METROLOGIA
Dr inż. Eligiusz PAWA
OWSKI
Politechnika Lubelska
Wydział Elektrotechniki i Informatyki
Prezentacja do wykładu dla EINS
Zjazd 4, wykład nr 7, 8
Prawo autorskie
Niniejsze materiały podlegają ochronie zgodnie z Ustawą o prawie autorskim i
prawach pokrewnych (Dz.U. 1994 nr 24 poz. 83 z póz
niejszymi zmianami).
Materiał te udostępniam do celów dydaktycznych jako materiały pomocnicze
do wykładu z przedmiotu Metrologia prowadzonego dla studentów Wydziału
Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Lubelskiej. Mogą z nich również
korzystać inne osoby zainteresowane metrologią. Do tego celu materiały te
można bez ograniczeń przeglądać, drukować i kopiować wyłącznie w całości.
Wykorzystywanie tych materiałów bez zgody autora w inny sposób i do innych
celów niż te, do których zostały udostępnione, jest zabronione.
W szczególności niedopuszczalne jest: usuwanie nazwiska autora, edytowanie
treści, kopiowanie fragmentów i wykorzystywanie w całości lub w części do
własnych publikacji.
Eligiusz Pawłowski
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
2
METROLOGIA EINS
Uwagi dydaktyczne
Niniejsza prezentacja stanowi tylko i wyłącznie materiały pomocnicze do
wykładu z przedmiotu Metrologia prowadzonego dla studentów Wydziału
Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Lubelskiej. Udostępnienie studentom
tej prezentacji nie zwalnia ich z konieczności sporządzania własnych notatek z
wykładów ani też nie zastępuje samodzielnego studiowania obowiązujących
podręczników.
Tym samym zawartość niniejszej prezentacji w szczególności nie może być
traktowana jako zakres materiału obowiązujący na egzaminie.
Na egzaminie obowiązujący jest zakres materiału faktycznie wyłożony
podczas wykładu oraz zawarty w odpowiadających mu fragmentach
podręczników podanych w wykazie literatury do wykładu.
Eligiusz Pawłowski
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
3
METROLOGIA EINS
Tematyka wykładu
Eliminacja błędów grubych
Opracowywanie wyników metodą najmniejszych kwadratów
Błędy w pomiarach pośrednich
Niepewność pomiaru w pomiarach pośrednich
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
4
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych
Błąd gruby (błąd nadmierny, pomyłka)  błąd wynikający z
niepoprawnego wykonania pomiaru.
Możliwe przyczyny błędów grubych (przykładowe):
- użycie uszkodzonego, niesprawnego przyrządu,
- błędne odczytanie wskazania (np. pomylony zakres przyrządu),
- z
le połączony układ pomiarowy,
- silne zakłócenie itp.
Wyniki pomiarów obarczone błędem grubym nie powinny być
brane pod uwagę, należy je usuwać ze zbioru danych.
Możliwość taką daje statystyczna obróbka wyników pomiarów.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
5
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  analogia strzelecka
BÅ‚Ä…d systematyczny
decyduje o dokładności
BÅ‚Ä…d przypadkowy
decyduje o precyzji
Pomiary obarczone błędem
grubym należy usuwać ze
zbioru danych
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
6
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  rozkład normalny
Centralne Twierdzenie Graniczne uzasadnia stosowanie do analizy
danych eksperymentalnych właściwości rozkładu normalnego.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego:
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 (x - µ)
÷Å‚
f (x)= expìÅ‚-
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ã
à 2Ą
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla rozkładu normalnego, prawdopodobieństwo tego, że wartość
zmiennej losowej znajdzie siÄ™ w przedziale:
od µ - Ã do µ + Ã jest równe 68,26 %,
Z tego przedziału
korzystamy w
od µ - 2Ã do µ + 2Ã jest równe 95,46 %,
praktyce
najczęściej
od µ - 3Ã do µ + 3Ã jest równe 99,74 %.
µ Ã µ Ã
µ Ã µ Ã
µ Ã µ Ã
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
7
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  przedział 3 sigmowy
Pr(µ - 3Ã < x < µ + 3Ã )= 99.74%
Wniosek: należy wyznaczyć (estymować) parametry
rozkładu na podstawie danych z eksperymentu pomiarowego
i wyznaczyć  przedział trzy sigmowy .
