Przegląd metod całkowania równań różniczkowych
zwyczajnych
Spis treści
[schowaj]
" 1 Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych
" 2 Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
" 3 Równanie różniczkowe jednorodne
" 4 Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
" 5 Równanie Bernoullego
" 6 Równanie różniczkowe zupełne
" 7 Równanie różniczkowe liniowe rzędu o stałych współczynnikach
Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych
Ten wykład prezentuje metody rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych. Pokazujemy,
jak otrzymać rozwiązanie ogólne dla równań rzędu pierwszego: równania o zmiennych rozdzielonych,
równania jednorodnego, równania liniowego, równania Bernoullego i równania różniczkowego
zupełnego. Z równań wyższych rzędów zajmujemy się tylko równaniem liniowym (jednorodnym i
niejednorodnym) o stałych współczynnikach.
Uwaga 14.1.
Przez rozwiązanie równania rozumiemy w tym wykładzie zarówno podanie rozwiązania w postaci
jawnej, to znaczy podanie wzoru na szukaną funkcję jak też podanie rozwiązania w postaci
uwikłanej, czyli gdzie jest stałą dowolną. Aby zapewnić istnienie i jednoznaczność
rozwiązań, zakładamy, że wszystkie występujące w naszym wykładzie funkcje są klasy w pewnym
przedziale , względnie w kostce Na wykładzie pokazujemy tylko, jak
dostać rozwiązanie ogólne równania, przykłady rozwiązań problemów Cauchy'ego zostawiamy na
ćwiczenia.
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
DEFINICJA 14.2.
Równanie różniczkowe
czyli
lub równoważnie
nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych (rrzr).
Równanie to rozwiązujemy, "rozdzielając zmienne", czyli grupując wyrażenia z po jednej stronie, a
wyrażenia z po drugiej stronie znaku równości. Otrzymujemy:
skąd rozwiązanie ogólne równania (rrzr) dostajemy w postaci
gdzie przez zapis i rozumiemy dowolną pierwotną z funkcji podcałkowej i gdzie
jest stałą dowolną.
Uwaga 14.3.
Postępując jak powyżej, mogliśmy "zgubić" pewne rozwiązania równania (rrzr). Dokładniej, skoro
dzielimy (rrzr) przez stronami, to nasze rozwiązanie nie uwzględnia rozwiązań postaci
gdzie jest takie, że Te rozwiązania (o ile istnieją) musimy dołączyć do rozwiązania
ogólnego równania (rrzr).
Z problemem "gubienia" pewnych rozwiązań spotkamy się na tym wykładzie jeszcze niejednokrotnie.
Dla zaznaczenia, że musimy osobno rozważać pewne rozwiązania, będziemy pisać obok równania na
przykład:
zaznaczając w ten sposób, że należy rozważyć, czy rozwiązania postaci dla są
rozwiązaniami naszego równania.
A zatem rozwiązania (rrzr) są postaci
lub
dla
PRZYKA
AD 14.4.
Rozwiązać równanie
Dzieląc przez , dostajemy
Odtąd zakładamy, że Całkując, mamy
gdzie stałą zapisujemy jako dla pewnej stałej a zatem
czyli
a więc
Oprócz tego, jak od razu widać, rozwiązaniem jest funkcja
Reasumując, możemy napisać, że wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci
gdzie jest stałą dowolną.
PRZYKA
AD 14.5.
Rozwiązać równanie
Dzieląc przez , dostajemy
Całkując, mamy
czyli
a więc
Dodatkowo
także jest rozwiązaniem naszego równania.
A zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci
gdzie jest stałą dowolną.
Równanie różniczkowe jednorodne
DEFINICJA 14.6.
Funkcja jest funkcją jednorodną stopnia (gdzie ), jeśli dla każdego i
wszystkich z dziedziny funkcji, też należy do dziedziny oraz zachodzi
PRZYKA
AD 14.7.
(1) Funkcja jest funkcją jednorodną stopnia
(2) Funkcja jest funkcją jednorodną stopnia
(3) Funkcja nie jest funkcją jednorodną.
DEFINICJA 14.8.
