D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[1]
CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE
STRUKTURY ZBIOROWOÅšCI
(Parametry statystyczne)
PARAMETRY STATYSTYCZNE - liczby słu\
Ä…ce do
syntetycznego opisu struktury zbiorowości statystycznej.
PARAMETRY DZIELIMY NA 4 GRUPY:
1. miary poło\
enia
2. miary zmienności (dyspersji, rozproszenia)
3. miary asymetrii (skośności)
4. miary koncentracji
MIARY POA
OśENIA
Miary przeciętne charakteryzują średni lub typowy poziom
wartości cechy.
Miary poło\
enia dzielą się na miary przeciętne i kwantyle.
Podział miar poło\
enia jest następujący:
1. miary klasyczne (średnia: arytmetyczna, harmoniczna,
geometryczna) oraz
2. miary pozycyjne (modalna, kwantyle)
Wśród kwantyli najczęściej mówi się o:
1. kwartylach (pierwszy, drugi zwany medianÄ…, trzeci) -
podział zbiorowości na 4 części,
2. decylach - podział zbiorowości na 10 części,
3. centylach (percentylach) - podział zbiorowości na 100
części.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[2]
ÅšREDNIA arytmetyczna
Średnią arytmetyczną definiuje się jako sumę wartości cechy
mierzalnej przez liczebność populacji. Średnia jest wielkością
mianowanÄ… tak samo jak badana cecha.
Dla szeregów szczegółowych
Tutaj wyliczamy tzw. średnią arytmetyczną prostą
(niewa\
oną), która ma postać:
n
"x
i
x1 + x2 +L+ xn
i=1
x = =
n n
PRZYKA
AD 1
Wez
my dane z przykładu (wykład 1) o liczbie braków:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4
0 +L+ 0 +1+L+1+ 2 +L+ 2 + 3+L+ 3 + 4 + 4
x =
50
40
x = = 0,8
50
Średnia liczba braków przypadająca na 1 wyrób wynosi w
tym przykładzie 0,8 [brak/szt.].
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[3]
Dla szeregów rozdzielczych punktowych
Tutaj wyliczamy tzw. średnią arytmetyczną wa\
onÄ…,
która ma postać:
k
"x ni
i
x1n1 + x2n2 +L+ xknk
i=1
x = =
n n
lub
k
x = x1w1 + x2w2 +L+ xkwk =
"x wi
i
i=1
W przykładzie z liczbą braków obliczenia według pierwszego
wzoru (z liczebnościami ni) przedstawia poni\
sza tabela.
numer liczba liczba obliczenia
klasy braków wyrobów do
(liczebność) średniej
i xi ni xi ni
1 0 30 0
2 1 8 8
3 2 6 12
4 3 4 12
5 4 2 8
razem 50 40
×
×
×
×
40
x = = 0,8
50
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[4]
Obliczenia średniej liczby braków z wykorzystaniem drugiego
wzoru (ze wskaz
nikami struktury wi)) pokazuje kolejna tabela.
numer liczba wskaz
nik obliczenia
klasy braków struktury do
średniej
i xi wi xi wi
1 0 0,60 0,00
2 1 0,16 0,16
3 2 0,12 0,24
4 3 0,08 0,24
5 4 0,04 0,16
razem 1,00 0,80
×
×
×
×
x = 0,80
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[5]
Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych
Tutaj wyliczamy tzw. średnią arytmetyczną wa\
onÄ…,
która ma postać:
k
&i
"x ni
& & &
x1n1 + x2n2 +L+ xknk
i=1
x = =
n n
lub
k
& & & &i
x = x1w1 + x2w2 +L+ xkwk =
"x wi
i=1
&
xi
gdzie jest środkiem przedziału klasowego wyliczanym
x0i + x1i
&
xi =
następująco:
2
Nale\
y pamiętać, \
e przy pogrupowaniu danych z
ródłowych
w szereg rozdzielczy przedziałowy następuje pewna utrata
informacji. Je\
eli policzymy średnią dla szeregu szczegółowego lub
szeregu rozdzielczego punktowego, to wynik będzie dokładny i taki
sam. Dla danych w postaci szeregu rozdzielczego przedziałowego
średnia będzie ju\
przybli\
eniem. Tym większym, im szersze są
przedziały klasowe, im jest ich mniej, itd.
