Przykładowe zadania teoretyczne kolokwium I
1. Wykazać, że jeżeli funkcja f : a,b R jest całkowalna, to
b
p
f ( x )dx = lim
b - a f ( a + k b - a ).
pĄ
p p
k =1
a
1
n
2
2. Korzystając z zadania 1. obliczyć x2 dx . (Wskazówka: =
k n(n +1)(2n +1) )
6
k =1
0
1
n
3
3. Korzystając z zadania 1. obliczyć x3 dx . (Wskazówka: = (1+ 2 + 3 +LL+ n)2 )
k
k =1
0
4. Znalezć granice ciągów:
Ą
ć
1 1 1
ż
n + +LL
2 2 2
(1+ n) (2 + n) (n + n)
Ł ł
n=1
Ą
1 1 1
ć
n + +LL
ż
1+ n2 4 + n2 n2 + n2 n=1
Ł ł
b
5. Wykazać, że funkcja stała f (x) C, x a,b jest całkowalna oraz dx = C (b - a)
C
a
b b
6. Udowodnić, że jeżeli f C( a,b ), to f ( x )dx Ł f ( x ) dx
a a
7. Wykazać, że dla każdej funkcji całkowalnej f : a,b R i stałej C
b b
f ( x ) dx
C f ( x )dx = C
a a
8. Wykazać, że dla dowolnych funkcji całkowalnych f : a,b R i g : a,b R
b b b
f ( x ) dx + g( x ) dx
( f ( x ) + g( x ))dx =
a a a
9. Wykazać, że dla każdej funkcji całkowalnej f : a,b R prawdziwe jest
b
ć ć
oszacowanie inf f ( x )(b - a)Ł f ( x )dx Ł sup f ( x )(b - a)
x a,b x a,b
Ł ł Ł ł
a
x
4 + e-t dt
0
10. Obliczyć granicę lim . Z jakich twierdzeń należy skorzystać?
xĄ
x
x
3
arctg t dt
0
11. Obliczyć granicę lim . Z jakich twierdzeń należy skorzystać?
xĄ
x
x
12. Funkcję górnej granicy całkowania F( x ) = -1 + t + 2)dt zapisać wzorem bez
(t
0
użycia całki.
13. Sformułować twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania. Znalezć punkty
x
1
2
przegięcia funkcji zadanej wzorem : f ( x ) = et dt .
t
0.3
14. Sformułować twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania. Znalezć ekstrema
x
2
lokalne funkcji zadanej wzorem : f ( x ) = t -1 cos 2t dt .
1
15. Podać definicję szeregu liczbowego. Korzystając z definicji zbadać zbieżność oraz dla
szeregów zbieżnych znalezć ich sumę:
n
Ą Ą Ą Ą Ą
+ 1 1
n+1 n+2
a ) ( 4 - 4) c ) d ) (W ) e )
5 10n3n b ) lnć1+ 1 (W )
n(n +1) n
n + n +1 Ł ł
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
16. Sformułować i udowodnić warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.
Uzasadnić rozbieżność szeregu:
n
Ą Ą Ą
2 p
n
a ) sin c ) cos
n 1 b )ć1- n
n n
Ł ł
n=1 n=1 n=1
Ą
1
17. Korzystając z kryterium całkowego udowodnić, że szereg jest zbieżny dla
s
n
n=1
s > 1
i rozbieżny dla s Ł1.
18. Wykazać, że szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny. Podać przykład szeregu
zbieżnego, ale nie zbieżnego bezwzględnie.
19. Wykazać zbieżność warunkową szeregu
Ą Ą Ą Ą
ć
n n n n
(-1) sin 1 , (-1) tg 1 , (-1) arctg 1 , (-1) arcsin 1 . Ile
n n n n
n=1 Ł n=1 n=1 n=1 ł
wyrazów szeregu należy zsumować, aby obliczyć jego sumę z dokładnością 0.01.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
47 Olimpiada chemiczna Etap I Zadania teoretyczneteoretyczne 2 kolokwium 2 semestr49 Olimpiada chemiczna Etap III Zadania teoretyczneprzykladowe zadania na kolokwium nr 1? di 09Przyklad I zadania na kolokwiumZadania do 1 Kolokwium (2010) ogarnijtemat com51Olimpiada chemiczna Etap I Zadania teoretycznePrzykładowe zadania na I kolokwiumPrzyklad II zadania na kolokwium fund ramowyINFORMATYKA MODELOWANIE CYFROWE zadania na kolokwiumZadania do 2 Kolokwium (2010) ogarnijtemat com52 Olimpiada chemiczna Etap III Zadania teoretyczne45 Olimpiada chemiczna Etap III Zadania teoretycznezadania teoretyczne 2więcej podobnych podstron