Ćwiczenie 4 (2 godziny)
Całkowanie numeryczne
Cel ćwiczenia Sprawozdanie powinno zawierać
" Zestawienie tabelaryczne i wykresy błędu względnego i bezwzględnego (ewentualnie ich modułów)
Praktyczne zaznajomienie się z najprostszymi metodami całkowania numerycznego. Doświadczalne
całki w zależności od liczby podprzedziałów (długości kroku).
zbadanie przydatności ekstrapolacji Richardsona w całkowaniu numerycznym. Poznanie praktycznych
" Wyniki uzyskane przez zastosowanie ekstrapolacji Richardsona.
zalet adaptacyjnych procedur całkowania numerycznego.
" Wykresy błędu i liczby wywołań procedury obliczającej funkcję podcałkową w zależności od przy-
jętej tolerancji dla procedur adaptacyjnychquad,quad8,alobb,asimp.
Instrukcja wykonawcza
" Uwagi i wnioski, w szczególności ocenę przydatności badanych kwadratur do obliczania całek
1. Napisać M-funkcję obliczającą przybliżoną wartość całki oznaczonej (złożoną) metodą prostoką-
różnych typów funkcji podcałkowych (w celu dokonania takiej oceny wskazane jest wykonanie
tów (wariant punktu środkowego). Jako parametry wejściowe procedury przyjąć: nazwę M-funkcji
wykresów badanych funkcji podcałkowych w przedziale całkowania).
obliczającej funkcję podcałkową, końce przedziału całkowania oraz ilość podprzedziałów. Prze-
testować napisaną M-funkcję obliczając przybliżoną wartość wskazanych przez prowadzącego
Wymagana wiedza teoretyczna
zajęcia całek oznaczonych. Skopiować dwukrotnie utworzony M-plik i zmodyfikować kopie tak
" Podstawowe pojęcia związane z całkowaniem numerycznym: kwadratura, kwadratury proste i zło-
by obliczały przybliżoną wartość całki metodą trapezów i metodą Simpsona. Wykonać obli-
żone, rząd kwadratury ([1, str. 161 163], [2, str. 127 127]).
czenia przybliżonych wartości podanych przez prowadzącego całek testowych przyjmując ilość
" Najprostsze metody wraz z analizą ich błędu: metoda prostokątów, trapezów, wzór Simpsona ([3,
podprzedziałów równą 8, 16, 32, 64; obserwować błąd uzyskanych przybliżeń; uzupełnić obli-
str. 282 283, 285 286, 259 260], [1, str. 166, 167, 169]).
czenia o takie w których liczba podprzedziałów będzie nieparzysta (wartości nieparzyste między
" Kwadratury Newtona-Cotes a  zasada konstrukcji i podstawowe właściwości ([1, str. 164 170],
wskazanymi potęgami liczby 2). Jeśli błąd względny przekracza 0.1% dla wszystkich wykonanych
[4, str. 97 100], [5, str. 113 116], [3, str. 294], [2, str. 136 145])
obliczeń zwiększać w/g podanego schematu (tzn. potęgi liczby 2 i pośrednie wartości nieparzy-
" Kwadratury Gaussa  idea i podstawowe właściwości ([3, str. 294 296], [1, str. 175 179], [2, str.
ste) liczbę podprzedziałów aż do chwili, gdy błąd względny osiągnie wartości poniżej tego progu.
145 150])
Wyniki obliczeń przybliżonych wartości całki dla zadanego przedziału zestawić w postaci tabeli,
" Zastosowanie ekstrapolacji w zagadnieniach całkowania numerycznego. Metoda Romberga ([3,
dla wszystkich wymienionych wyżej metod. Uzyskane wyniki umieścić na wspólnym wykresie na
str. 284 285], [1, str. 171 173], [5, str. 117 122], [2, str. 153 156])
tle obliczonej dokładnej wartości całki. Zwrócić uwagę na szybkość zbieżności poszczególnych
" Wybór kwadratury. Adaptacyjne procedury całkowania numerycznego  zasada działania. ([5, str.
metod. Zastanowić się dla jakiego rodzaju funkcji można stosować określony typ kwadratur.
122 127], [2, str. 161 164])
Sporządzić zestawienie tabelaryczne błędu względnego i bezwzględnego całki w zależności od
liczby podprzedziałów i wybranej metody.
Wymagana wiedza n/t programu Matlab
2. Wykorzystując M-plikekstrapprzeprowadzić ekstrapolację Richardsona wyników uzyskanych
1 1 1 1
" Pętle i instrukcje warunkowe
metodą trapezów, wykorzystując wartości całki obliczone przy kroku równym , , ,
8 16 32 64
" Podstawowe operatory działające na tablicach  poelementowo (.*,./,.\,.^)
długości przedziału całkowania. Przeprowadzić tę samą ekstrapolację, tym razem rozpoczynając
1
" Funkcje definiowane przez użytkownika (M-funkcje)
od długości przedziału całkowania i w każdym etapie redukując krok trzykrotnie. Porównać
8
" Standardowe procedury całkowania numerycznego (quad,quad8)
otrzymane wyniki. Jeśli wzięte do obliczeń ekstrapolacyjnych wyniki są obarczone dużym błędem
powtórzyć obliczenia z krokiem początkowym zapewniającym błąd względny poniżej 0.1%.
Literatura
3. Przetestować na tych samych przykładach standardowe procedury całkowania numerycz-
[1] Zenon Fortuna, Bohdan Macukow, Janusz WÄ…sowski. Metody numeryczne, strony 161 183. WNT War-
nego dostarczane w ramach pakietu Matlab (quad i quad8) i porównać ich działanie
szawa, 1995.
z procedurami alobb, asimp przez wykonanie obliczeń z różną założoną tolerancją (np.
[2] Janina Jankowska, Michał Jankowski. Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Część 1. WNT War-
10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6) i obserwację rzeczywiście osiągniętej dokładności oraz
szawa, 1981.
ilości wywołań funkcji podcałkowej.
[3] Germund Dahlquist, Åke Björck. Metody numeryczne, strony 259 260, 282 299. PWN Warszawa, 1983.
[4] Josef Stoer. Wstęp do metod numerycznych, wolumen 1, strony 97 124. PWN Warszawa, 1979.
[5] Anthony Ralston. Wstęp do analizy numerycznej, strony 87 126. PWN Warszawa, 1983.
[6] David Kincaid, Ward Cheney. Analiza numeryczna, strony 457 484. WNT Warszawa, 2006.
[7] Jerzy Krupka, Roman Z. Morawski, Leszek J. Opalski. Metody numeryczne dla studentów elektroniki
i technik informacyjnych, strony 101 119. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa,
1997.