Np. dla danych z
ródłowych o czasach dojazdu pracowników firmy
8080
x = = 40,44
ZAUR otrzymamy: minuty.
200
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[6]
PRZYKA
AD 2
Obliczenia dla średniej w przykładzie z czasem dojazdu w firmie
ZAUR (wykład 1) według pierwszego wzoru (z liczebnościami ni)
przedstawia poni\
sza tabela.
numer czas środek liczba obliczenia
klasy dojazdu przedziału pracow- do
w ZAUR ników średniej
i x0i  x1i ni
& &
xi xini
1 5  15 10 10 100
2 15  25 20 20 400
3 25  35 30 30 900
4 35  45 40 50 2000
5 45  55 50 80 4000
6 55  65 60 10 600
razem 200 8000
× ×
× ×
× ×
× ×
8000
x = = 40
200
Obliczenia dla średniej według drugiego wzoru (ze wskaz
nikami
struktury wi) przedstawia kolejna tabela.
numer czas środek wskaz
nik obliczenia
klasy dojazdu przedziału struktury do
w ZAUR średniej
i x0i  x1i wi
& &
xi xiwi
1 5  15 10 0,05 0,5
2 15  25 20 0,10 2,0
3 25  35 30 0,15 4,5
4 35  45 40 0,25 10,0
5 45  55 50 0,40 20,0
6 55  65 60 0,05 3,0
razem 1,00 40,0
× ×
× ×
× ×
× ×
x = 40
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[7]
Wa\
niejsze własności
ÅšREDNIEJ arytmetycznej
1. Suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej
i liczebności populacji, tj.
n k
nx = nx =
"x "x ni
i i
lub
i=1 i=1
2. Åšrednia arytmetyczna nie mo\
e być mniejsza od najmniejszej
wartości cechy ani te\
większa od największej jej wartości
xmin d" x d" xmax
3. Suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest równa
zero
n k
"(x - x)= 0 "(x - x)ni = 0
i i
lub
i=1 i=1
4. Średnią arytmetyczną oblicza się w zasadzie dla szeregów o
zamkniętych klasach przedziałowych. Mo\
na klasy sztucznie domknąć
(i policzyć średnią) tylko wtedy, gdy odsetek jednostek w tych klasach
jest niewielki (do 5%). Gdy ten odsetek jest du\
y nale\
y stosować miary
pozycyjne zamiast średniej.
5. Średnia arytmetyczna jest czuła na skrajne wartości cechy. Są to
wartości cechy dla jednostek nietypowych w badanej zbiorowości i
przypadkowo (niepoprawnie) włączonych do badanej populacji.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[8]
ÅšREDNIA harmoniczna
Średnią harmoniczną stosujemy wtedy, gdy wartości cechy są
podane w przeliczeniu na stałą jednostkę innej cechy, czyli w postaci
tzw. wskaz
ników natę\
enia (na przykład: prędkość pojazdu
[km/godz.], cena jednostkowa [zł/szt.], spo\
ycie [kg/osoba], itp.)
k k
"l "l
i i
i=1 i=1
xH = =
k k
li
"m "
i
xi
i=1 i=1
xi - wartość i-tego wariantu badanej cechy
li - wartość i-tego wariantu licznika badanej cechy
mi - wartość i-tego wariantu mianownika badanej cechy
PRZYKA
AD 3
Kierowca przejechał trasę ze zmienną prędkością. Odcinek A
o długości 30 km przejechał z prędkością 50 km/godz. Odcinek B
o długości 81 km przejechał z prędkością 90 km/godz. Z jaką
średnią prędkością pokonał trasę kierowca?
Badaną cechą X jest prędkość wyra\
ona w [km/godz.].
trasa prędkość czas
[km] [km/godz.] [godz.]
i
li xi mi =li /xi
1 30 50 0,6
2 81 90 0,9
Razem 111 1,5
×
×
×
×
xH = (30 + 81)/(30/ 50 + 81/ 90)=
= 111/(0,6 + 0,9)=111/1,5 =
= 74
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[9]
PRZYKA
AD 4
Producent przetworów owocowych sprzedawał słoje z przetworami
na targowisku.