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
8
METROLOGIA EINS
Eliminacja bÅ‚Ä™dów grubych  estymatory µ i Ã
Najlepszym estymatorem wartoÅ›ci oczekiwanej µ dla populacji,
µ
µ
µ
wyznaczanym na podstawie n - elementowej próby x1, x2, ... xn, jest
x
wartość średnia :
n
"x
i
i=1
x =
n
Najlepszym estymatorem odchylenia standardowego à dla
Ã
Ã
Ã
populacji jest odchylenie standardowe z próby s:
n
1
2
s(xi )=
"(x - x)
i
n -1
1
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
9
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  przedział 3 s
Pr(x - 3s < x < x + 3s)= 99.74%
Wniosek: mniej niż 3 pomiary na 1000 wykonanych może leżeć
poza przedziałem o szerokości ą 3s wokół wartości średniej x !
W praktyce możemy więc takie wyniki odrzucić jako obarczone
błędem grubym.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
10
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  postępowanie
Kolejność postępowania:
-wykonujemy serię n pomiarów, otrzymujemy wyniki x1, x2, ... xn,
-obliczamy wartość Å›redniÄ… x (estymujemy wartość oczekiwanÄ… µ
µ),
µ
µ
-obliczamy odchylenie standardowe z próby s (estymujemy Ã
Ã),
Ã
Ã
x
-obliczamy granice przedziału ą 3s (trzy sigma),
-sprawdzamy, czy wszystkie wyniki xi mieszczÄ… siÄ™ w przedziale:
x - 3s < xi < x + 3s
xi
lub (wygodniej): - x < 3s, czyli : 3s - xi - x > 0
-odrzucamy wyniki xi które nie mieszczą się w przedziale ą 3s,
x
-powtarzamy procedurę od początku, aż wszystkie wyniki będą się
mieściły w przedziale ą 3s.
x
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
11
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  przykład Excel
wykonujemy seriÄ™ np. 13
pomiarów, zapisujemy wyniki
x1, x2, ... x13 do tabeli
Obliczamy wartość średnią x
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
12
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  przykład c.d.
obliczamy odchylenie
standardowe z próby s
obliczamy 3s
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
13
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  przykład c.d.
Obliczamy
xi - x
Obliczamy
3s - xi - x
odrzucamy wynik x11
który nie mieści się w
przedziale Ä… 3s,
x
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
14
METROLOGIA EINS
Eliminacja błędów grubych  przykład c.d.
Ponownie
obliczamy
xi - x
Ponownie
obliczamy
3s - xi - x
Ponownie
sprawdzamy,
wszystkie wyniki xi
mieszczÄ… siÄ™ w
przedziale x Ä… 3s,
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
15
METROLOGIA EINS
Opracowywanie wyników metodą najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów (ang. LMS  Least Mean
Squares) umożliwia analityczne wyznaczenie współczynników
funkcji aproksymującej dane doświadczalne, zapewniając uzyskanie
minimum sumy kwadratów błędów tej aproksymacji.
Zastosowanie: wyznaczamy doświadczalnie zależność funkcyjną
pomiędzy dwoma wielkościami y=f(x) wykonując serię n pomiarów
współrzędnych punktów (x1, y1) ... (xi, yi) ... (xn, yn) reprezentujących
poszukiwaną zależność. W praktyce najczęstszym przypadkiem jest
wyznaczanie współczynników linii prostej y=ax+b.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
16
METROLOGIA EINS
Aproksymacja liniÄ… prostÄ… w warunkach idealnych
W warunkach idealnych (brak błędów) wszystkie wyniki leżą na
linii prostej y=ax+b. Do wyznaczenia współczynników a i b tej linii
prostej wystarczÄ… wybrane dowolnie dwa punkty pomiarowe!
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
17
METROLOGIA EINS
Aproksymacja liniÄ… prostÄ… w warunkach idealnych
W warunkach idealnych dwa punkty pomiarowe (x1, y1), (x2, y2),
umożliwiają ułożenie układu dwóch równań:
y1= ax1 + b
Å„Å‚
òÅ‚y = ax2 + b
ół 2
Odejmujemy równania od siebie i wyznaczamy a i następnie b.
