STATYSTYKA
wykład 10
Ocena zależności
Wanda Olech
Badanie związku między
cechami
Cele:
" Stwierdzić, czy istnieje zależność między
cechami w próbie
" Stwierdzić, czy zależność jest istotna
" Ocenić siłę zależności
Ze względu na rodzaje cech w
próbach dwuwymiarowych oraz
na rodzaj zależności, dzielimy na:
" połączenie cechy jakościowej lub ilościowej
skokowej z dowolną
" połączenie cechy ilościowej ciągłej z cechą
ilościową ciągłą
WARIANT 1
" połączenie cechy jakościowej lub ilościowej
skokowej z dowolną
Ho: cechy są niezależne
H1: cechy są zależne
umaszczenie
ni.
nij czarne czekolada biszkopt
Warszawa
26 4 50 80
Kraków
34 6 30 70
Gdańsk
20 10 20 50
n. 80 20 100 200
j
N
ni.
n. j
ni. �� n. j
pi. =�
p. j =�
Ć
nij =� pi. �� p. j �� N =�
N
N
N
miasto
Teoretyczne liczebności
umaszczenie
czarne czekolada biszkopt
Warszawa
26 32 4 8 50 40 80
Kraków
34 28 6 7 30 35 70
Gdańsk
20 20 10 5 20 25 50
80 20 100 200
Ć
(nij -� nij )2
(26 -� 32)2 (20 -� 25)2
2
c�emp =�
=� +� ... +� =� 13,77
��
Ć
nij
32 25
i, j
miasto
Weryfikacja hipotezy o niezależności cech
H0 : cechy są niezależne
H1 : cechy są zależne
2
c� =� 13,77
emp
Rozkład chi-kwadrat o czterech stopniach swobody,
gdyż v = (r-1)(k-1)
2
P(c� ł� 13,77) =� 0,00807
Cecha
jakościowa
Współczynnik zbieżności T - Czuprowa
z inną
2
�emp
T =�
N �� (r -�1)(k -�1)
Informuje o sile zależności,
Jego wartość zawiera się w przedziale od <0 ; 1>
13,77
T =� =� 0,1855
200 �� (3 -�1)(3 -�1)
Zależność wysoko istotna, ale
słaba
LICZEBNOŚCI EMPIRYCZNE
duże małe
wieś
n
i
Y
miasto miasto
X
25 30 42 97
podstawowe
36 38 29 103
zawodowe
43 33 26 102
średnie
Chi-kwadrat emp 17,3366
51 32 23 106
wyzsze
nj 155 133 120 408
Liczba st.swobody 6
Istotność 0,00812271
LICZEBNOŚCI TEORYCZNE
duże małe
wieś
n
i
Y
miasto miasto
WSPÓA
CZYNNIK
X
ZBIEŻNOŚCI V 0,131708489
36,85 31,62 28,53 97
podstawowe
WSPÓA
CZYNNIK
39,13 33,58 30,29 103
zawodowe
DETERMINACJI
V2 1,7%
38,75 33,25 30,00 102
średnie
40,27 34,55 31,18 106
wyzsze
nj 155 133 120 408
WARIANT 2a:
- połączenie cechy ilościowej ciągłej z cechą
ilościową ciągłą, gdy obie mają w populacji
rozkład normalny
KOWARIANCJA
N
1
covxy =�
��(x -� x) �� (yi -� y) =�
i
N -�1
i=�1
N N
ć� ��
yi
�� ��
��x ����
i
N
1
i=�1 i=�1
�� ��
=�
��x �� yi -�
��
N -�1�� i=�1 i N
�� ��
Ł� ł�
KOWARIANCJA (covxy)
Informuje
- o istnieniu lub braku liniowej zależności między cechami,
- o kierunku zależności,
Jej wartość zawiera się w przedziale <-SxSy ; SxSy>
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI
LINIOWEJ PEARSONA
cov
xy
rxy =�
Sx �� S
y
Informuje o sile i kierunku zależności,
Jego wartość zawiera się w przedziale od <-1 ;
1>
KORELACJA SILNA, DODATNIA
y
x
Przykład
Wydajność mleczna [kg] Zawartość tłuszczu [%]
5400 3,04
4800 3,09
6200 3,06
4700 3,15
4750 3,06
4800 3,17
5800 3,07
6250 3,13
5200 3,14
5500 3,09
Przykład
Wydajność mleczna [kg] Zawartość tłuszczu [%]
5400 3,04
4800 3,09
6200 3,06
4700 3,15
4750 3,06
4800 3,17
covxy =� -�8,056
5800 3,07
6250 3,13
5200 3,14
5500 3,09
2
Sx =� 352111,1
2
Sy =� 0,001978
-�8,056
rxy =� =� -�0,3053
352111,1��0,001978
Hipoteza porównująca wartość współczynnika
korelacji z stałą H0 : r�XY = r�0
ć� ��
1 1+� r 1 1+� �0 �0
�� ��
uemp =� ln -� ln -�
�� ���� N -� 3
2 1-� r 2 1-� �0 2��(N -�1)
Ł� ł�
Hipoteza porównująca wartość współczynnika
korelacji z zerem H0 : r�XY = 0
r
temp =� �� (N -� 2)
1-� r2
Przykład
-� 0,3053
temp =� �� (10 -� 2) =� -�0,9068
1-� (-�0,3053)2
P(t Ł� -�0,9068) =� 0,1955
dla H1 jednostronnej
P( t ł� -� 0,9068) =� 0,391
dla H1 dwustronnej
Korelacja ujemna, słaba i nieistotna
WARIANT 2b:
- połączenie cechy ilościowej ciągłej z cechą
ilościową ciągłą, gdy przynajmniej jedna nie
ma w populacji rozkładu normalnego
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI
RANG SPEARMANA
N
2
6
��d
i
i=�1
rs =�1-�
2
N(N -�1)
Przykład
I sędzia ranga II sędzia. ranga Różnica rang di
100 1 102 1,5 -0,5
101 2 102 1,5 0,5
107 6 108 6 0
111 9 110 8 1
109 7 110 8 -1
110 8 110 8 0
106 5 107 5 0
103 3 103 3,5 -0,5
112 10 111 10 0
104 4 103 3,5 0,5
Przykład
6 ��3 18
rs =� 1-� =� 1-� =� 0,9818
10(100 -�1) 990
0,9818
temp =� �14,622
1-� 0,98182
10 -� 2
P(t ł�14,622) =� 0,0000
Korelacja bardzo silna i
wysoce istotna
ranga 1 ranga 2 di di2
1 12 -11 121
2 11 -9 81
3 10 -7 49
4 9 -5 25
5 8 -3 9
6 7 -1 1
7 6 1 1
8 5 3 9
9 4 5 25
10 3 7 49
11 2 9 81
12 1 11 121
0 572
6 ��572
rs =� 1-� =� 1-� 2 =� -�1
12(144 -�1)
Triturus cristatus