Równanie różniczkowe
gdzie i są funkcjami jednorodnymi tego samego stopnia , nazywamy równaniem
różniczkowym jednorodnym (rrj).
Uwaga 14.9.
Równanie różniczkowe jednorodne możemy zawsze sprowadzić do postaci (rrj'):
Faktycznie, dzieląc (rrj) przez , a następnie dzieląc licznik i mianownik przez ,
dostajemy postać (rrj').
Równanie (rrj') rozwiązujemy, podstawiając
Mamy zatem a więc podstawiając do (rrj'), dostajemy równanie
różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
To równanie rozwiązujemy znaną już metodą i dostajemy:
PRZYKA
AD 14.10.
Rozwiązać równanie
To jest równanie jednorodne. (Funkcje są jednorodne stopnia ). Dzielimy stronami przez i
dostajemy:
Podstawiając , otrzymujemy równanie:
zatem
Rozwiązaniem tego równania jest
gdzie jest dowolną stałą. Skoro , to
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
DEFINICJA 14.11.
Równanie różniczkowe
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego (rrl-1).
Jeśli funkcja , to równanie
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego (rrlj-1).
Jeśli funkcja nie jest tożsamościowo równa zero, to równanie
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu pierwszego (rrlnj-1).
Najpierw pokażemy, jak znalez
ć rozwiązania równania różniczkowego liniowego jednorodnego (rrlj-1)
Widać, że jest to równanie o zmiennych rozdzielonych,
czyli
Całkując, dostajemy:
gdzie jest stałą dowolną. (Uwzględniliśmy już, że jest rozwiązaniem naszego równania
(rrlj-1)).
Przypuśćmy teraz, że mamy rozwiązać równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego,
niejednorodne,
Zachodzi następujące stwierdzenie (dowód pomijamy).
STWIERDZENIE 14.12.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego jest sumą
rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania różniczkowego jednorodnego i szczególnego
rozwiązania równania (rrlnj-1).
A zatem rozwiązujemy równanie (rrlnj-1), znajdując najpierw rozwiązanie odpowiadającego mu
równania różniczkowego liniowego jednorodnego,
czyli funkcję
Następnie musimy znalez
ć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. Zgodnie ze stwierdzeniem
14.12, wystarczy znalez
ć szczególne rozwiązanie (rrlnj-1). Może nam się udać takie rozwiązanie
szczególne zgadnąć (patrz przykład 14.15.) i wtedy wystarczy je dodać do rozwiązania ogólnego
równania jednorodnego. Istnieją także metody szukania rozwiązań szczególnych, tu poznamy jedną z
nich. Jest to tak zwana metoda uzmienniania stałej. Aby zastosować tę metodę, załóżmy, że
rozwiązanie ogólne (rrlnj-1) można zapisać w postaci
gdzie jest pewną funkcją klasy którą musimy znalez
ć. By wyznaczyć , podstawmy nasze
do równania Dostaniemy:
czyli po uproszczeniu
Stąd
czyli
gdzie, jak wcześniej, oznacza dowolną pierwotną z funkcji podcałkowej, a jest
stałą.
Podstawiając otrzymane do wzoru na rozwiązanie, dostajemy:
czyli, zapisując zgodnie ze stwierdzeniem 14.12, dostajemy następujące stwierdzenie.
STWIERDZENIE 14.13.
jest rozwiązaniem ogólnym (rrlnj-1).
A
atwo sprawdzić, że jest szczególnym rozwiązaniem (rrlnj-1).
PRZYKA
AD 14.14.
Rozwiązać równanie liniowe niejednorodne:
Zgodnie z wyżej wprowadzonymi oznaczeniami mamy tu oraz Rozwiązując
równanie jednorodne, dostajemy
Stosując metodę uzmienniania stałej (lub od razu wstawiając do wzoru na rozwiązanie ogólne), mamy:
jest rozwiązaniem ogólnym naszego równania niejednorodnego.
PRZYKA
AD 14.15.
