CAA
KOWANIE
NUMERYCZNE
całki podwójne
Kubatury Gaussa
Całka podwójna po trójkącie
Całka podwójna po trójkącie
Dana jest funkcja dwóch zmiennych f(x, y) ciągła
i ograniczona w obszarze trójkątnym D.
Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)
nie leżące na jednej prostej.
4
Całka podwójna po trójkącie
Wprowadza się podstawienie normalizujące wyjściowy trójkąt
do trójkąta prostokątnego, równoramiennego o wierzchołkach
(0, 0), (1, 0), (0, 1):
x = x1 + (x2 - x1)¾ + (x3 - x1)·
y = y1 + (y2 - y1)¾ + (y3 - y1)·
Wierzchołki:
(x1, y1) (0,0)
(x2, y2) (1,0)
(x3, y3) (0,1)
5
Całka podwójna po trójkącie
Trójkąt wyjściowy i znormalizowany
6
Całka podwójna po trójkącie
Zmiana układu współrzędnych wymaga pomnożenia funkcji
podcałkowej przez tzw. jakobian przekształcenia:
"x "x
"¾ "·
x2 - x1 x3 - x1
J =
=
"y "y
y2 - y1 y3 - y1
"¾ "·
J = (x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1)
J = 2 D
|D| - pole wyjściowego trójkąta D
7
Całka podwójna po trójkącie
Funkcja podcałkowa dla trójkąta znormalizowanego przyjmuje
postać:
F ¾,· = J f x1 + (x2 - x1)¾ + (x3 - x1)·, y1 + ( y2 - y1)¾ + (y3 - y1)·
( ) [ ]
8
Całka podwójna po trójkącie
Końcowy wzór do obliczania całki podwójnej po trójkącie:
1-¾
1
n
1
F(¾,·)d · =
"F(¾ ,·i )wi
i
d ¾
2
i=1
00
¾i, ·i  współrzÄ™dne punktów Gaussa
wi  wagi punktów Gaussa
n  ilość punktów Gaussa
9
Całka podwójna po trójkącie
n ¾i ·i wi
1/2 1/2 1/3
3 0 1/2 1/3
1/2 0 1/3
Współrzędne i wagi punktów Gaussa
10
Całka podwójna po trójkącie
Przykład
Funkcję podcałkową sprowadzić do postaci znormalizowanej:
(x + 3y -1)d x d y
D
Wierzchołki trójkąta D:
(1,1) (3, 2) (2,3)
f (x, y) = x + 3y -1
11
Całka podwójna po trójkącie
=1+ (3-1)¾ + (2 -1)· =1+ 2¾ +·
x = x1 + (x2 - x1)¾ + (x3 - x1)·
=1+ (2 -1)¾ + (3-1)· =1+ ¾ + 2·
y = y1 + (y2 - y1)¾ + (y3 - y1)·
3-1 2 -1 2 1
x2 - x1 x3 - x1
==
J =
= 3
2 -1 3 -1 1 2
y2 - y1 y3 - y1
12
Całka podwójna po trójkącie
F(¾,·) = 3 Å" 1+ 2¾ +·+ 3(1+¾ + 2·) -1
[ ] = 9 +15¾ + 21·
1-¾
1
9 +15¾ + 21· d ·
()
d ¾
00
13
Całka podwójna po trójkącie
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu dla n = 3
punktów Gaussa.
n 3
1
"F(¾ ,·i )wi = 1 "F(¾ ,·i )wi
i i
22
i=1 i=1
1 îÅ‚ 1 1 1 1 1 1 1Å‚Å‚
ëÅ‚öÅ‚ ëÅ‚0, öÅ‚ ëÅ‚
=
ìÅ‚÷Å‚Å" ìÅ‚ ÷Å‚Å" ìÅ‚÷Å‚
ïÅ‚F íÅ‚ 2 , 2 Å‚Å‚ 3 + F íÅ‚ 2 Å‚Å‚ 3 + F íÅ‚ 2 ,0öÅ‚Å"
2 3śł
Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
1 1
= Å" Å" 27 +19.5 +16.5
=10.5
[]
2 3
14
Całka podwójna po trójkącie
Przykład
Wyprowadzić kubaturę Gaussa dla trójkąta znormalizowanego
i n = 1.
F(¾,·) = a0 + a1¾ + a2·
Całka z tej funkcji po trójkącie znormalizowanym:
1-¾
1
111
(a0 + a1¾ + a2·)d · = a0 + a1 + a2
d ¾
"
266
00
15
Całka podwójna po trójkącie
n
1
1
"F(¾ ,·i )wi = (a0 + a1¾1 + a2·1)w1
i
2
2
i=1
1
= wa0 + ¾1wa1 + ·1wa2
1 1 1
""
2
16
Całka podwójna po trójkącie
Z porównania współczynników przy a0, a1, a2 z " i "":
1 1
Å„Å‚
ôÅ‚2 = w1
2
ôÅ‚
1 1
ôÅ‚
= ¾1w1
òÅ‚
ôÅ‚6 2
1 1
ôÅ‚
ôÅ‚6 = ·1w1
2
ół
11
w1 =1, ¾1 = , ·1 =
33
17