Rozwiązaniem układu dwóch równań są współczynniki a i b linii
prostej aproksymujÄ…cej punkty pomiarowe:
y2 - y1
Å„Å‚a =
ôÅ‚
x2 - x1
òÅ‚
ôÅ‚b = y1 - ax1
ół
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
18
METROLOGIA EINS
Metoda naciągniętej nici (metoda  na oko )
W rzeczywistych pomiarach występują błędy, co uniemożliwia
przeprowadzenie linii prostej przez wszystkie punkty pomiarowe.
Można przeprowadzić linię leżącą najbliżej wszystkich punktów
metodą  na oko i z jej dwóch punktów wyznaczyć a i b.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
19
METROLOGIA EINS
Problemy w Metodzie naciągniętej nici
W metodzie naciągniętej nici problemem jest jednoznaczne
wykreślenie najlepszej prostej aproksymującej, gdyż brak jest
jednoznacznego kryterium. Każdy eksperymentator wykreśli z tych
samych danych innÄ… prostÄ…!
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
20
METROLOGIA EINS
Zasada metody najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów jest jednoznaczna. Na podstawie
n punktów pomiarowych (x1, y1) ... (xi, yi) ... (xn, yn) umożliwia
wyznaczenie współczynników a i b funkcji y=ax+b aproksymującej
dane doświadczalne, zapewniając uzyskanie minimum sumy
kwadratów błędów "i tej aproksymacji.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
21
METROLOGIA EINS
Obliczenia metodą najmniejszych kwadratów
BÅ‚Ä…d aproksymacji i-tym punkcie (xi, yi) wynosi:
"i = yi - y'i = yi -(axi + b)
Obliczamy sumę kwadratów błędów "i dla wszystkich n punktów:
2
n n
2
"" = "[y -(axi + b)]
i i
i=1 i=1
Otrzymaliśmy funkcję dwóch zmiennych a, b ze współczynnikami
(xi, yi) będącymi wynikami pomiarów. Szukamy a i b dla których
występuje minimum tej funkcji:
n
2
"" = min
i
i=1
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
22
METROLOGIA EINS
Obliczenia metodą najmniejszych kwadratów
Wyznaczanie minimum funkcji polega na przyrównaniu do zera
pochodnych cząstkowych względem a i b:
n
Å„Å‚
2
"" i
ôÅ‚"
i=1
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
"a
òÅ‚
n
2
ôÅ‚"
"" i
ôÅ‚
i=1
= 0
ôÅ‚
ół "b
Otrzymany układ dwóch równań należy rozwiązać względem a i b.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
23
METROLOGIA EINS
Końcowe wzory dla metody najmniejszych kwadratów
Po przekształceniach otrzymujemy wzory na obliczenie a i b :
n n n
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
n xi yi - ìÅ‚ xi ÷Å‚ìÅ‚ yi ÷Å‚
" " "
i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
a =
2
n n
ëÅ‚ öÅ‚
n xi2 - ìÅ‚ xi ÷Å‚
" "
i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
n n
yi xi
" "
i=1 i=1
b = - a
n n
Wniosek: współczynniki a i b są jednoznacznie określone przez
współrzędne n punktów pomiarowych (x1, y1) ... (xi, yi) ... (xn, yn) .
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
24
METROLOGIA EINS
Przykładowe zastosowanie metody najmniejszych kwadratów
Skalowanie transformatora powietrznego do pomiaru wartości
maksymalnej prÄ…du magnesujÄ…cego I1max w aparacie Epsteina.
E2 Tr śr = 4 f M I1max
D
Transformator powietrzny jest przetwornikiem maksymalnej
wartości prądu I1max na wartość średnią napięcia indukowanego E2śr.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
25
METROLOGIA EINS
Wyznaczanie charakterystyki transformatora powietrznego
Zadanie polega na wykonaniu serii pomiarów I1max i E2śr,
wyznaczeniu liniowej charakterystyki przetwarzania transformatora
powietrznego i obliczeniu jego indukcyjności wzajemnej MD.