Znalez
ć rozwiązanie równania
Równanie jednorodne
ma rozwiązanie ogólne Rozwiązanie szczególne naszego równania niejednorodnego
łatwo zgadnąć, otóż jest to Tak więc rozwiązanie ogólne równania , to
zgodnie ze stwierdzeniem 14.12,
Równanie Bernoullego
Jakob Bernoulli (1654-1705)
Zobacz biografię
DEFINICJA 14.16.
Równanie różniczkowe
gdzie
nazywamy równaniem różniczkowym Bernoullego (rrB).
Zauważmy, że dla lub powyższe równanie staje się równaniem różniczkowym liniowym
(jednorodnym lub nie).
Równanie różniczkowe Bernoullego rozwiązujemy za pomocą podstawienia
i sprowadzenia równania do równania liniowego. Faktycznie, skoro , to
Mnożąc (rrB) obustronnie przez , dostajemy równanie
i podstawiając, mamy:
czyli równanie liniowe rzędu pierwszego z niewiadomą funkcją Takie równanie umiemy już
rozwiązać.
Zauważmy też, że jeśli , czyli , to zawsze "gubimy" rozwiązanie .
PRZYKA
AD 14.17.
Rozwiązać równanie
Zapiszmy to równanie jako
Zatem
Nasze równanie, po pomnożeniu obustronnie przez , zamienia się w równanie
czyli po podstawieniu
dostajemy równanie liniowe niejednorodne
Zgodnie ze wzorem na rozwiązanie ogólne równania liniowego podanym w stwierdzeniem 14.13
mamy
czyli
a zatem rozwiązanie naszego równania Bernoullego to
Równanie różniczkowe zupełne
DEFINICJA 14.18.
Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje klasy gdzie jest obszarem
jednospójnym w Równanie różniczkowe
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym (rrz), jeśli w zachodzi
Często definiuje się też równanie różniczkowe zupełne jako takie równanie, że pole wektorowe
jest polem potencjalnym. Jak wiemy, w obszarach jednospójnych te
warunki są równoważne (patrz uwaga 12.17. oraz stwierdzeniem 12.19.).
Metoda rozwiązywania równań różniczkowych zupełnych jest dokładnie taka, jak metoda szukania
potencjału dla pola potencjalnego (patrz ćwiczenie 12.4.). Aby rozwiązać (rrz), wystarczy znalez
ć taką
funkcję , by
i
Jeśli znajdziemy takie , to rozwiązaniem ogólnym (rrz) będzie
ze stałą dowolną
(Dowód powyższego faktu pomijamy, wymaga bowiem wprowadzenia pojęcia różniczki zupełnej).
Aby znalez
ć całkujemy funkcję po zmiennej Dostajemy wtedy
gdzie jest pewną, na razie nieznaną, funkcją klasy Aby wyznaczyć , liczymy pochodną po z
obu stron powyższego równania. Dostajemy:
Porównując te strony tego równania, wyznaczamy a całkując, dostajemy a zatem także
PRZYKA
AD 14.19.
Rozwiązać równanie różniczkowe
Mamy Zachodzi
a więc równanie jest zupełne. Wyznaczmy Mamy
Licząc pochodną po i porównując z , dostaniemy:
skąd
a więc
czyli
Równanie różniczkowe liniowe rzędu o stałych współczynnikach
Wszystkie rozpatrywane do tej pory równania były równaniami różniczkowymi rzędu pierwszego.
Zajmiemy się teraz pewnym szczególnym przypadkiem równań wyższego rzędu, czyli równaniami
liniowymi rzędu o stałych współczynnikach, dla których to równań możemy opisać metodę
prowadzącą do znalezienia rozwiązań. Należy bowiem zdawać sobie sprawę, że nie ma metod
umożliwiających dokładne rozwiązanie dowolnego równania różniczkowego. W praktyce często
zadowalamy się rozwiązaniami przybliżonymi. Szukaniem rozwiązań przybliżonych zajmuje się dział
matematyki zwany metodami numerycznymi.
DEFINICJA 14.20.
Równanie różniczkowe
gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi nazywamy równaniem różniczkowym
liniowym jednorodnym, rzędu o stałych współczynnikach (rrlj-n).
Równanie różniczkowe
gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, a funkcja nie jest tożsamościowo równa
zero, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym, rzędu o stałych
współczynnikach (rrlnj-n).
