CAA
KOWANIE
NUMERYCZNE
całki pojedyncze
Kwadratury interpolacyjne
Kwadratury interpolacyjne
Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym [a, b].
Przedział [a, b] dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów,
wyróżniając na osi x zbiór punktów:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi < xi+1 < ... < xn = b
Punkty xi, i = 0, 1, ..., n tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):
xi+1 - xi = h = const
3
Kwadratury interpolacyjne
Kwadratury interpolacyjne
4
Kwadratury interpolacyjne
Z własności całki oznaczonej wynika, że:
xn =b xi+1
n-1
f (x)d x = f (x)d x
"

i=0
x0 =a xi
Oznaczenie:
xi +1
Ãi = f (x)d x

xi
5
Kwadratury interpolacyjne
Istota metody kwadratur interpolacyjnych
Przybliżenie funkcji podcałkowej f(x) w przedziale [xi, xi+1]
lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem
interpolacyjnym
xi +1 xi+1
Ãi = f (x)d x H" W (x)d x
+"+"
xi xi
W(x)  wielomian interpolacyjny
6
Kwadratury interpolacyjne
Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość
całki w przedziale [a, b]
Wielomian interpolacyjny
I. wzór Newtona
q(q -1) x - xi
W (x) = yi + q"yi + "2 yi + ..., q =
2! h
7
Metoda prostokątów
Metoda prostokątów
Niech:
W (x) = yi, x "[xi, xi+1]
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika
f(x) na odcinku [xi, xi+1] zastępujemy linią poziomą
9
Metoda prostokątów
xi +1 xi+1
Ãi = f (x)d x H" yi d x

xi xi
Wprowadzamy podstawienie:
x - xi 1
q = , d q = d x, x = xi q = 0, x = xi+1 q =1
hh
Otrzymujemy:
xi +1
1
Ãi = yi d x = h yi d q = hyi

xi 0
10
Metoda prostokątów
b
n-1 n-1
f (x)d x = yi
"Ã = h"
i

i=0 i=0
a
Wzór prostokątów:
b
n-1
f (x)d x = h yi
"

i=0
a
11
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
b
n-1
f (x)d x = h yi
"

i=0
a
Wzór prostokątów z nadmiarem
(wyprowadzany z II. wzoru Newtona):
b
n
f (x)d x = h yi
"

i=1
a
12
Metoda prostokątów
Metoda prostokątów Metoda prostokątów
z niedomiarem z nadmiarem
13
Metoda prostokątów
Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:
5
1
x2 + 2 d x
= 49
()

3
1
b
f (x)d x
f (x) = x2 + 2
a =1 b = 5

a
14
Metoda prostokątów
Ilość podprzedziałów: n = 4
b - a 5 -1
h == =1
Krok całkowania:
n 4
y0 = f (x0) = 12 + 2 = 3
a = x0 =1
y1 = f (x1) = 22 + 2 = 6
x1 = x0 + h =1+1 = 2
y2 = f (x2) = 32 + 2 =11
x2 = x0 + 2h = 1+ 2Å"1 = 3
y3 = f (x3) = 42 + 2 =18
x3 = x0 + 3h = 1+ 3Å"1 = 4
y5 = f (x4) = 52 + 2 = 27
x4 = x0 + 4h = 1+ 4Å"1 = 5 = b
15
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
n-13
h yi = h yi =1Å"(3 + 6 +11+18) = 38
= h(y0 + y1 + y2 + y3)
""
i=0 i=0
Wzór prostokątów z nadmiarem:
n 4
h yi = h yi =1Å"(6 +11+18 + 27) = 62
= h(y1 + y2 + y3 + y4)
""
i=1 i=1
16
Metoda trapezów
Metoda trapezów
Niech:
W (x) = yi + q"yi, x "[xi, xi+1]
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych
składników
18
Metoda trapezów
xi +1 xi+1
Ãi = f (x)d x = (yi + q"yi )d x

xi xi
Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:
1
1
Ãi =
i
(y + q"yi )d q = h( yi + yi+1)
2
0
19
Metoda trapezów
b
n-1 n-1
f (x)d x =
"à = h"ëÅ‚ yi + yi+1 öÅ‚
i
ìÅ‚÷Å‚

