Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 1
Mechanika teoretyczna
Zadanie nr 2
W tym zadaniu naszym celem jest wyznaczenie reakcji podporowych tarczy.
Wiadomości ogólne
1) Co to jest tarcza ???
Def. tarczy:
Tarcza (tarczownica) jest to element konstrukcyjny płaski obcią\
ony w płaszczyz
nie, np.
ściana; tak obcią\
ona tarcza znajduje się w płaskim stanie naprę\
enia;
2) Rodzaje podpór
Podpora przegubowa ruchoma (rys. 1a)  w podporze tej mamy do czynienia z jedną
niewiadomą reakcją R, której prosta działania jest prostopadła do kierunku mo\
liwego ruchu.
Przykładem tego rodzaju więzów są połączenia ślizgowe bez tarcia (idealnie gładkie
powierzchnie).
Podpora przegubowa stała (rys. 1b)  prosta działania reakcji R jest nieznana. Reakcję
układu rozkłada się na dwie niezale\
ne składowe Rx i Ry. Przykładem tego rodzaju więzów są
połączenia przegubowe.
Utwierdzenie (rys. 1c)  prosta działania reakcji jest nieznana. W przypadku utwierdzenia
oprócz siły reakcji R rozło\
onej na dwie składowe Rx i Ry nale\
y przyło\
yć tzw. moment
utwierdzenia M. Przykładem tego rodzaju więzów są połączenia przegubowe.
a)
R
b)
Rx
Ry
c)
M
Rx
Ry
Rys. 1. Rodzaje podpór
a) podpora przegubowa przesuwna, b) podpora przegubowa stała, c) utwierdzenie
Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 2
3) Rodzaje obcią\
eń
W zadaniu mamy do czynienia z trzema rodzajami obcią\
enia:
- siłą skupioną (rys. 2a),
- siłą ciągłą o stałym natę\
eniu (rys. 2b),
- siłą ciągłą o zmiennym natę\
eniu (rys. 2c).
a) b) c)
q
W
W
q
P
a a
a a 2 3 a a 3
2 2
Rys. 2. Obcią\
enia konstrukcji
a) siłą skupioną, b) siłą ciągłą o stałym natę\
eniu q, c) siłą ciągłą o zmiennym natę\
eniu.
W przypadku sił ciągłych w celu uproszczenia obliczeń reakcji dokonujemy redukcji
tych sił do wypadkowej:
- dla siły ciągłej o stałym natę\
eniu q wypadkowa W ma wartość:
W = q �" a (natę\
enie� długość odcinka oddziaływania siły)
oraz umiejscowiona jest w środku cię\
kości obcią\
enia jak na rys. 2b,
- dla siły ciągłej o zmiennym liniowo natę\
eniu (q oznacza wartość maksymalną)
wypadkowa W ma wartość:
1
W = �" q �" a (1/2� natę\
enie maksymalne� długość odcinka oddziaływania siły)
2
oraz umiejscowiona jest w środku cię\
kości obcią\
enia jak na rys. 2c,
4) Równania równowagi układu sił
Dowolny płaski układ sił pozostaje w równowadze, gdy zamyka się jednocześnie:
wielobok sił i wielobok sznurowy. Są to tzw. wykreślne warunki równowagi płaskich
układów sił niezbie\
nych.
Analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił są następujące:
a) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x równa jest zeru (równanie [1]),
b) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y równa jest zeru (równanie [2]),
c) suma algebraiczna momentów statycznych wszystkich sił względem dowolnego
punktu le\
ącego na płaszczyz
nie działania sił równa się zeru (równanie [3]),
n
ńł
[1]
Pix =ŁX = 0
�ł
"
i =1
�ł
n
�ł
[2]
Piy =ŁY = 0
�ł
"
i =1
�ł
n
�ł
Pi �" ri =ŁM = 0
[3]
�ł
"
i =1
ół
Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 3
5) Sprawdzenie stopnia statycznej niewyznaczalności
Zagadnienie statycznej wyznaczalności jest ściśle związane z równaniami równowagi
układu sił. Stopień (krotność) statycznej niewyznaczalności jednej tarczy (jednego pręta, belki
prostej) określa się ze wzoru:
ns = r - 3
gdzie: ns  stopień statycznej niewyznaczalności
r  liczba prętów reakcyjnych (reakcji podporowych)
W zale\
ności od wartości stopnia statycznej niewyznaczalności mo\
emy mówić:
- dla ns < 0  o układzie geometrycznie zmiennym, mechanizmie,
- dla ns = 0  o układzie statycznie wyznaczalnym,
- dla ns > 0  o układzie statycznie niewyznaczalnym.
Przykład
Dana jest tarcza płaska o geometrii i obcią\
eniu jak na schemacie. Wyznacz reakcje
podporowe metodą analityczną.
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN
ą = 45ż
1m 3m 2m
Rozwiązanie:
- Pierwszą czynnością powinna być identyfikacja reakcji zewnętrznych oraz ich oznaczenie.