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
U2Å›r 1 R2Tr ÷Å‚ 1 R2Tr ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
MD = Å" Å"ìÅ‚1+ = a Å" Å"ìÅ‚1+
I1max 4f RV ÷Å‚ 4f RV ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
26
METROLOGIA EINS
Excel -wyznaczanie charakterystyki
Wyniki serii pomiarów I1max i U2śr wprowadzamy do arkusza Excel i
generujemy wykres.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
27
METROLOGIA EINS
Excel  linia trendu
Do wykresu dodajemy liniÄ™ trendu, wybieramy typ trendu liniowy.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
28
METROLOGIA EINS
Excel  linia trendu
Formatujemy linię trendu, zaznaczamy wyświetlanie równania.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
29
METROLOGIA EINS
Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!!
Excel  linia trendu
Z równania linii trendu odczytujemy współczynniki prostej
aproksymujÄ…cej.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
30
METROLOGIA EINS
Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!! Koniec wykładu !!!
Excel  Pomoc do hasła linia trendu
Z równania linii trendu odczytujemy współczynniki prostej
aproksymujÄ…cej.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
31
METROLOGIA EINS
Metoda najmniejszych kwadratów dla innych funkcji
Problem: jak zastosować metodę najmniejszych kwadratów do
charakterystyk y=f(x) o kształcie innym niż linia prosta ?
Możliwe rozwiązanie: przekształcić zależność y=f(x) tak, aby
sprowadzić ją do równania linii prostej.
Przykład: rozdział strat w żelazie metodą częstotliwościową za
pomocÄ… aparatu Epsteina.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
32
METROLOGIA EINS
Przykład - rozdział strat metodą częstotliwościową
Straty w żelazie PFe są sumą strat histerezowych Ph i strat
wiroprądowych Pw. Metoda częstotliwościowa rozdziału strat
wykorzystuje fakt, że straty histerezowe Ph są wprost
proporcjonalne do częstotliwości f, a straty wiroprądowe Pw zależą
2
od kwadratu częstotliwości f :
2
PFe = Ph + Pw = k1 f + k2 f
Równie powyższe dzielimy obustronnie przez częstotliwość f,
otrzymujemy liniową funkcję częstotliwości:
PFe
= k1 + k2 f
f
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
33
METROLOGIA EINS
Przykład - rozdział strat metodą częstotliwościową c.d.
Sporządzamy wykres PFe / f w funkcji częstotliwości f i następnie
aproksymujemy go linią prostą metodą najmniejszych kwadratów.
Odczytujemy współczynniki k1=b, k2=a.
Pw = k2 f Å" f
Obliczamy straty: Ph = k1 f
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
34
METROLOGIA EINS
Excel - rozdział strat metodą częstotliwościową
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
35
METROLOGIA EINS
Pomiary pośrednie  równanie pomiaru
Pomiar pośredni polega na obliczeniu wartości wielkości
mierzonej y na podstawie wyznaczonych w pomiarach
bezpośrednich wartości wielkości x1, x2 ... xi ... xn :
y = f (x1, x2, ... xi ... xn)
Równanie powyższe nazywamy równaniem pomiaru, a funkcję
f nazywamy funkcją pomiarową. Równanie pomiaru jest
matematycznym modelem pomiaru.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
36
METROLOGIA EINS
Pomiary pośrednie  model pomiaru
Problem: jak błędy wielkości xi mierzonych bezpośrednio
przenoszą się na wielkość y mierzoną pośrednio ?
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
37
METROLOGIA EINS
Pomiary pośrednie  błędy
Wniosek: należy błędy "xi wielkości mierzonych bezpośrednio
przeliczyć na błąd "y wielkości mierzonej pośrednio.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
38
METROLOGIA EINS
Błędy w pomiarach pośrednich
Przykład dla funkcji jednej zmiennej
"y = f (x + "x)- f (x)
W praktyce błędy w pomiarach pośrednich wyznaczamy metodą
wykorzystującą pojęcie różniczki zupełnej funkcji.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
39
METROLOGIA EINS
Błędy w pomiarach pośrednich  podstawy matematyczne
Różniczką zupełną funkcji wielu zmiennych y=f (x1, x2 ... xi ... xn)
nazywamy sumÄ™ postaci:
"f "f "f "f
"y = "x1 + "x2 + ...+ "xi + ...+ "xn
"x1 "x2 "xi "xn
Interpretacja geometryczna dla funkcji jednej zmiennej y=f (x):
df
"y = "x
, przy czym:
dx
df
= tgÄ…
dx
gdzie kÄ…t Ä… jest nachyleniem stycznej do funkcji y=f (x)
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
40
METROLOGIA EINS
Podstawy matematyczne  różniczka zupełna
df
df
"y = "x
= tgÄ…
dx
dx
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
41
METROLOGIA EINS
Błędy w pomiarach pośrednich  dwa przypadki
Wyznaczanie błędów systematycznych w pomiarach pośrednich
ma miejsce w sytuacji, gdy znamy błędy systematyczne wielkości
x1, x2 ... xi ... xn zmierzonych bezpośrednio i chcemy wyznaczyć błąd
systematyczny wielkości mierzonej pośrednio, np. w celu
wyznaczenia poprawki.