2
íÅ‚Å‚Å‚
i=0 i=0
a
Wzór trapezów:
b
îÅ‚ y0 + yn n-1 Å‚Å‚
f (x)d x = h + yi śł
"
ïÅ‚
2
ðÅ‚ i=1 ûÅ‚
a
20
Metoda trapezów
Metoda trapezów
21
Metoda trapezów
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając
ze wzoru trapezów:
5
1
x2 + 2 d x = 49
()

3
1
Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:
n = 4
Punkty xi i wartości funkcji w tych punktach yi są identyczne
jak w poprzednim przykładzie
22
Metoda trapezów
y0 + yn n-1 y0 + y4 3
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚
h + yi śł = h + yi śł =
""
ïÅ‚ ïÅ‚
22
ðÅ‚ i=1 ûÅ‚ i=1 ûÅ‚
ðÅ‚
y0 + y4 3 + 27
îÅ‚ îÅ‚
= 50
= h + y1 + y2 + y3 Å‚Å‚ =1Å" + 6 +11+18Å‚Å‚
ïłśł ïÅ‚ śł
2 2
ðÅ‚ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
23
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona
Niech:
q(q -1)
W (x) = yi + q"yi + "2 yi, x "[xi, xi+1]
2!
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do trzech pierwszych
składników
25
Wzór Simpsona
Przedział [a, b] dzieli się na parzystą ilość podprzedziałów.
Pole pojedynczego trapezu krzywoliniowego:
x2
q(q -1) h
ëÅ‚
Ã0 = y0 + q"y0 + "2 y0 öÅ‚d x = y0 + 4y1 + y2
()
ìÅ‚÷Å‚

2! 3
íÅ‚Å‚Å‚
x0
26
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona:
b
h
f (x)d x H" y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 +...+ 2yn-2 + 4yn-1 + yn
()

3
a
27
Wzór Simpsona
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając
ze wzoru Simpsona:
5
1
x2 + 2 d x = 49
()

3
1
b
h
f (x)d x = y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ...+ 2yn-2 + 4yn-1 + yn =
()

3
a
h
= y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4 =
()
3
1 1
= 3 + 4Å"6 + 2Å"11+ 4Å"18 + 27 = 49
()
3 3
28
Kwadratury Gaussa
Kwadratury Gaussa
Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym [a, b].
Pierwszy krok:
b
f (x)d x
Sprowadzenie całki do postaci znormalizowanej:

a
1
F(¾)d ¾

-1
30
Kwadratury Gaussa
Normalizacja
Podstawienia:
b + a b - a b - a
x =+¾ d x = d ¾
22 2
¾ =-1 x = a, ¾ =1 x = b
31
Kwadratury Gaussa
Czyli:
b 11
b - a b + a b - a
ëÅ‚
f (x)d x =+
f
ìÅ‚÷Å‚
¾öÅ‚d ¾ = F(¾)d ¾

