Miary statystyczne
Statystyka  Wykład 2.
Miary statystyczne
dr Michał Trzęsiok
[e-mail]
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Katedra Analiz Gospodarczych i Finansowych
12 paz
dziernika 2015 r.
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Charakterystyka miar statystycznych
Miary położenia charakteryzują przeciętną wartość cechy dla
jednostek w próbie
Miary rozproszenia (zróżnicowania, zmienności)
charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek w próbie
Miary asymetrii (skośności) pokazują czy więcej jednostek
ma wartość cechy większą, czy mniejszą od średniej
Miary koncentracji pokazują na ile wartości cechy skupione
(skoncentrowane) są blisko średniej
Miary korelacji (dla co najmniej dwóch zmiennych) pokazują
kierunek i siłę związku między zmiennymi
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Dopasowanie mierników do skali pomiaru zmiennej
Miary Miary Miary Miary
położenia rozproszenia asymetrii korelacji
Nominalna Dominanta Entropia  Statystyka Ç2
Porządkowa Mediana Odchylenie Pozycyjny Współczynnik
Kwantyle ćwiartkowe współcz. asym. korelacji Ä Kendalla
Przedziałowa Średnia Odchylenie Klasyczny Współczynnik
arytmetyczna standardowe współcz. asym. korelacji Pearsona
Ilorazowa Średnia Współczynnik Klasyczny Stosunek
geometryczna zmienności współcz. asym. korelacyjny
i harmoniczna
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Inny podział miar statystycznych
Miary klasyczne  wymagają znajomości wszystkich wartości
cechy (dla szeregów przedziałowych wszystkie przedziały
muszą być domknięte). Są obiektywne, ale bardzo wrażliwe na
błędy, oraz tzw. wartości oddalone
Miary pozycyjne  nie wymagają znajomości wszystkich
wartości cechy. Ich wartość wynika ze szczególnego położenia
w szeregu, co oznacza, że są subiektywne. Nie są jednak
wrażliwe na błędy, wartości oddalone itp.
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Miary położenia: średnia
Średnia z liczb x1, x2, . . . , xN to wartość teoretyczna, która przypadałaby na
jednostkę statystyczną, gdyby łączny zasób cechy był rozłożony równomiernie
Åšrednia arytmetyczna
N

xi N

x1 + x2 + . . . + xN i=1 1
x = = = xi
Å»
N N N
i=1
k k

1
x = xi ni = xi wi
Å»
N
i=1 i=1
k k

1
x H" xi ni = xî wi
Ż Ć
N
i=1 i=1
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Własności średniej
średnia jest miarą klasyczną i jest wrażliwa na wartości
oddalone
xmin x xmax
Å»
N

(xi - x) = 0
Å»
i=1
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Dominanta
Dominanta to wartość występująca najczęściej
Dominanta
D = xD, dla której nD = max{ni}
Dominanta leży w przedziale o największej gęstości i obliczamy ją wg
wzoru:
gD - gD-1
D H" xD + · "D
(gD - gD-1) + (gD - gD+1)
lub w przypadku szeregu o przedziałach jednakowej długości:
nD - nD-1
D H" xD + · "D
(nD - nD-1) + (nD - nD+1)
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Własności dominanty
dominanta jest miarÄ… pozycyjnÄ… i jest wyznaczana
dwuetapowo (najpierw pozycja a potem wartość
odpowiadajÄ…ca tej pozycji)
dominanta nazywana jest również modą [oznaczenie: Mo]
w szeregu może istnieć więcej niż jedna dominanta (mówimy
wtedy o rozkładach wielomodalnych)
w przypadku szeregu przedziałowego w którym największa
gęstość jest w przedziale pierwszym lub ostatnim nie można
zastosować podanych wzorów; piszemy wtedy tylko jaki jest
przedział dominanty
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Mediana
Mediana to wartość środkowa lub inaczej  taka wartość w szeregu, która
rozdziela ten szereg na dwie części, w ten sposób, że połowa wartości w szeregu
jest od niej mniejsza lub równa a pozostała połowa  większa lub równa
Mediana
Dla nieparzystej liczby obserwacji N:
Me = x0,5(N+1)
Dla parzystej liczby obserwacji N:
x0,5N + x0,5N+1
Me =
2
Dla szeregów przedziałowych stosujemy wzór na kwantyl rzędu 0, 5 (podany na
kolejnych slajdach), gdyż Me = Q0,5
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Własności mediany
mediana jest miarÄ… pozycyjnÄ… i jest wyznaczana dwuetapowo
(najpierw pozycja a potem wartość odpowiadająca tej pozycji)
mediana jest pozycyjnym odpowiednikiem średniej (miary
klasycznej) i często używa się ich zamiennie; x "! Me
Å»
mediana jest odporna na wartości oddalone
średnia, dominanta i mediana nazywane są miarami
tendencji centralnej
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Kwantyle [kwantyl rzędu p]
Kwantyl rzędu p, gdzie p " (0, 1) to taka wartość w szeregu, która
rozdziela ten szereg na dwie części, w ten sposób, że p · 100 % wartoÅ›ci
w szeregu jest od niej mniejsza lub równa a pozostała część
((1 - p) · 100 %)  wiÄ™ksza lub równa
Kwantyl rzędu p
Qp = x[N·p]+1
gdzie [N · p] oznacza część caÅ‚kowitÄ… (cechÄ™) z liczby N · p
Kwantyl Qp leży w przedziale, w którym znajduje się obserwacja
o numerze [N · p] + 1 i obliczamy go wg wzoru:
p · N - cum nQ
p-1
Qp H" xQ + · "Q
p p
nQ
p
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Uwagi do kwantyli
Niektóre kwantyle są na tyle ważne i często wykorzystywane, że
mają własne nazwy a czasem i oznaczenia:
mediana: Me = Q0,5
kwartyle (dzielące na części czwarte); pierwszy kwartyl Q0,25,
drugi kwartyl, czyli Me, oraz trzeci kwartyl Q0,75
percentyle (dzielące na części setne); pierwszy percentyl Q0,01,
drugi percentyl Q0,02, . . . , dziewięćdziesiąty dziewiąty
percentyl Q0,99
często wykorzystuje się dwa kwantyle do odcinania wartości
skrajnych w szeregu (np. przedział (Q0,1, Q0,9) zawiera 80%
obserwacji w szeregu odcinajÄ…c skrajnie niskie i skrajnie
wysokie)
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Miary rozproszenia: wariancja
Wariancja to przeciętny kwadrat odchylenia od średniej
arytmetycznej
N

