ELEKTROSTATYKA
Oddziaływanie elektromagnetyczne - najważniejsze w fi-
zyce. Pozwala wyjaśnić nie tylko zjawiska elektryczne ale
też siły zespalające materię na poziomie atomów, czą-
steczek. Przewodniki i izolatory.
A
ADUNEK I MATERIA
Początki nauki o elektryczności (elektryzowaniu ciał) się-
gają Talesa (IV w pne). Prowadził obserwacje przyciąga-
nia kawałków trawy przez potarty bursztyn.
W przyrodzie istnieją 2 rodzaje ładunków + i 
A
adunki jednoimienne odpychają się:
+
+
_
_
różnoimienne przyciągają się:
_
+
1901
KWANTOWA NATURA A
ADUNKU
A
adunek nie jest wielkością ciągłą, lecz składa się z cał-
kowitej wielokrotności pewnego minimalnego ładunku
"elementarnego":
e = 1.610-19 C (ładunek elektronu [C])
zatem każdy ładunek jest wielokrotnością e:
q = n e
Mówimy, że ładunek jest wielkością skwantowaną.
U podstaw kwantyzacji ładunku leży budowa materii.
Materia zbudowana jest z atomów posiadających dodat-
nio naładowane jądro otoczone chmurą ujemnie nałado-
wanych elektronów o ładunku -e każdy. Jądro zawiera
neutralne neutrony i dodatnio naładowane protony (+e),
Liczby protonów i elektronów są równe.
Nie istnieje, żaden związek między masą i ładunkiem.
W przeciwieństwie do masy ładunki "+" lub "-".
Elektryzowanie ciał
potarte szkło ładuje się + (q+)
potarty ebonit  (q )
1902
 W 1 cm3 znajduje się 1023 atomów zdolnych do odda-
nia (przyłączenia) elektronów.
Elektryzowanie (ładowanie) jest procesem rozdzielania
elektronów od atomów.
A
adowanie + szkła polega na "wyrwaniu" przez jedwabną
szmatkę elektronów. Zatem szkło ładuje się +, a jedwab 
Sumarycznie układ szkło-jedwab jest obojętny elektrycz-
nie.
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin. Wypadkowy
ładunek w układzie izolowanym jest stały.
Prawo Coulomba
Charles Agostine de Coulomb (1785 r.) zmierzył wiel-
kość sił przyciągających i odpychających m. ładunkami.
Coulomb skonstruował
wagę skręceń (odpowiednik
� <"Ś
wagi Cavendisha).
Wynik dośw.:
_
F ~ 1/r2
+ Ś
F ~ q1, q2
Analogicznie do prawa powszechnego ciążenia:
1903
Siła oddziaływania dwóch ładunków q1 i q2
r
q1q2 Ć
q1q2
F = k r
F = k
,
r2 ,
r2
1
1
k = k =
gdzie stała
4Ą�0 , dla ośr. diel.
4Ą�0�
�0 = 8.85410-12 C2/(Nm2) - przenikalność elektryczna
próżni.
N �" m2 C2
[F] = �" = N
C2 m2
F
F
12
21 _
+
+
+
q
q
r1 2
r2
1
r
q1q2
F12 = k r1
Ć
r2 ,
r
q1q2
F21 = k r2
Ć
r2 .
r r
F21 = -F12 , F21 = F12
1904
Oddziaływanie kulombowskie jest oddziaływaniem na od-
ległość.
POLE ELEKTRYCZNE  natężenie pola
Coulomb określił wielkość sił oddziaływania między ła-
dunkami punktowymi np. q i q0 (lub q1 i q2).
Na to zagadnienie można spojrzeć inaczej:
A
adunek q1 znajduje się w polu elektrycznym wytworzo-
nym przez q2. A więc q2 oddziałuje z polem wytworzonym
przez q1. Zagadnienie jest symetryczne, a więc odwrot-
nie: q1 oddziałuje z polem wytworzonym przez q2.
 jest to podejście polowe.
Jeżeli więc przyjmiemy, że ładunek q (lub rozkład ła-
dunków) wytwarza pole elektryczne, to możemy każdy
punkt tego pola scharakteryzować pewną wielkością wek-
torową nazywaną natężeniem pola elektrycznego (polem)
E.