W godzinach 6-10 sprzedawał słoje po 7 zł/słój i utargował 840 zł.
W godzinach 10-12 sprzedawał słoje po 6 zł/słój i utargował 360 zł.
W godzinach 12-16 sprzedawał słoje po 5 zł/słój i utargował 100 zł.
Jaka była średnia cena słoja sprzedanego w tym dniu?
Badaną cechą X jest cena słoja wyra\
ona w [zł/słój].
utarg cena ilość
[zł] [zł/słój] [słój]
i
li xi mi =li /xi
1 840 7 120
2 360 6 60
3 100 5 20
Razem 1300 200
×
×
×
×
xH = (840 + 360 +100)/(840/ 7 + 360/ 6 +100/5)=
= 1300/(120 + 60 + 20)=1300/ 200 =
= 6,5
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[10]
ÅšREDNIA geometryczna
Średnią geometryczną określa się wzorem:
n
n
n
xG = x1 × x2 ×L× xn =
"xi
i=1
Średnia ta znajduje szczególne zastosowania w analizie dynamiki
zjawisk (poczekaj na stosowny wykład).
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[11]
MODALNA (Dominanta)
Modalna (Mo) zwana te\
dominantą (D) jest to wartość
cechy, która występuje najczęściej w badanej zbiorowości.
ZALECENIA przy wyznaczaniu modalnej
1. ModalnÄ… wyznaczamy i sensownie interpretujemy tylko wtedy, gdy
dane sÄ… pogrupowane w szereg rozdzielczy (punktowy lub
przedziałowy).
2. Liczebność populacji powinna być dostatecznie du\
a.
3. Diagram lub histogram liczebności (częstości) ma wyraz
nie zaznaczone
jedno maksimum (rozkład jednomodalny).
4. Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy
modalna nie występuje w skrajnych przedziałach (pierwszym lub
ostatnim) - przypadek skrajnej asymetrii. Nie da siÄ™ w takim
przypadku analitycznie wyznaczyć modalnej.
5. Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy
przedział modalnej oraz dwa sąsiednie przedziały (poprzedzający i
następujący po przedziale modalnej) powinny mieć taką samą
rozpiętość.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[12]
Modalna dla szeregów rozdzielczych punktowych
PRZYKA
AD 5
Badano czas obróbki detalu [minuta] przez pracowników firmy
ZAUR. Otrzymane dane pogrupowano w szereg rozdzielczy
punktowy.
numer czas liczba wskaz
nik
klasy obróbki pracow- struktury
[minuta] ników (częstość)
i xi ni wi
1 10 10 0,05
2 11 30 0,15
3 12 80 0,40
4 13 50 0,25
5 14 20 0,10
6 15 10 0,05
razem 200 1,00
×
×
×
×
A
atwo zauwa\
yć, \
e największa liczba pracowników (a zarazem
największa częstość) znajduje się w klasie 3 (m=3). Zatem modalna
wynosi:
Mo = xm = x3 =12
WNIOSEK: najczęściej występujący czas obróbki detalu wśród
pracowników firmy ZAUR to 12 minut.
W domu: policz samodzielnie średni czas obróbki i porównaj z
modalnÄ….
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[13]
Modalna dla szeregów rozdzielczych przedziałowych
Modalną wyliczamy tutaj wg następującego wzoru:
nm - nm-1
M = x0m + hm
o
nm - nm-1 + nm - nm+1
m - numer klasy (przedziału) z modalną
x0m - dolny kraniec przedziału modalnej
hm - rozpiętość przedziału modalnej (hm=x1m-x0m)
nm - liczebność przedziału modalnej
nm-1 (nm+1) - liczebność dla przedziałów sąsiadujących z przedziałem
modalnej
PRZYKA
AD 6
Wykorzystamy badanie czasu dojazdu w firmie ZAUR (wykład 1).