22 2
íÅ‚Å‚Å‚
a -1 -1
b - a b + a b - a
ëÅ‚
F(¾) =+
f ¾öÅ‚
ìÅ‚÷Å‚
22 2
íÅ‚Å‚Å‚
32
Kwadratury Gaussa
Przykład
Całkę sprowadzić do postaci znormalizowanej:
5
2
(x + 2)d x
1
b + a b - a 5 +1 5 -1
= 3 + 2¾
x =+¾ x =+¾
22 22
b - a 5 -1
= 2d ¾
d x = d ¾ d x = d ¾
2 2
33
Kwadratury Gaussa
5 1 1
2
2 2
îÅ‚
îÅ‚
3+ 2¾ + 2 Å"2 d ¾ =
()
{ }
(x + 2)d x =
ðÅ‚8¾ + 24¾ + 22 d ¾
ðÅ‚
1 -1 -1
F(¾) = 8¾2 + 24¾ + 22
34
Kwadratury Gaussa
ZnormalizowanÄ… funkcjÄ™ podcaÅ‚kowÄ… F(¾) w przedziale
[-1, 1] przybliża się wielomianem stopnia 2n-1
F(¾) = a0 + a1¾ + a2¾2 +...+ a2n-1¾2n-1
Następnie obliczamy wartość przybliżoną całki oznaczonej:
1
n
F(¾)d ¾ H"
"F(¾ )wi
i

i=1
-1
¾i  odciÄ™te tzw. punktów Gaussa, ¾i"[-1, 1]
wi  współczynniki nazywane wagami
n  ilość punktów Gaussa
35
Kwadratury Gaussa
n ¾i wi
- 0.57735 1.00000
2
0.57735 1.00000
- 0.86113 0.34785
- 0.33998 0.65214
4
0.33998 0.65214
0.86113 0.34785
Wagi i odcięte punktów Gaussa dla różnych wartości n
36
Kwadratury Gaussa
Przykład
Obliczyć wartość całki oznaczonej z poprzednich przykładów
kwadraturami Gaussa dla n = 2.
F(¾) = 8¾2 + 24¾ + 22
Funkcja podcałkowa po normalizacji:
37
Kwadratury Gaussa
n 2
"F(¾ )wi = "F(¾ )wi = F(¾1)w1 + F(¾2)w2
i i
i=1 i=1
22
îÅ‚
=
ðÅ‚8¾1 + 24¾1 + 22 Å" w1 + îÅ‚
ðÅ‚8¾2 + 24¾2 + 22 Å" w2 =
2
îÅ‚
=
ðÅ‚8(-0.57735) + 24(-0.57735) + 22 Å"1+
2
îÅ‚
+
= 49.33328
ðÅ‚8(0.57735) + 24(0.57735) + 22 Å"1
38
Kwadratury Gaussa
Przykład
Wyprowadzić kwadraturę Gaussa dla przypadku n = 2.
F(¾) = a0 + a1¾ + a2¾2 + a3¾3
Powyższą funkcję całkujemy w przedziale [-1, 1]:
11
îÅ‚
F(¾)d ¾ =

ðÅ‚a0 + a1¾ + a2¾2 + a3¾3 d ¾ =
-1 -1
1
2
111
îÅ‚a
= 2a0 + a2
= ¾ + a1¾2 + a2¾3 + a3¾4 Å‚Å‚
"
0
ïłśł
3
234
ðÅ‚ûÅ‚-1
39
Kwadratury Gaussa
1
F(¾)d ¾ = F(¾1)w1 + F(¾2)w2 =

-1
23
= a0 + a1¾1 + a2¾1 + a3¾1 w1 + a0 + a1¾2 + a2¾2 + a3¾3 w2 =
() ()
2 2
2 3
= 2a0 + ¾1 + ¾2 a1 + ¾1 w1 + ¾2w2 a2 + ¾1w1 + ¾3w2 a3
()
() ()
2 2
""
40
Kwadratury Gaussa
Porównujemy współczynniki przy a0, a1, a2, a3
ze wzorów " i ""
Å„Å‚
w1 + w2 = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚¾1w1 + ¾2w2 = 0
ôÅ‚
òÅ‚
2
ôÅ‚¾1 w1 + ¾2w2 = 2
2
ôÅ‚
3
ôÅ‚
3
ôÅ‚¾1w1 + ¾3w2 = 0
2
ół
w1 =1 w2 =1 ¾1 H"-0.57735 ¾2 H" 0.57735
skÄ…d:
41