Aby znalez
ć rozwiązanie równania liniowego jednorodnego (rrlj-n), oprzemy się na poniższym
stwierdzeniu (podamy go bez dowodu).
STWIERDZENIE 14.21.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu o stałych
współczynnikach jest kombinacja liniową
rozwiązań szczególnych tego równania ze stałymi dowolnymi
Musimy zatem mieć liniowo niezależnych rozwiązań równania (rrlj-n), gdzie przez liniową
niezależność funkcji rozumiemy fakt, że żadna z tych funkcji nie jest równa kombinacji liniowej
pozostałych. Aby znalez
ć te rozwiązania, przypuśćmy, że funkcja
jest szczególnym rozwiązaniem naszego równania. Wstawiając tę funkcję do równania, dostajemy:
czyli
DEFINICJA 14.22.
Równanie
nazywamy równaniem charakterystycznym dla równania (rrlj-n).
Aby znalez
ć rozwiązania szczególne równania różniczkowego (rrlj-n), musimy najpierw
rozwiązać równanie charakterystyczne dla tego równania. Rozwiązując, należy znalez
ć wszystkie
pierwiastków tego równania (mogą być zespolone!). To jak wyglądają rozwiązania
, zależy od postaci czyli od tego czy są rzeczywiste, czy zespolone, czy
pojedyncze, czy wielokrotne.
Przypadek I. Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są różne.
Przypadek I.A. są liczbami rzeczywistymi. Wówczas mamy rozwiązanie szczególne
i rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma postać
Przypadek I.B. Wśród są liczby zespolone. Przyjmijmy, że
Zauważmy, że skoro jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to jest nim także
(bo są rzeczywiste; dla naszego równania pierwiastków zespolonych jest zatem zawsze
parzysta ilość). Niech Wówczas dostajemy dwa liniowo niezależne rozwiązania
szczególne postaci
Niech zatem będą pierwiastkami zespolonymi, a
rzeczywistymi (może nie być żadnego). Wtedy rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma
postać
Przypadek II. Wśród pierwiastków równania charakterystycznego są pierwiastki wielokrotne.
Przypadek II.A Niech pierwiastek będzie -krotnym rzeczywistym pierwiastkiem równania
charakterystycznego. Odpowiada mu wtedy liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:
Przypadek II.B Niech pierwiastek będzie -krotnym pierwiastkiem zespolonym równania
charakterystycznego. Wtedy także jest -krotnym pierwiastkiem równania
charakterystycznego i odpowiada im liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:
Zauważmy, że za każdym razem dostajemy w sumie rozwiązań - bo suma ilości
wszystkich pierwiastków równania stopnia liczonych wraz z krotnościami wynosi Rozwiązanie
ogólne (rrlj-n) znajdujemy zatem, biorąc kombinację liniową
PRZYKA
AD 14.23.
Rozwiązać równanie:
Wypisujemy równanie charakterystyczne:
Równanie to ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste
Rozwiązania szczególne to
zatem rozwiązanie ogólne to
PRZYKA
AD 14.24.
Rozwiązać równanie:
Wypisujemy równanie charakterystyczne:
Równanie to ma jeden pierwiastek podwójny ( )
Zatem rozwiązania szczególne to
a rozwiązanie ogólne to
PRZYKA
AD 14.25.
Rozwiązać równanie:
Wypisujemy równanie charakterystyczne:
Równanie to ma (dwa sprzężone) pierwiastki zespolone
tak więc tu
Zatem rozwiązania szczególne to
a rozwiązanie ogólne to
Powiemy teraz, jak znalez
ć rozwiązania niektórych równań różniczkowych liniowych niejednorodnych
rzędu (rrlnj-m). Ograniczymy się do tych sytuacji, kiedy można zastosować tak zwaną metodę
przewidywań.
Bez dowodu podamy następujące stwierdzenie:
STWIERDZENIE 14.26.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego niejednorodnego rzędu o stałych współczynnikach:
jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
To właśnie do znalezienia tego szczególnego rozwiązania będziemy stosować metodę przewidywań.
