D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[1]
CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE
STRUKTURY ZBIOROWOÅšCI
(c.d.)
1. miary poło\
enia - wykład 2
2. miary zmienności (dyspersji, rozproszenia)
3. miary asymetrii (skośności)
4. miary koncentracji
MIARY ZMIENNOÅšCI
Miary zmienności charakteryzują stopień zró\
nicowania
jednostek zbiorowości pod względem badanej cechy.
Miary zmienności dzielą się na miary klasyczne i pozycyjne.
1. miary klasyczne (wariancja, odchylenie standardowe,
odchylenie przeciętne, współczynnik zmienności) oraz
2. miary pozycyjne (rozstęp, odchylenie ćwiartkowe,
współczynnik zmienności).
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[2]
Miary KLASYCZNE
Wariancja, odchylenie standardowe,
odchylenie przeciętne,
współczynnik zmienności (klasyczny)
Wariancję (s2) definiuje się jako średnią arytmetyczną
kwadratów odchyleń wartości cechy od średniej
arytmetycznej zbiorowości. Wariancja jest wielkością
mianowanÄ… w kwadracie miana badanej cechy i
nie interpretujemy jej.
Odchylenie standardowe (s) jest pierwiastkiem
kwadratowym z wariancji. Jest ono wielkością mianowaną
tak samo jak badana cecha. Odchylenie standardowe określa
przeciętne zró\
nicowanie badanej cechy od średniej
arytmetycznej.
Odchylenie przeciętne (d) jest średnią arytmetyczną bezwzględnych
odchyleń wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Jest ono wielkością
mianowaną tak samo jak badana cecha. Odchylenie przeciętne
interpretujemy podobnie jak odchylenie standardowe.
Współczynnik zmienności (klasyczny) (Vs lub Vd) jest to
iloraz odchylenia standardowego (lub przeciętnego) przez
średnia arytmetyczną. Jest to wielkość niemianowana.
U\
ywamy go do porównań zmienności w dwu lub więcej
zbiorowościach.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[3]
Ocena rozproszenia
na podstawie obserwacji diagramów
Na rysunku pokazano dwa diagramy częstości (1) i (2).
Dla uproszczenia miary poło\
enia (średnia, mediana i
modalna) są sobie równe i identyczne dla obu zbiorowości.
" Mniejsze rozproszenie wokół średniej występuje
w zbiorowości (1).
Diagram jest smuklejszy i wy\
szy.
" Większe rozproszenie wokół średniej występuje
w zbiorowości (2).
Diagram jest bardziej rozło\
ysty i ni\
szy.
Odchylenie standardowe w zbiorowości (1) jest mniejsze ni\

w zbiorowości (2)
s1 <
< s2
<
<
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[4]
Przedział TYPOWYCH wartości cechy
(miary klasyczne)
x - s < xtyp < x + s
Przedział taki ma tą własność, \
e około70% jednostek
badanej zbiorowości charakteryzuje się wartością cechy
nale\
ącą do tego przedziału.
Reguła  3 sigma
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[5]
Dla szeregów szczegółowych
Wariancja
n
2
2 2
"(x - x)
i
(x1 - x) +L+(xn - x)
i=1
s2 = =
n n
Odchylenie standardowe
n
2
2 2
"(x - x)
i
(x1 - x) +L+ (xn - x)
i=1
s = = = s2
n n
Odchylenie przeciętne
n
xi - x
"
x1 - x +L+ xn - x
i=1
d = =
n n
Współczynnik zmienności (klasyczny)
s d
Vs = Vd =
lub
x x
PRZYKA
AD 1
Wez
my dane z przykładu 1 (wykład 2) o liczbie braków:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4
Jak pamiętamy: n=50
x = 0,8
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[6]
Wariancja liczby braków:
2 2
(x1 - x) +L+ (x50 - x)
s2 = =
50
2 2
(0 - 0,8) +L+ (4 - 0,8) 68
= = =1,36
50 50
Odchylenie standardowe:
s = s2 = 1,36 H"1,17
Odchylenie przeciętne:
x1 - x +L+ x50 - x
d = =
50
0 - 0,8 +L+ 4 - 0,8
48
= = = 0,96
50 50
Współczynnik zmienności (klasyczny)
1,17 0,96
Vs = =1,46 lub Vd = =1,2
0,8 0,8
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[7]
Dla szeregów rozdzielczych punktowych
Wariancja
k
2
2 2
"(x - x) ni
(x1 - x) n1 +L+ (xk - x) nk i=1 i
s2 = =
n n
Odchylenie standardowe
k
2
2 2
"(x - x) ni
i
(x1 - x) n1 +L+ (xk - x) nk
i=1
s = = = s2
n n
Odchylenie przeciętne
k
xi - x ni
"
x1 - x n1 +L+ xk - x nk i=1
d = =
n n
W przykładzie z liczbą braków obliczenia przedstawia poni\
sza tabela.