numer czas liczba
klasy dojazdu pracow-
w ZAUR ników
i x0i  x1i ni
1 5  15 10
2 15  25 20
3 25  35 30
4 35  45 50
5 45  55 80
6 55  65 10
razem 200
×
×
×
×
80 - 50
Mo = 45 +10× =
80 - 50 + 80 -10
= 45 +10×30 100 = 45 + 3 = 48
WNIOSEK: najczęściej występującym czasem dojazdu wśród
pracowników firmy ZAUR jest 48 minut.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[14]
Z wykorzystaniem częstości(wskaz
niki struktury) wzór na modalną jest
następujący:
wm - wm-1
Mo = x0m + hm
wm - wm-1 + wm - wm+1
wm - częstość (wskaz
nik struktury) przedziału modalnej
wm-1 (wm+1) - częstość dla przedziałów sąsiadujących z przedziałem modalnej
numer czas wskaz
nik
klasy dojazdu struktury
w ZAUR
i x0i  x1i wi
1 5  15 0,05
2 15  25 0,10
3 25  35 0,15
4 35  45 0,25
5 45  55 0,40
6 55  65 0,05
razem 1,00
×
×
×
×
0,4 - 0,25
Mo = 45 +10× =
0,4 - 0,25 + 0,4 - 0,05
= 45 +10× 0,15 0,5 = 45 + 3 = 48
Modalna mo\
emy wyznaczyć graficznie tak jak to pokazano na rysunku.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[15]
KWARTYLE
Kwartyle to takie wartości cechy X, które dzielą zbiorowość na cztery równe
części pod względem liczebności (lub częstości). Części te pozostają w
okreśonych proporcjach do siebie.
Aby dokonywać takiego podziału zbiorowość musi być uporządkowana
według rosnących wartości cechy X.
Ka\
dy kwartyl dzieli zbiorowość na dwie części, które pozostają do siebie w
następujących proporcjach. I tak:
kwartyl 1 (QI) - 25% z lewej i 75% populacji z prawej strony kwartyla,
kwartyl 2 (QII) - 50% z lewej i 50% populacji z prawej strony kwartyla,
kwartyl 3 (QIII) - 75% z lewej i 25% populacji z prawej strony kwartyla.
Mediana
Mediana (Me) - wartość środkowa, inaczej: kwartyl 2 (QII).
Jest to taka wartość cechy X, która dzieli zbiorowość na dwie równe części,
tj. połowa zbiorowości charakteryzuje się wartością cechy X mniejszą lub
równą medianie, a druga połowa większą lub równą.
Mediana dla szeregu szczegółowego
Szereg musi być posortowany rosnąco !!!
Wartość mediany wyznacza się inaczej gdy liczebność populacji (n) jest
nieparzysta, a inaczej gdy jest parzysta.
Me = xn+1
Dla n nieparzystego:
2
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
Me = xn + xn ÷Å‚
ìÅ‚
+1
2
Dla n parzystego:
íÅ‚ 2 2 Å‚Å‚
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[16]
PRZYKA
AD 7
Zmierzono czas wykonania detali [minuta/ szt.] przez wybranego
pracownika firmy ALFA i otrzymano następujący szereg szczegółowy:
10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13,
13, 13, 14, 14, 15, 15, 15
Liczebność populacji jest nieparzysta: n=17
Me = x17+1 = x18 = x9 =13
2 2
WNIOSEK:
Dla połowy detali czas wykonania jednego detalu przez pracownika firmy
ALFA był nie dłu\
szy ni\
(d"
d") 13 minut, a drugiej połowy detali był
d"
d"
nie krótszy (e"
e") ni\
13 minut.
e"
e"
PRZYKA
AD 8
Zmierzono czas wykonania detali [minuta/ szt.] przez wybranego
pracownika firmy BETA i otrzymano następujący szereg szczegółowy:
10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13,
13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16
Liczebność populacji jest parzysta: n=18
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
Me = x18 + x18 ÷Å‚ = (x9 + x10)= (12 +13)= 12,5
ìÅ‚
+1
2 2 2
íÅ‚ 2 2 Å‚Å‚
WNIOSEK:
Dla połowy detali czas wykonania jednego detalu przez pracownika firmy
BETA był nie dłu\
szy ni\
(d"
d") 12,5 minuty, a dla drugiej połowy detali był
d"
d"
nie krótszy (e"
e") ni\
12,5 minuty.
e"
e"
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[17]
Mediana dla szeregu rozdzielczego punktowego
1. Ustalamy na początek tzw. numer mediany (NMe). Jest to połowa
1
NMe = n
liczebnoÅ›ci populacji: (albo uÅ‚amek ½ dla czÄ™stoÅ›ci).