Dla przypomnienia natężenie pola grawitacyjnego w
dowolnym punkcie przestrzeni definiowaliśmy jako siłę
1905
grawitacyjną działająca na masę m umieszczoną w tym
punkcie przestrzeni podzieloną przez tę masę (E=F/m0).
Analogicznie definiujemy natężenie pola elektrycznego
E jako siłę F działającą na ładunek próbny q0 (umiesz-
czony w danym punkcie przestrzeni) podzieloną przez ten
ładunek.
r
r
F
N V
E =
q0 , [E] = C = m
A
adunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest
taki sam jak F (na ładunek dodatni).
Jeżeli rozpatrujemy siłę oddziaływania pomiędzy dwoma
ładunkami punktowymi q ,q0, lub inaczej ładunku q0 z po-
r
q �" q0 Ć
F = k r
lem wytworzonym przez ładunek q , to pole
r2
wytwarzane przez ładunek q definiujemy:
r
r
F q
Ć
E = = k r
q0 r2 , E ~ q, r -2
1906
Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić za
pomocą tzw. linii sił. Linie nie tylko pokazują kierunek E,
ale też jego wartość.
E E E
E
E E=0
+
q
+
+
+
__
++
_
+
+
+
+
+
Sens fizyczny natężenia pola:
r
E(r)
znając wartość w danym punkcie pola możemy na-
tychmiastowo obliczyć wartość siły działającej na dowolny
r r
q �"q1
Ć
F(r) = E(r) �"q1 = k r
ładune q1: .
r2
1907
Mówimy, że natężenie pola charakteryzuje pole elek-
tryczne z punktu widzenia oddziaływań.
POLE DIPOLA ELEKTRYCZNEGO
Dipolem elektrycznym nazywamy dwa różnoimienne ła-
dunki q+, q znajdujące się w stosunku do siebie w odle-
głości 2a dużo mniejszej od odległości obserwacji r
(2a<Przykład 2
Obl. E dipola el. o ładunku q (q+, q ) oddalonych o 2a
w punkcie odległym o r od dipola, jak na rysunku.
q
E+ = E- = k ,
2
a + r2
E = Ew = 2E+- �" cos ą,
a
cos ą = ,
2
a + r2
2aq
E = k ,
3 / 2
(a2 + r2)
1908
2aq = p; r>>a więc a2 + r2 H" r2,
p
E = k , E ~ p, r-3,
r3
r
r
- p
E = k
r3 ,
dla r = 0, E nie ma sensu.
+q
+ą
a
E+
p
ą
a
_ą
E
-q
E
Pole E w punkcie jest skierowane w dół.
POLE A
ADUNKU ROZCI
GA
EGO
1909
dE2
dE1
r1
dq1
+
+
r2
+
+
+
+
dq2
r
dq
Ć
dE = k r ,
r2
r r r r r r
E = dE1 + dE2 + dE3 + ... + dEn =
"dE ,
i
dla ciągłego rozkładu ładunku:
r r
E =
.
+"dE
1910
Przykład
Obl. pole elektryczne cienkiego pierścienia o promie-
niu a naładowanego ładunkiem q w odległości x od środ-
ka osi.
X
dE
dEx ą
dEy
ą
r
x
dl
+
dq
a
Y
"dE = 0 ,
y
dEw = dE cosą,
Ew =
+"(cosą)dE ,
dq
dE = k ,
r2
1911
x
cosą = ,
2
a + x2
dl
dE = k
2Ąa(a2 + x2),
2Ąa
q x
Ew = k �"
3/ 2 +"dl ,
2Ąa
(a2 + x2)
0
q �" x
Ew = k
.
3/ 2
(a2 + x2)
Dla x = 0 Ew = 0 znoszenie składowych,
dla x>>a (tj. duża odległość):
q
Ew = k ; czyli jak dla ład. punktowego!
x2
1912
STRUMIEC
POLA ELEKTRYCZNEGO
Miarą strumienia pola el. jest liczba linii sił przebijają-
cych powierzchnię tego pola.