Okazuje się, że dla pewnych funkcji można przewidzieć postać rozwiązania szczególnego.
Przypadek 1. Funkcja
gdzie jest wielomianem zmiennej oraz liczba nie jest pierwiastkiem równania
charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
gdzie (którego współczynniki musimy wyznaczyć) jest wielomianem tego samego stopnia co
Przypadek 2. Funkcja
gdzie jest wielomianem zmiennej oraz liczba jest pierwiastkiem -krotnym równania
charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
gdzie jest wielomianem tego samego stopnia co
Przypadek 3. Funkcja
gdzie i są wielomianami zmiennej oraz liczba nie jest pierwiastkiem równania
charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
gdzie i są wielomianami stopnia równego
Przypadek 4. Funkcja
gdzie i są wielomianami zmiennej oraz liczba jest pierwiastkiem -krotnym
równania charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
gdzie znowu i są wielomianami stopnia równego
W każdym z powyższych przypadków współczynniki nieznanych wielomianów wyliczymy, wstawiając
do naszego równania niejednorodnego.
Uwaga 14.27.
W przypadku, gdy funkcja w równaniu niejednorodnym jest sumą funkcji opisanych w
przypadkach powiedzmy to szukamy najpierw rozwiązań
szczególnych dla równań niejednorodnych z prawymi stronami równymi Znajdujemy
funkcji Szukane rozwiązanie szczególne to
co wynika z liniowości naszego równania.
PRZYKA
AD 14.28.
Rozwiązać równanie
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne
Równanie charakterystyczne to
z rozwiązaniami Tak więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to
Szukamy teraz rozwiązań szczególnych, najpierw dla równania
Tu zatem nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Przewidujemy zatem rozwiązanie szczególne w postaci:
To wstawiamy do równania Dostajemy:
skąd dostajemy układ równań
czyli Tak więc
Rozwiążemy teraz równanie
Tu i liczba jest (jednokrotnym) pierwiastkiem równania charakterystycznego. Wielomian
ma stopień Rozwiązania szczególnego szukamy zatem w postaci
Współczynniki i wyznaczymy, wstawiając do równania Dostaniemy
skąd
zatem
czyli
Sumując, dostajemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego:
Tak więc rozwiązanie ogólne naszego równania to:
ĆWICZENIE 14.1.
Rozwiązać problem Cauchy'ego:
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [SCHOWAJ]
Rozdzielamy zmienne w powyższym równaniu i dostajemy
(Zauważmy od razu, że i są rozwiązaniami naszego równania). Całkując
powyższą równość, mamy
zatem rozwiązanie ogólne równania (w postaci uwikłanej) jest dane jako
Krzywą przechodzącą przez punkt wyznaczamy, wstawiając ten punkt do powyższego
równania i wyznaczając :
skąd A zatem rozwiązaniem problemu Cauchy'ego jest funkcja dana przez
równanie
ĆWICZENIE 14.2.
Rozwiązać problem Cauchy'ego:
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [SCHOWAJ]
Rozdzielamy zmienne w naszym równaniu i dostajemy
(Zauważmy też, że jest rozwiązaniem wyjściowego równania). Całkując, mamy
(dla wygody stałą dowolną zapisaliśmy, podobnie jak na wykładzie, jako ; możemy tak
zrobić, bo funkcja jest suriekcją na ). Z powyższego równania dostajemy zatem
Nasz warunek początkowy to zatem wstawiamy do rozwiązania ogólnego punkt
i wyznaczamy :
skąd i szukane rozwiązanie to
ĆWICZENIE 14.3
Znalez
ć krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty między osiami współrzędnych jest
podzielony na połowy w punkcie styczności.