Wyznaczanie błędów granicznych w pomiarach pośrednich ma
miejsce w sytuacji, gdy znamy błędy graniczne wielkości x1, x2 ... xi
... xn zmierzonych bezpośrednio (np. z klasy mierników) i chcemy
wyznaczyć błąd graniczny wielkości mierzonej pośrednio.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
42
METROLOGIA EINS
Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich
Błąd systematyczny w pomiarach pośrednich liczymy metodą
różniczki zupełnej na podstawie błędów systematycznych wielkości
zmierzonych bezpośrednio, z uwzględnieniem znaków pochodnej
i znaków błędów:
n
"f
"S y = "S xi gdzie:
"
"xi
i=1
"S y
jest błędem systematycznym w pomiarze pośrednim,
"f
"xi sÄ… pochodnymi czÄ…stkowymi funkcji pomiarowej,
"S xi
są błędami systematycznymi w pomiarach bezpośrednich.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
43
METROLOGIA EINS
Błędy graniczne w pomiarach pośrednich
Błąd graniczny w pomiarach pośrednich liczymy metodą różniczki
zupełnej na podstawie błędów granicznych wielkości zmierzonych
bezpośrednio, bez uwzględniania znaków (sumując moduły 
przewidujemy najbardziej niekorzystny przypadek):
n
"f
"gr y = "gr xi gdzie:
"
"xi
i=1
"gr y
jest błędem granicznym w pomiarze pośrednim,
"f
"xi sÄ… pochodnymi czÄ…stkowymi funkcji pomiarowej,
"gr xi są błędami granicznymi w pomiarach bezpośrednich.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
44
METROLOGIA EINS
Błędy graniczne w pomiarach pośrednich - przykład
Obliczmy błąd graniczny w pomiarze pośrednim energii
elektrycznej A wydzielonej na rezystancji R w czasie t.
Równanie pomiaru ma postać:
2
Znaki mnożenia zbędne, tylko
A = I Rt
dla zwiększenia czytelności
liczenia pochodnej
Pochodne czÄ…stkowe:
"A "A
"A
2 2
= 1Å" I t = 1Å" I R
= 2I Å" Rt
"R "t
"I
BÅ‚Ä…d graniczny pomiaru energii A :
2 2
"gr A = 2IRt"grI + I t"grR + I R"grt
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
45
METROLOGIA EINS
Błędy graniczne względne w pomiarach pośrednich  przykład
Zazwyczaj ostatecznie liczymy błąd graniczny względny. Przy
pomiarze pośrednim energii elektrycznej A wydzielonej na
rezystancji R będzie miał on ma postać:
"gr A "gr A
´gr A = =
2
A I Rt
Po przekształceniach otrzymamy:
"grI "grR "grt
´gr A = 2 + +
I R t
Czyli:
´gr A = 2´grI + ´grR + ´grt
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
46
METROLOGIA EINS
Błędy graniczne względne w pomiarach pośrednich  ogólnie
Uogólniając, można wykazać, że jeśli równanie pomiaru jest w
postaci iloczynu potęg wielkości mierzonych (bardzo częsty
przypadek) :
1 2 3 4
y = k x1a x2a x3a ... xna
to błąd graniczny pomiaru pośredniego można policzyć jako:
´gr y = a1´gr x1 + a2´gr x2 + a3´gr x3 + ... + an´gr xn
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
47
METROLOGIA EINS
Przykład c.d.  pomiar energii A inaczej
Przy pomiarze pośrednim energii elektrycznej A wydzielonej na
rezystancji R w czasie t równanie pomiaru ma postać:
2
A = 1Å" I R1 t1
A więc możemy od razu zapisać wzór końcowy na względny błąd
pomiaru pośredniego:
´gr A = 2Å"´grI + 1Å"´grR + 1Å"´grt
´gr A = 2´grI + ´grR + ´grt
czyli:
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
48
METROLOGIA EINS
Błędy graniczne w pomiarach pośrednich - inaczej
Sumując moduły błędów, bez uwzględniania znaków,
przewidujemy najbardziej niekorzystny przypadek i otrzymujemy
zawyżone wartości. Bardziej realne wyniki otrzymujemy stosując
sumowanie geometryczne (pierwiastek z sumy kwadratów):
2
n
ëÅ‚ öÅ‚
"f
"gr y =
"ìÅ‚ "xi "gr xi ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
49
METROLOGIA EINS
Wyznaczanie niepewności w pomiarach pośrednich
Przy pomiarze pośrednim wielkości y wyznaczanej na podstawie
wartości wielkości x1, x2 ... xi ... xn otrzymanych w pomiarach
bezpośrednich, według równania pomiaru:
y = f (x1, x2, ... xi ... xn)
obliczamy niepewność pomiaru modyfikując wyznaczanie
niepewności łącznej (całkowitej) uc w kroku trzecim.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
50
METROLOGIA EINS
Wyznaczanie niepewności w 5 krokach - przypomnienie
Procedura wyznaczania niepewności zawiera się w 5 krokach:
1. wyznaczanie niepewności ui metodą typu A ,
2. wyznaczanie niepewności uj metodą typu B ,
3. wyznaczanie niepewności łącznej uc ,
4. wyznaczanie niepewności rozszerzonej U ,
5. zaokrąglanie wyników obliczeń i podawanie wyniku końcowego.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
51
METROLOGIA EINS
Krok 3 - wyznaczanie niepewności łącznej uc
W kroku trzecim wyznaczana jest niepewności łączna (całkowita) uc
według metody  pierwiastek z sumy kwadratów :
2
n
ëÅ‚ öÅ‚
"f
uc =
"ìÅ‚ "xi ÷Å‚ u2(xi )
ìÅ‚ ÷Å‚
i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
jeśli wielkości xi nie są ze sobą skorelowane (są od siebie niezależne).
Jeśli wielkości xi są ze sobą skorelowane to należy w sumowaniu
uwzględnić odpowiednie kowariancje.
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
52
METROLOGIA EINS
Krok 3  uwzględnienie kowariancji
Jeśli wielkości xi są ze sobą skorelowane to należy w sumowaniu
uwzględnić odpowiednie kowariancje u(xi xj):
2
n n-1 n
ëÅ‚ öÅ‚
"f "f "f
( )
uc = u xixj
"ìÅ‚ "xi ÷Å‚ u2(xi)+ 2" "
ìÅ‚ ÷Å‚
"xi "xj
i=1 i=1 j=i+1
íÅ‚ Å‚Å‚
Kowariancję u(xi xj) liczymy według wzoru:
n
1
( )
u xixj = ( )
"(x - xi ) xjk - xj
ik
n(n -1)
k =1
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
53
METROLOGIA EINS
Podsumowanie
1.Statystyczna obróbka serii wyników umożliwia eliminację błędów grubych
2.Aproksymacja danych eksperymentalnych metodą naciągniętej nici nie jest
jednoznaczna
3.Jednoznaczną aproksymację zapewnia metoda najmniejszych kwadratów
4.Najczęściej stosujemy metodę najmniejszych kwadratów do aproksymacji
liniÄ… prostÄ…
5.Metodę najmniejszych kwadratów wykorzystuje program Excel do
wyznaczania linii trendu
6.Błędy i niepewności w pomiarach pośrednich wyznacza się metodą różniczki
zupełnej na podstawie równania pomiaru
Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
54
METROLOGIA EINS
DZI
KUJ
ZA UWAG

Eligiusz Pawłowski
Zjazd 4, wykład 7, 8
55
METROLOGIA EINS