2
2. Kumulujemy liczebności (albo częstości).
3. Znajdujemy klasę, w której po raz pierwszy przekroczony został numer
mediany. Klasa ta ma numer m.
Me = xm .
4. Wartość cechy X w klasie m jest medianą, t.j.
PRZYKA
AD 9
Dane z przykładu 5 o czasie obróbki detalu [minuta] przez
pracowników firmy ZAUR.
numer czas liczba skumulowana skumulowana
klasy obróbki pracow- liczebność częstość
[minuta] ników
i xi ni ni sk wi sk
1 10 10 10 0,05
2 11 30 40 0,20
3 12 80 120 0,60
4 13 50 170 0,85
5 14 20 190 0,95
6 15 10 200 1,00
razem 200 ×
× ×
× ×
× ×
× ×
Liczebność populacji: n=200
Numer mediany:
1
NMe = × 200 =100
" (dla liczebności) albo
2
1
cz
NMe =
" (dla częstości)
2
Numer klasy z medianÄ…: m=3
Me = xm = x3 = 12
Mediana:
WNIOSEK: Połowa pracowników firmy ZAUR obrabia detal nie dłu\
ej
ni\
(d" e") ni\
12 minut.
d") 12 minut, a druga połowa nie krócej (e"
d" e"
d" e"
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[18]
Mediana dla szeregu rozdzielczego przedziałowego
Wzór na medianę (przy wykorzystaniu liczebności):
NMe - nm-1 sk
Me = x0m + hm
nm
PRZYKA
AD 10
Dane z przykładu 6 (badanie czasu dojazdu w firmie ZAUR).
numer czas liczba skumul.
klasy dojazdu pracow- liczebność
w ZAUR ników
i x0i  x1i ni ni sk
1 5  15 10 10
2 15  25 20 30
3 25  35 30 60
4 35  45 50 110
5 45  55 80 190
6 55  65 10 200
razem 200
× ×
× ×
× ×
× ×
Liczebność populacji: n=200
1
NMe = × 200 =100
Numer mediany:
2
Numer klasy z medianÄ…: m=4
100 - 60
Me = 35 +10× =
50
40
= 35 +10× =
50
= 35 + 8 = 43
WNIOSEK: Połowa pracowników firmy ZAUR doje\
d\
a do pracy
w czasie nie dłu\
szym (d"
d") ni\
43 minuty, a druga połowa w czasie nie
d"
d"
krótszym (e"
e") ni\
43 minuty.
e"
e"
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[19]
Wzór na medianę (przy wykorzystaniu częstości):
cz
NMe - wm-1 sk
Me = x0m + hm
wm
PRZYKA
AD 10 (c.d.)
numer czas wskaz
nik skumul.
klasy dojazdu struktury częstość
w ZAUR (częstość)
i x0i  x1i wi wi sk
1 5  15 0,05 0,05
2 15  25 0,10 0,15
3 25  35 0,15 0,30
4 35  45 0,25 0,55
5 45  55 0,40 0,95
6 55  65 0,05 1,00
razem 1,00
× ×
× ×
× ×
× ×
1
cz
NMe =
Numer mediany:
2
Numer klasy z medianÄ…: m=4
0,50 - 0,30
Me = 35 +10× =
0,25
0,20
= 35 +10× =
0,25
= 35 + 8 = 43
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 2 ze Statystyki, 2009/10
[20]
Pozostałe kwartyle
Wszystkie kwartyle wyznaczamy podobnie jak kwartyl 2 (czyli medianÄ™)
pamiętając w jakich proporcjach dzielą one zbiorowość.
Dla szeregów rozdzielczych pomocną mo\
e być tabela, w której zestawiono
numery kwartyli.
numer kwartyla
kwartyl
cz
NQ
NQ
dla liczebności ( )
dla częstości ( )
1 1
cz
NQ = n NQ = = 0,25
kwartyl 1 (QI)
I I
4 4
2 1 1
kwartyl 2 (QII)
cz
NQ = n = n NQ = = 0,50
II II
mediana
4 2 2
3 3
cz
NQ = n NQ = = 0,75
kwartyl 3 (QIII)
III III
4 4
Kwartyle mo\
emy wyznaczyć graficznie tak jak to pokazano na rysunku.