HA
RA RB
W układzie mamy dwie podpory  jedną podporę przegubową stałą (A) o reakcji
poziomej HA i reakcji pionowej RA oraz jedną podporę przegubową ruchomą (B) o reakcji
pionowej RB.
1m
1m
Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 4
- Następnie dokonujemy sprawdzenia stopnia statycznej niewyznaczalności.
W układzie mamy trzy (3) reakcje podporowe, podstawiając do wzoru uproszczonego
na stopień statycznej niewyznaczalności dla tarcz otrzymujemy:
ns = r - 3 = 3 - 3 = 0
Mamy więc do czynienia z układem statycznie wyznaczalnym.
- Kolejnym krokiem jest zało\
enie zwrotów reakcji, przyjęcie konwencji znaków.
Załó\
my zwroty reakcji jak na rysunku poni\
ej
HA RA
RB
oraz przyjmijmy następującą konwekcje zapisu znaków
- + - +
Ze znakiem + (wartości dodatnie) będziemy oznaczać siły pionowe o zwrocie do
 góry , oraz siły poziome skierowane w prawo. W przypadku momentów ze znakiem +
(wartości dodatnie) będziemy zapisywać takie momenty wywołujące obrót względem punktu
rozpatrywania o ruchu przeciwnym do wskazówek zegara.
- Ostatnią czynnością jest wyznaczenie reakcji podporowych.
W celu ułatwienie obliczeń reakcji podporowych obcią\
enia siłą ciągłą zostały
sprowadzone do wypadkowych W1 i W2, zaś siła skupiona została rozło\
ona na dwie
składowe Px i Py, co zostało pokazane na rysunku poni\
ej.
1
W = 4 3 = 6 [kN/m m = kN]
1
2
W2
= 2 2 = 4 [kN/m m = kN]
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN
ą = 45ż
HA RA
RB
1m 1m 2m 1m
1m
1m 3m 2m
1m
1m
Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 5
a) wyznaczenie reakcji HA
Do wyznaczenia tej reakcji posłu\
ymy się [1] równaniem równowagi
ŁX = 0
Px  HA = 0
P� cosą  HA = 0
2
2 2
4 kN�  HA = 0 => HA =
2
b) wyznaczenie reakcji RA
Do wyznaczenia tej reakcji posłu\
ymy się [3] równaniem równowagi (względem podpory B)
ŁMB = 0
- Px� r1 + Py� r2 - W1� r3 + W2� r4 + RA � r5 = 0
- P� cosą� r1 + P� siną� r2 + W1� r3 - W2� r4 + RA � r5 = 0
2 2
- 4 kN� � 1m + 4 kN� � 4m + 6kN� 2m - 4kN� 1m + RA � 3m = 0
2 2
2 2 8 2
- kNm + kNm + 12kNm - 4kNm + RA � 3m = 0
6 2
(8+ )kNm + RA � 3m = 0
6 2 2 2
RA � 3m = - (8 + )kNm => RA= - (8/3+ )kN
UWAGA: Znak  minus przy wartości reakcji informuje nas o tym, \
e przyjęty zwrot jest
błędny  reakcja ma zwrot przeciwny do zało\
onego.
1
W = 4 3 = 6 [kN/m m = kN]
1
2
W2
= 2 2 = 4 [kN/m m = kN]
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN r4
1m
ą = 45ż
r2
r1
r3
HA RA
r5
RB
1m 1m 2m 1m 1m
1m 3m 2m
1m
1m
1m
Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 6
c) wyznaczenie reakcji RB
Do wyznaczenia tej reakcji równie\
posłu\
ymy się [3] równaniem równowagi (względem
podpory A)
ŁMA = 0
- Px� r1 + Py� r2 - W1� r3 - W2� r4 + RB � r5 = 0
- P� cosą� r1 + P� siną� r2 - W1� r3 - W2� r4 + RB � r5 = 0
2 2
- 4 kN� � 1m + 4 kN� � 1m - 6kN� 1m - 4kN� 4m + RB � 3m = 0
2 2
2 2 2 2
- kNm + kNm - 6kNm - 16kNm + RB � 3m = 0
-22kNm + RB � 3m = 0
RB � 3m = 22kNm => RB = 22/3 kN
UWAGA: Zało\
ony zwrot reakcji jest prawidłowy.
1
W = 4 3 = 6 [kN/m m = kN]
1
2
W2
= 2 2 = 4 [kN/m m = kN]
q = 4kN/m
q = 2kN/m
P = 4kN r4
1m
ą = 45ż
r2 r3
r1
HA RA
r5
RB
1m 1m 2m 1m 1m
1m 3m 2m
d) Sprawdzenie
Sprawdzenia reakcji dokonamy posługując się [2] równaniem równowagi
ŁY = 0
- Py - W1 - W2 + RA + RB = 0
2 2 2 2
- - 6 - 4 + 22/3 + 8/3 + = 0
0 = 0
Reakcje zostały poprawnie obliczone
Opracował: mgr in\
. Andrzej Leonczuk
1m
1m
1m