numer liczba liczba odchylenie
obliczenia dla wariancji
klasy braków wyrobów przeciętne
2 2
xi - x
xi - x ni
(xi - x) ni
i xi ni (xi - x)
1 0 30 -0,8 0,64 19,20 24,0
2 1 8 0,2 0,04 0,32 1,6
3 2 6 1,2 1,44 8,64 7,2
4 3 4 2,2 4,84 19,36 8,8
5 4 2 3,2 10,24 20,48 6,4
razem 50 68,00 48,0
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
48
68
d = = 0,96
s2 = =1,36
s = 1,36 H"1,17
50 50
Współczynnik zmienności (klasyczny)
1,17 0,96
Vs = =1,46 lub Vd = =1,2
0,8 0,8
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[8]
Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych
Wariancja
k
2
&i
2 2
"(x - x) ni
& &
(x1 - x) n1 +L+ (xk - x) nk i=1
s2 = =
n n
Odchylenie standardowe
k
2
&i
2 2
"(x - x) ni
& &
(x1 - x) n1 +L+ (xk - x) nk
i=1
s = = = s2
n n
Odchylenie przeciętne
k
&
xi - x ni
"
& &
x1 - x n1 +L+ xk - x nk i=1
d = =
n n
PRZYKA
AD 2 - czas dojazdu pracowników firmy ZAUR
numer czas środek liczba odchylenie
obliczenia dla wariancji
klasy dojazdu klasy pracow. przeciętne
2 2
& xi - x ni
& xi - x & &
i x0i  x1i xi ni (xi - x) (xi - x) ni &
5  15
1 10 10 -30 900 9000 300
15  25
2 20 20 -20 400 8000 400
25  35
3 30 30 -10 100 3000 300
35  45
4 40 50 0 0 0 0
45  55
5 50 80 10 100 8000 800
55  65
6 60 10 20 400 4000 200
200 32000 2000
razem × × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
x = 40
Jak pamiętamy: n=200 [minut]
2000
32000
d = =10
s2 = =160
s = 160 H"12,7
200 200
Współczynnik zmienności (klasyczny)
12,7 10
Vs = = 0,32 Vd = = 0,25
lub
40 40
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[9]
Miary POZYCYJNE
Rozstęp, odchylenie ćwiartkowe,
współczynnik zmienności (pozycyjny)
Rozstęp ( R )definiuje się jako ró\
nicę pomiędzy największą i
najmniejszą wartością cechy:
R = xmax - xmin
Odchylenie ćwiatkowe (Q) jest miarą rozproszenia wartości
cechy od mediany. Definiuje się go jako połowę ró\
nicy
pomiędzy trzecim i pierwszym kwartylem:
QIII - QI
Q =
2
Odchylenie ćwiartkowe mierzy poziom zró\
nicowania połowy
jednostek populacji. Odrzucane są jednostki o wartościach
badanej cechy poni\
ej pierwszego kwartyla (25%) oraz
powy\
ej trzeciego kwartyla (25%).
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[10]
Współczynnik zmienności (pozycyjny) jest to iloraz
odchylenia ćwiartkowego przez medianę. Jest to wielkość
niemianowana. U\
ywamy jej do porównań zmienności w dwu
lub więcej zbiorowościach.
