PRZYKA
ADOWE ZADANIA TEORETYCZNE II
1. Podać definicje: ciągu funkcyjnego, zbieżności ciągu funkcyjnego oraz jego
granicy. Znalez
ć granice ciągów funkcyjnych:

x
" fn(x) = n sin
n

x Ą
" fn(x) = n tg , x " 0,
n 4
"
n
" fn(x) = 1 + xn , x " 0, ")
2. Podać definicję obszaru zbieżności szeregu funkcyjnego.
Znalez
ć obszary zbieżności szeregów
"

" e-nx
n=1
"

sin(nx)
"
n2
n=1
3. Sformułować twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Sprawdzić, że
"

1
n xn-1 = dla |x| < 1.
(1-x)2
n=1
"

n
Obliczyć .
2n
n=1
4. Sformułować twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego. Sprawdzić, że
" "

xn 1
= - ln (1 - x) dla |x| < 1. Obliczyć .
n n 3n
n=1 n=1
"

xn
5. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej x szereg jest zbieżny do
n!
n=0
funkcji f(x) = ex.
6. Sformułować kryterium Dirichleta o zbieżności szeregu trygonometrycznego.
Narysować wykres sumy szeregu Fouriera dla funkcji
" f(x) = sign(x) , x " -Ą, Ą
" f(x) = x - 1, x " (-2, 2).
7. Podać włsności całki po przedziale domkniętym w przestrzeni Rn.
8. Sformułować i udowodnić twierdzenie o obliczaniu całki z funkcji ciągłej po
obszarach normalnych na płaszczyz
nie.
9. Całkę podwójną zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest
krzywymi:
a) y = |x|, x = 1, x = -1, y = 0 b) x2 - 4x + y2 + 6y - 51 = 0
1
10. Zamienić kolejność całkowania w całce iterowanej


1 2-x2
"
f(x, y) dy dx.
-1
1- 1-x2
Narysować obszar całkowania.
11. Zamienić kolejność całkowania w całce iterowanej
"

1 2- 4x-x2
f(x, y) dy dx.
0 -1
Narysować obszar całkowania.
12. Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej.
Wprowadzając uogólnione współrzędne biegunowe obliczyć pole elipsy o osiach
a i b.
13. Sformułować twierdzenie o zamianie całki z funkcji ciągłej po obszarach
normalnych w przestrzeni R3 na całki iterowane.
14. Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej.
Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) "
" "
R3 : x2 + y2 z 4 - x2 - y2.
15. Określić współrzędne sferyczne. Stosując te współrzędne obliczyć jaka część
"
objętości kuli: x2 + y2 + z2 2z znajduje się wewnątrz stożka z = x2 + y2.
16. Podać definicję oraz interpretację fizyczną całki krzywoliniowej skierowanej.
17. Sformułować i udowodnić twierdzenie Green a.

"

y2
Obliczyć całkę x - y + dx + x + xy + 2 - x dy, gdzie K jest
K
2
brzegiem trójkąta o wierzchołkach: A(0,0), B(1,1), C (0,2) skierowanym
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
18. Korzystając z twierdzenia Green a wykazać, że pole obszaru ograniczonego
krzywą regularną zamkniętą K wyraża się wzorem

1
P = x dy - y dx
2 K
. Obliczyć pole obszaru ograniczonego asteroidą

x = a cos3t
K = 0 t 2 
y = a sin3t
19. Podać definicję potencjału pola sił. Sprawdzić, że pole wktorowe

y 1

F (x, y) = , - jest potencjalne.
x2 x
Obliczyć pracę tego pola podczas ruchu po dowolnym łuku łączącym punkty
A(1,2) i B(2,1) i nie przechodzącym przez oś Oy.
20. Wykazać, że w potencjalnym polu sił praca nie zależy od drogi łączącej punkty
A i B oraz jest równa różnicy wartości potencjału w tych punktach.

y2

Obliczyć pracę pola sił F (x, y) = , y ln x po okręgu (x - 3)2 + (y - 7)2 = 5
2x
skierowanym dodatnio.
2