STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Wiesław Mądry, Bogda Kowalska
STATYSTYKA MATEMATYCZNA -
dział matematyki stosowanej oparty
na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje
się badaniem zbiorów na podstawie analizy
ich części.
(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman)
Wikipedia 2008
Wnioski
ZBIÓR
Tezy
Część
Wyniki,
zbioru
Analiza
WI.1
Statystyka jest stosowana w wielu
dziedzinach wiedzy, w niektórych z nich tak
intensywnie, \
e doczekała się własnej
terminologii i wyspecjalizowanych metod.
Z czasem wytworzyły się dziedziny
z pogranicza statystyki i innych nauk.
Nale\
Ä… do nich:
" Biometria
" Demografia
" Ekonometria
" Fizyka statystyczna
" Psychologia statystyczna
" Socjologia statystyczna
" Statystyka gospodarcza
Obecnie standardem w naukach
eksperymentalnych jest potwierdzanie
istnienia obserwowanych zale\
ności przy
pomocy metod statystyki matematycznej.
Pozwala to odró\
nić rzeczywiste wyniki
od przypadkowej zbie\
ności.
WI.2
Od staro\
ytności do około połowy XIX wieku
termin statystyka oznaczał podany
w tabelarycznej formie zbiór danych na temat
stanu państwa. W pewnym momencie
posiadanie podstawowych danych stało się
niewystarczające, szczególnie przy coraz
szybciej rozwijającej się gospodarce światowej.
Konieczne stało się nie tylko ulepszanie metod
pozyskiwania danych, ale równie\
ich opisu
i analizy. Zbiegło się to w czasie z szybkim
rozwojem metod matematycznych, szczególnie
teorii prawdopodobieństwa.
ELEMENTY RACHUNKU
PRAWDOPODOBIEC
STWA
Rachunek prawdopodobieństwa  analiza
praw rzÄ…dzÄ…cych zdarzeniami losowymi.
Pojęcia pierwotne  zdarzenie elementarne
É oraz zbiór zdarzeÅ„ elementarnych &!.
Zdarzenie losowe A  podzbiór zbioru
zdarzeń elementarnych &!.
WI.3
Prawdopodobieństwo (aksjomatyczna
definicja Kołmogorowa):
"
1. P(A) <0, 1>
2. P(&!) = 1
U I
3. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
&! <0, 1>
Prawdopodobieństwo (klasyczna definicja
Laplace a):
Je\
eli &! składa się z n jednakowo
prawdopodobnych zdarzeń elementarnych,
to prawdopodobieństwo zdarzenia A
składającego się z k zdarzeń elementarnych
wyra\
a siÄ™ wzorem:
k
P(A) =
n
Prawdopodobieństwo zdarzenia A`
(przeciwnego do zdarzenia A):
P(A`) = 1 - P(A)
WI.4
Zdarzenia rozłączne. Zdarzenia A i B są
rozłączne, je\
eli
(A )" B) = 0
Wtedy
P(A )" B) = 0
Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia
zdarzenia B pod warunkiem realizacji
zdarzenia A:
P(B )" A)
P(B / A) =
P(A)
Zdarzenia niezale\
ne: Zdarzenia A i B sÄ…
niezale\
ne, je\
eli
I
P(A B) = P(A)·P(B)
Równowa\
nie
P(B/A) = P(B)
P(A/B) = P(A)
WI.5
Schemat Bernoulliego
- ciÄ…g n niezale\
nych zdarzeń,
- w pojedynczym zdarzeniu realizuje siÄ™
sukces lub pora\
ka,
- prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe,
równe p
n
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
P(k sukcesów) = pk (1 - p)n-k
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
q = 1-p
k = 0, 1, 2, ,n
ZMIENNA LOSOWA (CECHA)
Zmienna losowa: funkcja o wartościach
rzeczywistych, określona na zbiorze zdarzeń
elementarnych &!. Innymi słowy zmienna
losowa X jest liczbowÄ… prezentacjÄ… wyniku
doświadczenia losowego.
&! R
WI.6
X, Y, Z, X1, X2
x, x, y, y, z, z, x , x
i i i 1i 2i
Zmienna jakościowa (niemierzalna):
przyjmuje wartości nie będące liczbami (np.
kolor, płeć, smakowitość).
Zmienna ilościowa (mierzalna), skokowa:
przyjmuje pewne wartości liczbowe i nie
przyjmuje wartości pośrednich (np. liczba
bakterii, liczba kolonii dro\
d\
y, liczba
pracowników). Nazywana jest równie\

zmiennÄ… dyskretnÄ….
Zmienna ilościowa (mierzalna), ciągła:
przyjmuje wartości z pewnego przedziału
liczbowego (np. wzrost, plon,
kaloryczność).
zmienna losowa
zm. jakościowa zm. ilościowa
zm. skokowa zm. ciągła
WI.7
Rozkład zmiennej losowej skokowej X: zbiór
wartości zmiennej losowej xi oraz
prawdopodobieństwa pi z jakimi te wartości są
przyjmowane.
pi "< 0,1 > , pi = 1
"
pi = P(X = xi),
i
Przykład. Jednokrotny rzut kostką. Zmienna
losowa X to liczba wyrzuconych oczek.
Rozkład (kostka rzetelna):
xi 1 2 3 4 5 6
pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Rozkład (kostka nierzetelna):
xi 1 2 3 4 5 6
pi 1/24 1/24 1/24 1/12 1/8 2/3
f.r.p. zmiennej X
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
1 2 3 4 5 6
wartości zmiennej X
WI.8
p-stwa