MECHANIKA TEORETYCZNA
Temat nr 6
Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
1
Zadanie 1
Wyznaczyć wykresy sił poprzecznych, momentów zginających dla danej belki.
Dane: P, l  długość belki.
rð
P
a
b
l
1. Wyznaczamy reakcje w podporach A i B.
P
H
A B
A
RA RB
a
b
l
Warunki równowagi dla całej belki:
åðM =ð 0 ®ð RA ×ðl -ð P ×ðb =ð 0 ®ð RA =ð Pl×ðb
B
åðM =ð 0 ®ð -ð RB ×ðl +ð P ×ð a =ð 0 ®ð RB =ð Pl×ð a
A
=ð 0
åðX =ð 0 ®ð H A
2. Wyznaczanie sił wewnętrznych
að -ðað
Przekrój
y
y
P
að
N
H
C
AC
A
A B
A
M
AC
að
l
TAC
RA
x
x
åðX =ð 0 ®ð NAC =ð 0
P ×ðb
TAC
åðY =ð 0 ®ð Pl×ð b -ð =ð 0 ®ð TAC =ð l
P ×ðb
-ð M =ð 0 ®ð
×ð x M =ð ×ð x dla x =ð 0 ®ð M =ð 0
åðM =ð 0 ®ð Pl×ð b
að -ðað
AC AC A
l
P ×ðb ×ð a
x =ð a ®ð MC =ð
l
y
P
C
A B
l
P ×ðb
TAC =ð
l
P ×ð b P ×ð b
l l
+ð
P ×ðb
M =ð ×ð x
AC
l
x =ð 0 ®ð M =ð 0
A
P ×ðb ×ð a
x =ð a ®ð MC =ð
l
P ×ð a ×ð b
l
bð -ð bð
Przekrój
y
P
bð
åðX =ð 0 ®ð NCB =ð 0
NCB
C
A
MCB
bð
a
RA
TCB
x
åðY =ð 0 ®ð Pl×ðb -ð P -ð TCB =ð 0 ®ð TCB =ð Pl×ðb -ð P =ð Pl×ðb -ð Pl×ðl =ð P(ðbl-ð l)ð =ð -ð Pl×ð a
P ×ðb
-ð P(ðx -ð a)ð-ð MCB =ð 0 ®ð
×ð x MCB =ð ×ð x -ð P(ðx -ð a)ð
åðM =ð 0 ®ð Pl×ð b
bð -ðbð
l
P ×ðb ×ð a
x =ð a ®ð MC =ð
dla
l
x =ð l ®ð M =ð 0
B
y
P
C
A B
l
P ×ð a
TCB =ð -ð
l
P ×ð b P ×ð b
P ×ðb
l l
+ð
MCB =ð ×ð x -ð P(ðx -ð a)ð
l
-ð
P ×ð b
-ð
P ×ðb ×ð a
l
x =ð a ®ð MC =ð
l
x =ð l ®ð M =ð 0
B
P ×ð a ×ð b
l
Zadanie 2
Wyznaczyć wykresy sił poprzecznych, momentów zginających dla danej belki.
Dane: q, l  długość belki.
q[ðkN ×ð m]ð
a
b
l
1. Wyznaczamy reakcje w podporach A i B.
q
H
A
A
B
RA RB
l
Warunki równowagi dla całej belki:
1
×ð
åðM =ð 0 ®ð -ð RB ×ðl +ð q ×ðl ×ð 2 ×ðl =ð 0 ®ð RB =ð q2l
A
1
×ð
åðM =ð 0 ®ð RA ×ðl -ð q ×ðl ×ð 2 ×ðl =ð 0 ®ð RA =ð q2l
B
=ð 0
åðX =ð 0 ®ð H A
2. Wyznaczanie sił wewnętrznych
að -ðað
Przekrój
y
y
að
að
q
q
N
H =ð 0
A B A A AB
að
M
að
AB
q ×ð l
l
RA =ð
TAB
2
x
x
åðX =ð 0 ®ð NAB =ð 0
×ðl q ×ðl
-ð q ×ð x -ð TAB =ð 0 ®ð TAB =ð -ð q ×ð x
åðY =ð 0 ®ð q2
2
×ðl 1 q ×ð x2 q ×ðl
×ð x -ð q ×ð x ×ð ×ð x -ð M =ð 0 ®ð M =ð -ð +ð ×ð x
åðM =ð 0 ®ð q2
að -ðað
AB AB
2 2 2
y
q
A B
q ×ðl
TAB =ð -ð q ×ð x
l
2
q ×ðl
x =ð 0 ®ð TA =ð
2
q ×ð l
q ×ðl q ×ðl
+ð
2
x =ð l ®ð TB =ð -ð q ×ðl =ð -ð
2 2
-ð q ×ð l
-ð
2
q ×ð x2 q ×ðl
M =ð -ð +ð ×ð x
AB
2 2
x =ð 0 ®ð M =ð 0
A
x =ð l ®ð M =ð 0
B
2
q ×ð l
8
2
dM q ×ðl 1 q ×ðl
AB
Ekstremum funkcji: TAB =ð =ð -ð q ×ð x =ð 0 ®ð
x =ð ×ð l ®ð M =ð
1
l
dx 2
2 8
2
Zadanie 3
Wyznaczyć wykresy sił poprzecznych, momentów zginających dla danej belki.