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [SCHOWAJ]
file=am2.m14.c.r01.swf|width=375|height=375
Odcinek styczny do wykresu krzywej
Równanie stycznej w punkcie to
Odcinek styczny do wykresu krzywej
Punkt przecięcia stycznej z osią to punkt gdzie
Podobnie, przecięcia stycznej z osią to punkt
gdzie
Z warunków zadania wynika, że współrzędne punktu
mają być średnimi arytmetycznymi współrzędnych punktów i Tak więc
dostajemy
Stąd dostajemy, że
Zapiszmy to równanie różniczkowe, mnożąc przez i
zmieniając nazwy zmiennych na i Dostaniemy równanie
To jest równanie o zmiennych rozdzielonych; rozwiązujemy je
(Zauważmy tu, że choć jest rozwiązaniem powyższego
równania, to nie jest rozwiązaniem naszego zadania, trudno bowiem w tym przypadku mówić
o "odcinku stycznej między osiami"). Całkując, dostajemy
zatem
skąd dostajemy, że rozwiązaniem naszego zadania jest dowolna
krzywa spełniająca
ze stałą
ĆWICZENIE 14.4.
Rozwiązać problem Cauchy'ego:
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [SCHOWAJ]
Nasze równanie możemy zapisać w postaci
Stosujemy podstawienie różniczkując, mamy
Podstawiając do naszego równania, mamy
skąd
Z powyższego równania dostajemy:
Zauważmy tu, że nie jest rozwiązaniem tego równania (ze względu na dziedzinę
logarytmu), natomiast takie, że , czyli (czyli ) jest rozwiązaniem.
Całkując powyższą równość, dostajemy
gdzie znów stałą dowolną zapisujemy w postaci Wracając do zmiennej , mamy
czyli nasze rozwiązanie dane jest równaniem uwikłanym
Rozwiązanie spełniające warunek znajdujemy, wyznaczając z równania
czyli zatem szukane rozwiązanie to
ĆWICZENIE 14.5.
Rozwiązać równanie:
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [SCHOWAJ]
Nasze równanie po przekształceniu możemy zapisać jako
czyli po podzieleniu przez
a zatem faktycznie, mamy równanie liniowe niejednorodne. Rozwiązanie ogólne równania
jednorodnego ma postać
Moduł możemy opuścić, bo jest stałą dowolną. Rozwiązanie szczególne równania
niejednorodnego to w naszym przypadku
A zatem rozwiązaniem ogólnym naszego równania niejednorodnego jest
ĆWICZENIE 14.6.
Znalez
ć rozwiązanie ogólne równania:
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [POKAŻ]
ĆWICZENIE 14.7.
Znalez
ć rozwiązanie ogólne równania:
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [SCHOWAJ]
Nasze równanie to równanie Bernoullego z i (oznaczenia jak na
wykładzie). Równanie rozwiązujemy, robiąc podstawienie
Osobno trzeba rozważyć sytuację ; widać, że ta funkcja jest rozwiązaniem naszego
równania.
Różniczkując , dostajemy
Mnożymy nasze wyjściowe równanie przez i dostajemy
czyli podstawiając
To jest równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego. Rozwiązanie ogólne równania
jednorodnego to
zatem rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego to
czyli
Stąd, skoro rozwiązane możemy napisać jako
ĆWICZENIE 14.8.
Znalez
ć rozwiązanie równania:
które przechodzi przez punkt i którego pochodna także
przechodzi przez punkt
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [POKAŻ]
ĆWICZENIE 14.9.
Znalez
ć rozwiązanie równania:
WSKAZÓWKA [POKAŻ]
ROZWI
ZANIE [SCHOWAJ]
Najpierw rozwiązujemy równanie ogólne
Równanie charakterystyczne to
czyli
Rozwiązania tego równania to
A zatem, skoro mamy jeden rzeczywisty pierwiastek podwójny i dwa pierwiastki zespolone,
sprzężone, rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to
Teraz szukamy rozwiązania szczególnego naszego równania. Ponieważ prawa strona
równania jest równa a , jest podwójnym pierwiastkiem równania
charakterystycznego, rozwiązania szczególnego szukamy w postaci
Różniczkując, mamy
Wstawiając do równania, dostajemy
skąd
czyli
A więc rozwiązanie szczególne to
Rozwiązaniem ogólnym naszego równania jest zatem funkcja
y
ródło:
"http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/%C4%86wiczenia_14:_Przegl%
C4%85d_metod_ca%C5%82kowania_r%C3%B3wna%C5%84_r%C3%B3%C5%BCniczkowych_zwyc
zajnych"