Q
VQ =
Me
Przedział TYPOWYCH wartości cechy
(miary pozycyjne)
Definiujemy go podobnie jak w przypadku miar klasycznych
(rolę średniej przejmuje tutaj mediana, a rolę odchylenia
standardowego  odchylenie ćwiartkowe)
Me - Q < xtyp < Me + Q
Przedział ten będzie wę\
szy od przedziału dla miar
klasycznych.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[11]
Dla szeregów szczegółowych
PRZYKA
AD 3
Wez
my dane z przykładu 1 (liczba braków):
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4
R = xmax - xmin = 4 - 0 = 4
Rozstęp:
Odchylenie ćwiartkowe:
QI = x13 = 0
QII (Me) = (x25 + x26)/2 = (0+0)/2 = 0
QIII = x38 = 1
QIII - QI 1- 0
Q = = = 0,5
2 2
Współczynnik zmienności (pozycyjny):
Q 0,5
VQ = = = ???
Nie mo\
na wyznaczyć !!!
Me 0
Przedział typowych wartości cechy (pozycyjny):
Me - Q < xtyp < Me + Q
0 - 0,5 < xtyp < 0 + 0,5
- 0,5 < xtyp < 0,5
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[12]
PRZYKA
AD 4
Wez
my dane z przykładu 7 (wykład 2):
10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13,
13, 13, 14, 14, 15, 15, 15
R = xmax - xmin =15 -10 = 5
Rozstęp:
Odchylenie ćwiartkowe:
QI = (x4 + x5)/2 = (12+12)/2 = 12
QII (Me) = x9 = 13
QIII = (x13 + x14)/2 = (14+14)/2 = 14
QIII - QI 14 -12
Q = = =1
2 2
Współczynnik zmienności (pozycyjny):
Q 1
VQ = = H" 0,077
Me 13
Przedział typowych wartości cechy (pozycyjny):
Me - Q < xtyp < Me + Q
13-1< xtyp <13+1
12 < xtyp <14
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[13]
Dla szeregów rozdzielczych punktowych
PRZYKA
AD 5
Dane z przykładu 5 (wykład 2).
numer czas liczba liczebność
klasy obróbki pracow- skumulowana
[minuta] ników
i xi ni ni sk
1 10 10 10
2 11 30 40
3 12 80 120
4 13 50 170
5 14 20 190
6 15 10 200
razem 200
× ×
× ×
× ×
× ×
R = xmax - xmin =15 -10 = 5
Rozstęp:
Odchylenie ćwiartkowe:
QI = x3 = 12
QII (Me) = x3 = 12
QIII = x4 = 13
QIII - QI 13 -12
Q = = = 0,5
2 2
Współczynnik zmienności (pozycyjny):
Q 0,5
VQ = = H" 0,042
Me 12
Przedział typowych wartości cechy (pozycyjny):
12 - 0,5 < xtyp <12 + 0,5
11,5 < xtyp <12,5
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[14]
Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych
PRZYKA
AD 6 Dane z przykładu 10 (wykład 2).
numer czas liczba skumul.
klasy dojazdu pracow- liczebność
w ZAUR ników
i x0i  x1i ni ni sk
1 5  15 10 10
2 15  25 20 30
3 25  35 30 60
4 35  45 50 110
5 45  55 80 190
6 55  65 10 200
razem 200
× ×
× ×
× ×
× ×
R = xmax - xmin = 65 - 5 = 60
Rozstęp:
Odchylenie ćwiartkowe:
QI H"
H" 31,7
H"
H"
QII (Me) = 43
QIII = 50
QIII - QI 50 - 31,7
Q = = H" 9,2
2 2
Współczynnik zmienności (pozycyjny):
Q 9,2
VQ = = H" 0,213
Me 43
Przedział typowych wartości cechy (pozycyjny):
43- 9,2 < xtyp < 43+ 9,2
33,8 < xtyp < 52,2
D. Miszczyńska, M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, 2009/10
[15]
Przykład 7 (praca domowa)
PÅ‚ace (stawka godzinowa) w firmach A, B i C
Stawka
klasa liczba pracowników (ni)
[zł/godz.]
i x0i x1i firma A firma B firma C
1 2 4 15 15 20
2 4 6 30 105 50
3 6 8 60 75 50
4 8 10 30 75 70
5 10 12 15 30 10
× razem
×
×
×
W ramach ćwiczenia wyznacz w ka\
dej z firm:
1. średnią
2. wariancjÄ™
3. odchylenie standardowe
4. medianÄ™
5. modalnÄ…
6. na wspólnym wykresie narysuj diagramy częstości stawki
w firmach A, B i C
Uzyskany materiał będzie podstawą dla kolejnego wykładu.