Dane: M, l  długość belki.
M
a
b
l
1. Wyznaczamy reakcje w podporach A i B.
M
H
A B
A
RA RB
a
b
l
Warunki równowagi dla całej belki:
åðM =ð 0 ®ð RA ×ðl +ð M =ð 0 ®ð RA =ð -ð M
B
l
åðM =ð 0 ®ð -ð RB ×ðl +ð M =ð 0 ®ð RB =ð M
A
l
=ð 0
åðX =ð 0 ®ð H A
2. Wyznaczanie sił wewnętrznych
að -ðað
Przekrój
M
y
y
að
að
N
AC
H =ð 0
C
A
A B
A
M
AC
að
að
M
l
RA =ð -ð
TAC
l
x
x
åðX =ð 0 ®ð NAC =ð 0
M
åðY =ð 0 ®ð -ð M -ðTAC =ð 0 ®ð TAC =ð -ð l
l
M
-ð M =ð 0 ®ð
-ð ×ð x M =ð -ð ×ð x dla x =ð 0 ®ð M =ð 0
åðM =ð 0 ®ð M
að -ðað
AC AC A
l l
M ×ð a
x =ð a ®ð MC =ð -ð
l
M
y
C
A B
l
M
TAC =ð -ð
l
M
M =ð -ð ×ð x
-ð AC
M
l
-ð
l
M ×ð a
x =ð 0 ®ð M =ð 0
A
l
M ×ð a
x =ð a ®ð MC =ð -ð
l
bð -ðbð2
Przekrój bð1 -ð bð1 Przekrój
2
M
y TBC
bð2
bð1
NCB
NBC
C
B
A
MCB
M
BC bð2
bð1
M
a
M
RA =ð -ð
RB =ð
TCB
l
l
x1
x2
M
+ð TBC =ð 0 ®ð TBC =ð -ð
åðY =ð 0 ®ð M
åðY =ð 0 ®ð -ð M -ð TCB =ð 0 ®ð TCB =ð -ð M
l l
l l
M
M
=ð 0 ®ð
-ð ×ð x1 +ð M -ð MCB =ð 0
åðM bð1-ðbð1 =ð 0 ®ð
-ð ×ð x2 +ð M =ð 0
åðM bð 2-ðbð 2
BC
l
l
M M
MCB =ð -ð ×ð x1 +ð M M =ð ×ð x2
BC
l l
M
TCB =ð -ð
M
l
y
Przekrój bð1 -ð bð1
C
A B
M
MCB =ð -ð ×ð x1 +ð M
l
l
M M ×ðl -ð M ×ð a
x1 =ð a ®ð MCB =ð -ð ×ð a +ð M =ð
l l
M
M(ðl -ð a)ð M ×ðb
-ð
MCB =ð =ð
-ð -ð
l
l l
M
x1 =ð l ®ð MCB =ð -ð ×ðl +ð M =ð 0
l
M ×ð a
l
Przekrój bð2 -ð bð2
M
M =ð ×ð x2
M ×ð b
BC
l
l
M
x2 =ð b ®ð M =ð ×ðb
BC
l
x2 =ð 0 ®ð M =ð 0
BC
Zadanie 4
Wyznaczyć wykresy sił poprzecznych, momentów zginających dla danej belki.
Dane jak na rysunku.