1
S2(x) = (xi - x)2
Å»
N
i=1
k

1
S2(x) = (xi - x)2 ni
Å»
N
i=1
k

1
S2(x) H" (xi - x)2 ni
Ć Ż
N
i=1
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Własności wariancji
wariancja jest miarą klasyczną i jest wrażliwą na wartości
oddalone
wariancji nie interpretujemy [z powodu jednostek
 kwadratowych w jakich jest wyrażona]
wariancja ma bardzo duże znaczenie w teorii statystyki
na potrzeby interpretacji pierwiastkujemy wariancję, ale to już
inna miara statystyczna
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe to przeciętne odchylenie od średniej

s(x) = S2(x)
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Współczynnik zmienności
Współczynnik zmienności również wyraża przeciętne
odchylenie od średniej
s(x) s(x)
Vs(x) = = · 100%
x x
Å» Å»
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Uwagi do współczynnika zmienności
współczynnik zmienności wyraża to samo co odchylenie
standardowe, ale Vs jest miarą względną (bez jednostek;
wyrażoną w %), zaś s jest miarą absolutną (wyrażoną
w jednostkach takich jak dane)
to czy zróżnicowanie danej cechy jest duże czy małe zależy od
tego ile jest równa średnia, np. zróżnicowanie cen pewnego
produktu równe ą2 zł jest bardzo duże w przypadku, gdy
produktem jest kostka masła, lub bardzo małe, gdy
produktem jest komputer
zawsze kiedy chcemy porównać zróżnicowanie (rozproszenie)
należy posłużyć się (porównać) współczynniki zmienności;
nie wolno porównywać odchyleń standardowych!
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Odchylenie ćwiartkowe
Odchylenie ćwiartkowe to przeciętne odchylenie od mediany
Q0,75 - Q0,25
Q =
2
Uwagi
odchylenie ćwiartkowe jest pozycyjnym odpowiednikiem
odchylenia standardowego (miary klasycznej) i często używa
siÄ™ ich zamiennie; s "! Q
analogicznie do klasycznego współczynnika zmienności można
do porównywania zróżnicowania wykorzystywać pozycyjny
współczynnik zmienności:
Q
VQ =
Me
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Kierunek asymetrii
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Miary asymetrii: współczynnik asymetrii Pearsona
x - D
Å»
Å‚ =
s(x)
Å‚ jest miarÄ… hybrydowÄ…, klasyczno pozycyjnÄ…
ł stosujemy tylko dla rozkładów jednomodalnych
ł = 0  rozkład symetryczny
ł > 0  rozkład o asymetrii prawostronnej
ł < 0  rozkład o asymetrii lewostronnej
im ł bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0,
tym silniejsza
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Zestandaryzowany moment centralny trzeciego rzędu
M3(x)
3(x) =
(s(x))3
gdzie
N

1
M3(x) = (xi - x)3
Å»
N
i=1
k

1
M3(x) = (xi - x)3 ni
Å»
N
i=1
k

1
M3(x) H" (xi - x)3 ni
Ć Ż
N
i=1
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Zestandaryzowany moment centralny trzeciego rzędu
M3(x)
3(x) =
(s(x))3
3 jest miarÄ… klasycznÄ…
3(x) = 0  rozkład symetryczny
3(x) > 0  rozkład o asymetrii prawostronnej
3(x) < 0  rozkład o asymetrii lewostronnej
im 3(x) bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze
0, tym silniejsza
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Pozycyjny współczynnik asymetrii (Yule a Kendalla)
(Q0,75 - Me) - (Me - Q0,25)
A =
Q0,75 - Q0,25
A jest miarÄ… pozycyjnÄ…
A " -1, 1
A = 0  rozkład symetryczny
A > 0  rozkład o asymetrii prawostronnej
A < 0  rozkład o asymetrii lewostronnej
im A bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0,
tym silniejsza
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
DZI
KUJ
ZA UWAG
!
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne
Podział miar statystycznych
Miary położenia
Miary statystyczne
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Statystyka  Wykład 2.
Miary statystyczne
dr Michał Trzęsiok
[e-mail]
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Katedra Analiz Gospodarczych i Finansowych
12 paz
dziernika 2015 r.
dr Michał Trzęsiok Wykład 2.  Statystyka: miary statystyczne