Jeżeli otwarty układ automatyki jest niestabilny i
posiada m pierwiastków w prawej półpłaszczyz
nie
zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny,
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego dla
częstości zmieniającej się od 0 do ", okrąża
razy m/2 punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim
(przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
63
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 3
Sprawdzić na podstawie kryterium Nuquista, czy
układ zamknięty, którego schemat podano na
rysunku jest stabilny przy Kp = 10.
W(s) E(s) U(s) Y(s)
1
Kp
s3 + 2s2 + 2s +1

Transmitancja układu otwartego :
KP
G(s) =
s3 + 2s2 + 2s +1
64
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Stosując kryterium Hurwitza sprawdzamy czy układ
otwarty jest stabilny:
1) 1 , 2 , 2 , 1 > 0
2 1
"2 = = 4 -1 = 3 > 0
2)
1 2
Układ otwarty jest stabilny.
65
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja widmowa układu otwartego
KP(1- É2 )
ImG(jÉ) =
(1- 2É2 )2 + É2( 2 - É2 )2
stÄ…d
KP(1- 2É2 )
ReG(jÉ) =
(1- 2É2 )2 + É2( 2 - É2 )2
KP(1- É2 )
ImG(jÉ) =
(1- 2É2 )2 + É2( 2 - É2 )2
66
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Po podstawieniu Kp = 10 wykreślono poniżej
charakterystykÄ™ amplitudowo-fazowÄ….
Im
Re
-3,3 10
É=
É= É=0
-9,45
67
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wykres G(jÉ) przecina oÅ› rzeczywistÄ… przy
É = 2
częstości w punkcie (-3.3,j0) i w
p
związku z tym obejmuje punkt (-1,j0). Układ
zamknięty będzie więc niestabilny.
Jedną z zalet kryterium Nyquista jest, iż można
je stosować dla układów zamkniętych
zawierających elementy opóz
niajÄ…ce
W(s) Y(s)
e-sÄ G(s)

Schemat blokowy układu zamkniętego z elementem
opóz
niajÄ…cym 68
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja widmowa układu otwartego ma postać
Gotw(jÉ) = G (jÉ)e- jÉÄ = G (jÉ)(cosÉÄ - j sinÉÄ)
Moduł transmitancji widmowej
Gotw(jÉ) = G (jÉ) cos2 ÉÄ + sin2 ÉÄ = G (jÉ)
Kąt przesunięcia fazowego
sin ÉÄ
Õ (É) = Õotw(É) - arctg = Õotw(É) - ÉÄ
cos ÉÄ
gdzie: |Gotw(jÉ)| i |Õotw(jÉ)| sÄ… moduÅ‚em i fazÄ…
układu otwartego bez opóz
nienia.
69
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dla pewnej czÄ™stoÅ›ci Éx, dla której |G(jÉx)|=1
istnieje krytyczna stała czasowa opóz
nienia Äkr
taka, że:
Õotw(Éx )+ Ä„
Äkr =
Õotw(Éx )-ÉxÄkr = -Ä„ czyli
Éx
Wtedy wykres przechodzi przez punkt (-1,j0) a
układ zamknięty znajduje się na granicy
stabilności.
70
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wpływ elementu opóz
niajÄ…cego na przebieg
charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego
71
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Logarytmiczne kryterium stabilności
Zapas stabilności
Z kryterium Nyquista wynika, że moduł
transmitancji widmowej układu otwartego dla
czÄ™stoÅ›ci Éx, dla której argument tej transmitancji
jest równy -Ą, powinien być mniejszy od jedności.
Wtedy bowiem charakterystyka amplitudowo-
fazowa nie obejmuje punktu (-1,j0).
72
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Otrzymujemy zatem warunki:
G(jÉ) < 1
oraz
argG(jÉx ) -Ä„
=
Warunek |G(jÉx)|<1 w skali logarytmicznej przyjmie
postać
Lm(Éx ) = 20lg G(jÉx ) < 0
73
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Na podstawie przedstawionych zależności można
sformułować kryterium Nyquista oparte na
charakterystykach logarytmicznych :
Jeśli układ otwarty jest stabilny, a jego
charakterystyka amplitudowa logarytmiczna
przecina oś 0 dB przy częstości mniejszej od
częstości przecięcia osi -Ą przez charakterystykę
fazową, to układ zamknięty jest stabilny.
W przeciwnym razie układ zamknięty jest
niestabilny
74
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Lm G
b)
Lm G
dB
a)
dB
É
X
0
0
Lg
" Lg
L
m
1
Ä„
1
2 Ä„
2
0
0
1
Lg
1 - Ä„ Lg
- Ä„
2
" Õ
2
0
Charakterystyki logarytmiczne: a) układu stabilnego
75
b) układu niestabilnego
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Na podstawie przebiegu charakterystyk
logarytmicznych można również określić tzw.
 zapas stabilności . Jest to pewien margines
bezpieczeństwa, dający projektantowi układu
regulacji pewność, że układ pozostanie stabilny,
pomimo pewnych zmian jego parametrów
Wyróżnia się przy tym dwa rodzaje zapasu
stabilności:
zapas modułu:
"Lm
0
zapas fazy:
"Õ0
76
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zapas modułu zwany też zapasem wzmocnienia
określa wartość, o którą może być zwiększone
wzmocnienie układu otwartego aby układ znalazł
się na granicy stabilności
"Lm = -20lg G(jÉ)
0
"Õ0 = -Ä„
Zapas fazy określa wartość zmiany argumentu
transmitancji widmowej przy stałym wzmocnieniu,
które spowodowałoby że układ zamknięty
znalazłby się na granicy stabilności
77
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zapas stabilności można również określić na
podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej
układu otwartego
Im
1
K
É=
É=0
Re
-1
Õ
ż
É
x
78
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zapas modułu można wyznaczyć
1
"K =
G(jÉ)
Õ = -Ä„
W tym przypadku miarą zapasu stabilności
układu jest oddalenie charakterystyki amplitudowo-
fazowej od punktu krytycznego (-1,j0).
79