M =ð 2kN ×ð m
P =ð 1,5kN
q1 =ð 2kN / m
að =ð 60oð q2 =ð 4kN / m
2,0
1,0
1,0 1,0
[ðm]ð
1. Wyznaczamy reakcje w podporach A i B.
M =ð 2kN ×ð m
P =ð 1,5kN
q1 =ð 2kN / m
q2 =ð 4kN / m
að =ð 60oð
H
A
A
D E B
C
2,0
1,0
1,0 1,0
[ðm]ð
RA
RB
Warunki równowagi dla całej belki:
åðM =ð 0 ®ð RA ×ð 4 -ð q1 ×ð 2×ð3 -ð 2 -ð P ×ð sin(ð60)ð×ð1+ð q2 ×ð1×ð 0,5 =ð 0 ®ð RA =ð 3,325kN
B
åðM =ð 0 ®ð -ð RB ×ð 4 -ð q1 ×ð 2×ð1-ð 2 +ð P ×ð sin(ð60)ð×ð3 +ð q2 ×ð1×ð 4,5 =ð 0 ®ð RB =ð 5,975kN
A
H =ð 0,75kN
-ð P ×ð cos(ð60)ð =ð 0 ®ð
A
åðX =ð 0 ®ð H A
Przekrój að -ðað
að
q1 =ð 2kN / m
N
H =ð 0,75kN
AD
A
åðX =ð 0 ®ð H +ð NAC =ð 0 ®ð
A
M
að
AD
NAC =ð -ðH =ð -ð0,75kN
x
A
TAD
RA =ð 3,325kN
RA -ð 2×ð x -ðTAD =ð 0 ®ð
TAD =ð 3,324 -ð 2×ð x
åðY =ð 0 ®ð
TA =ð 3,32kN
x =ð 0 ®ð
TD =ð -ð0,67kN
x =ð 2 ®ð
x
åðM =ð 0 ®ðRA ×ð x -ð 2 ×ð x ×ð 2 -ð M =ð 0
að-ðað AD
x =ð 0 ®ð M =ð 0
A
l
x =ð 2 ®ð M =ð 2,65kN ×ð m
D
TAD =ð 3,324 -ð 2×ð x =ð 0 ®ð x =ð 1,665m ®ð Mekstr =ð 2,77kN ×ð m
Ekstremum funkcji
Przekrój
bð -ð bð
M =ð 2kN ×ð m
bð
q1 =ð 2kN / m
NDE
H =ð 0,75kN
A
A
D
M
DE
2,0
bð
x
RA =ð 3,325kN
TDE
=ð -ð0,75kN
åðX =ð 0 ®ð H +ð NDE =ð 0 ®ð NDE =ð -ðH A
A
åðY =ð 0 ®ð RA -ð 2×ð 2 -ðTDE =ð 0 ®ð TDE =ð -ð0,675kN
RA ×ð x -ð 2×ð(ðx -ð1)ð-ð 2 -ð M =ð 0 ®ð M =ð 3,325×ð x -ð 4(ðx -ð1)ð-ð 2 =ð -ð0,675×ð x +ð 2
åðM =ð 0 ®ð
bð-ðbð
DE DE
M =ð 0,65kN ×ð m
x =ð 2 ®ð
D
M =ð 0,25kN ×ð m
x =ð 3 ®ð
E
Przekrój gð -ð gð
TBE
gð
q2 =ð 4kN / m
NBE
B
C
M
BE
gð
RB =ð 5,975kN
1,0
x1
[ðm]ð
NBE =ð 0
åðX =ð 0 ®ð
åðY =ð 0 ®ð RB +ð TBE -ð 4×ð1 =ð 0 ®ð TBE =ð -ð1,975kN
M -ð RB ×ð(ðx1 -ð1)ð-ð 4×ð1×ð(ðx1 -ð 0,5)ð =ð 0 ®ð M =ð 5,975×ð(ðx1 -ð1)ð-ð 4×ð(ðx1 -ð 0,5)ð
åðM =ð 0 ®ð
gð-ðgð
BE BE
x1 =ð 1 ®ð
M =ð -ð2,0kN ×ð m
B
M =ð 2kN ×ð m
P =ð 1,5kN
q1 =ð 2kN / m
q2 =ð 4kN / m
að =ð 60oð
A
D E B
C
2,0
1,0
1,0 1,0
[ðm]ð
N[ðkN]ð
-ð -ð
0,75
0,75
4,0
3,325
+ð
+ð
T[ðkN]ð
-ð
-ð
0,675
-ð
1,975
2,0
2,0
1,663
M[ðkN ×ð m]ð
0,025
0,65
2,77
2,65
Zadanie 5
Wyznaczyć wykresy sił poprzecznych, momentów zginających dla danej belki.
Dane jak na rysunku.