Strumień jest dodatni jeżeli linie sił przebijające po-
wierzchnię wychodzą na zewnątrz niej.
dS
dS
dS
E
ą
E
dS
r r
dŚ = E �" "S = E �" "S�" cosą
gdzie ą jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni
"S i wektorem E.
r r
ŚE,S E" �" "S,
"E
r r
ŚE,S = �" dS .
+"E
Dla zamkniętej powierzchni definicja strumienia elek-
r r
ŚE = �" dS.
trycznego:
+"E
S
1913
PRAWO GAUSSA
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje ładunek q.
Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią Gaussa.
C.F.Gauss pokazał związek pomiędzy całkowitym
strumieniem pola el. wychodzącego przez zamkniętą po-
w. a ładunkiem wytwarzającym to pole.
r r
�0 �" dS = q
+"E
.
S
Całkowity strumień pola elektrycznego przecho-
dzący przez zamkniętą powierzchnię jest równy cał-
kowitemu ładunkowi zamkniętemu wewnątrz tej po-
wierzchni.
Pr. G. jest jednym z 4 podstawowych praw Maxwella
opisujących pole elektromagnetyczne.
Pr. G. może być łatwo użyte do wyznaczenia pola E,
jeśli rozkład ładunków jest na tyle symetryczny, że przez
odpowiedni wybór powierzchni Gaussa możemy łatwo ob-
liczyć całkę. Dokładniej wybrać taką pow. Gaussa aby
E było stałe i równoległe do wektora S.
1914
PRAWO GAUSSA w postaci różniczkowej
r r
Wyjdz
my z prawa G.:
�0 �" dS = q
+"E
S
Gauss pokazał związek pomiędzy wielkością powierzchni
zamykającej pewien obszar (strumieniem wielkości wek-
torowej) a wielkością (objętością) tego obszaru znany ja-
ko Tw. Gaussa (NIE Prawo Gaussa).
dS
A
divA
dS
S
V
dS
r r r
+"A �" dS = +"divAdV
,
S V
r r r
�ł " " " �ł
Ćj Ć Ć
divA = " �" A = �ł � + + k�ł �"(Ax� + AyĆj + Azk),
�ł �ł
"x "y "z
�ł łł
r r r
"Ax "Ay "Az
divA = " �" A = + + .
"x "y "z
-------------------------------
r r
�0 (" �" E)dV = q,
+"
V
1915
q
� = , dq = � �" dV , q = � �" V , q = �" dV ,
+"�
V
V
r r
�0 (" �" E)dV = �" dV,
+" +"�
V V
r r
�0" �" E = �
Pr Gaussa w postaci różniczkowej.
PRAWO GAUSSA a PRAWO COULOMBA
Pr. Gaussa jest jednym z pdst. równań Maxwella definiu-
jącym z
ródło pola el.
Pr. Coulomba stanowi przypadek szczególny i można je
wyprowadzić z Pr. Gaussa gdy mamy do czynienia z ła-
dunkami punktowymi.
E=Const
E
dS II
E
dS
q
0
S
q
r
r r
Wyjdz
my z prawa G.: ,
�0 �" dS = q
+"E
S
1916
r r r r r
EIIdS oraz E = Const , E �" dS = E �" dS�" cos0o,
�0E = q
+"dS , +"dS = 4Ąr2 , �0E �" 4Ąr2 = q ,
S S
1 q
pole ładunku punktowego: ,
E = �"
4Ą�0 r2
r
lub ogólnie: E = 1 �" q r .
Ć
4Ą�0 r2
r r
F = q0 �" E ,
r
1 q �" q0 Ć
F = �" r
4Ą�0 r2 , czyli Pr. Coulomba cbdu.
PUSZKA FARADAYA
Z pr Gaussa wynika jeszcze jeden ciekawy wniosek:
Skoro strumień pola el. przepływający przez zamkniętą
pow. (Gaussa) jest równy ładunkowi zamkniętemu we-
wnątrz niej, to gdy wewnątrz pow. Gaussa nie ma ła-
dunków to E=0.