M =ð 20kN ×ð m
P =ð 25kN
q1 =ð 30kN / m
1,2 0,6
0,6 0,9 0,9
[ðm]ð
1. Wyznaczamy reakcje w podporach A, C oraz w przegubie B
M =ð 20kN ×ð m
H
H
B
A
RB
1,2
0,6
P =ð 25kN
RB
q1 =ð 30kN / m
M
A
H
B
RA
0,6
0,9 0,9
[ðm]ð
RC
Dla części B - C
åðM =ð 0 ®ð P ×ð 0,9 -ð RC ×ð1,8 +ð q1 ×ð 0,6×ð 2,1 =ð 0 ®ð RC =ð 33,5kN
B
åðX =ð 0 ®ð HB =ð 0
åðY =ð 0 ®ð -ð RB -ð P +ð RC -ð q ×ð 0,6 =ð 0 ®ð RB =ð -ð9,5kN
M =ð 20kN ×ð m
Dla części A - B
H
A
åðY =ð 0 ®ð RA +ð RB =ð 0 ®ð RA =ð -ðRB =ð 9,5kN
1,2
0,6
RB -ð 9,5kN
A
åðX =ð 0 ®ð H =ð 0
M
A
RA
M =ð -ð37,1kN ×ð m
åðM =ð 0 ®ð M +ð 20 +ð RB ×ð1,8 =ð 0 ®ð
A
A
A
Przekrój að -ðað
að
Nað-ðað
M =ð 37,1kN ×ð m
A
M
að-ðað
að
x
Tað-ðað
RA =ð 9,5kN
Mað-ðað =ð 9,5×ð x -ð 37,10
åðM =ð 0 ®ð -ð 37,1+ð 9,5×ð x -ð Mað-ðað =ð 0 ®ð
að-ðað
Mað-ðað =ð -ð37,10kN ×ð m
x =ð 0 ®ð
Mað-ðað =ð -ð25,7kN ×ð m
x =ð 1,2 ®ð
åðY =ð 0 ®ð RA -ðTað-ðað =ð 0 ®ð Tað-ðað =ð 9,5kN
Przekrój
bð -ð bð
M =ð 20kN ×ð m
bð
Nbð-ðbð
M =ð 37,1kN ×ð m
A
x
1,2
Mbð-ðbð
bð
Tbð-ðbð
RA =ð 9,5kN
åðM =ð 0 ®ð -ð 37,1+ð 20 +ð 9,5×ð(ð1,2 +ð x)ð-ð Mbð-ðbð =ð 0 ®ð Mbð-ðbð =ð 9,5×ð x -ð 5,7
bð-ðbð
x =ð 0 ®ð Mbð-ðbð =ð -ð5,7kN ×ð m
Mbð-ðbð =ð 0
x =ð 0,6 ®ð
åðY =ð 0 ®ð -ðTbð-ðbð +ð RA =ð 0 ®ð Tbð-ðbð =ð RA =ð 9,5kN
M =ð 20kN ×ð m
gð
RB
P =ð 25kN
að
bð
q1 =ð 30kN / m
H
H
H
B
B
A
gð
bð
að
RB
M
A
RC
RA
gð -ð gð
Dla prawej części belki dokonujemy przekroju
gð
åðM =ð 0 ®ð M +ð 30 ×ð x ×ð 1 ×ð x =ð 0
gð-ðgð
gð -ðgð
2
q1 =ð 30kN / m
Ngð-ðgð
M =ð -ð15×ð x2
gð-ðgð
M
x
gð-ðgð
x =ð 0 ®ð M =ð 0
gð-ðgð
gð
Tgð-ðgð
M =ð -ð5,4kN ×ð m
x =ð 0,6 ®ð
gð-ðgð
Tgð-ðgð =ð 30 ×ð x
Tgð-ðgð -ð 30×ð x =ð 0 ®ð
Tgð-ðgð =ð 0
åðY =ð 0 ®ð
x =ð 0 ®ð
Tgð-ðgð =ð 18kN
x =ð 0,6 ®ð
jð -ð jð
Przekrój
jð
q1 =ð 30kN / m
Njð-ðjð
M
jð-ðjð
jð
0,6
x
Mjð-ðjð +ð 30×ð 0,6×ð(ð0,3 +ð x)ð-ð RC ×ð x =ð 0
Tjð-ðjð
åðM =ð 0 ®ð
jð-ðjð
RC =ð 33,5kN
M =ð -ð15×ð x2
gð-ðgð
x =ð 0 ®ð M =ð 0
gð-ðgð
M =ð -ð5,4kN ×ð m
x =ð 0,6 ®ð
gð-ðgð
+ð RC -ð 30×ð 0,6 =ð 0 ®ð Tgð-ðgð =ð -ð15,5kN
åðY =ð 0 ®ðTgð-ðgð
M =ð 20kN ×ð m
P =ð 25kN
q1 =ð 30kN / m
0,6
1,2
0,6 0,9 0,9
[ðm]ð
15,5
9,5
+ð
+ð
T[ðkN]ð
-ð
-ð
9,5
18,0
37,1
25,7
2,0
5,7
5,4
M[ðkN ×ð m]ð
31
8,55