1917
E=0
dS
S
q=0
nie ma
r
ladunków
r r
,
�0 �" dS = q
+"E
S
r r
gdy q=0 to , a zatem E=0
�0 �" dS = 0
+"E
S
qz
nie ma
ladunków
E >0
q=0
z
E =0
w
Pole wewnątrz przewodnika
Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki
i izolatory. W izolatorze nadmiarowy ładunek może być
rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewodni-
1918
kach swobodne elektrony będą się zbierały na po-
wierzchni dopóty, dopóki nie wytworzy się pole równowa-
żące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy
powierzchnię zamkniętą tuż poniżej powierzchni prze-
wodnika.
S
Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
qwewn.
+"E dS = �0
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni
S pole musi być równe zeru
E d S = 0
+"
Zatem 0 = qwewn./�0
Stąd qwewn. = 0
Ponieważ cały ładunek gromadzi się na zewnętrznej
powierzchni przewodnika (dowolnej powierzchni za-
mkniętej), to wewnątrz musi być równy zeru qw = 0, a
zatem wewnątrz przewodnika pole E = 0.
1919
PRZYKA
ADY ZASTOSOWANIA PRAWA GAUSSA
(dla rozkładów ładunków o wysokiej symetrii)
Kuliste rozkłady ładunków
 jednorodnie naładowana sfera
Przykład
Obl. E(r) na zewnątrz i wewnątrz przewodzącej sfery o
promieniu r0 naładowanej ładunkiem dodatnim o gęstości
powierzchniowej ładunku �.
(A) dla r>R
Wyjdz
my z prawa G.:
E
r r
�0 �" dS = q
,
+"E
+ dS
S
+
dS II
E
r
W dowolnym punkcie sfery
+
R
+
E �ł�ł dS ,
�
+
E=Const dla r=Const
Pow G �0E = q
+"dS ,
E
+"dS = 4Ąr2 ,
q q
� = = ,
-2
2
S 4ĄR
E~r
2
�0E �" 4Ąr2 = 4Ą�R ,
E=0
r
�ł �ł
� R2
R
E = �" �ł �ł,
+
�0 �ł r2 �ł
�ł łł
+
q=0
2
r
�ł �ł
� R
r
+
E(r) = �" �ł �łr
+
�0 �ł r2 �łĆ
�ł łł
�
+
1920
r r
�0 w �" dS = qw ,
(B) dla r+"E
S
r r
�0 w �" dS = 0,
ale qw = 0, więc
+"E
S
Ew (r) = 0.
Jednorodnie naładowana kula
E
kQ2/R2
R r
Przykład Płaskie rozkłady ładunków
Oblicz pole E(r) od nieskończonej jednorodnie nałado-
wanej płaszczyzny naładowanej ładunkiem o gęstości
pow. �.
PG1
S
r
+�
E
S
E
PG2
S
r r
�0 w �" dS = qw .
+"E
S
1921
A
adunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy
q = �S, gdzie � jest gęstością powierzchniową, a S po-
wierzchnią podstawy walca.
W dowolnym punkcie Pow Gaussa E �ł�łdS ,
E = Const dla r = Const
�0E = q
+"dS ,
E = 2ES
,
+"dS
�S
2ES = ,
�0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.
Ostatecznie otrzymujemy
�
E = .
2�0
Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich
równoległych płyt (kondensator płaski).
I II
III
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
1922
Przykład Liniowe rozkłady ładunków
Oblicz E(r) na zewnątrz nieskończenie długiego pręta
(drutu) jednorodnie naładowanego ładunkiem o gęstości
liniowej � .
L
r
+ + +
q
Liniowa gęstość ładunku: � =
l
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy
wybierać dowolnie).
r r
�0 �" dS = q
Wyjdz
my z prawa G.: ,
+"E
S
r
E
W dowolnym punkcie walca jest równoległe do wekto-
r
dS
ra i ma taką samą wartość w każdym punkcie po-
r
r
E dS
wierzchni: �ł�ł , E = Const dla r = Const, czyli
�0E = q
+"dS ,
+"dS = 2Ąrl,
q
� = .
l
�0E �" 2Ąrl = �l ,
r
� �
Ć
E = , E(r) = r .
2Ą�0r 2Ą�0r
1923