Metody Numeryczne
Wykład 9
Aproksymacja, część 2
Iwona Wróbel
[e-mail]
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.1/8
Aproksymacja wielomianowa
Funkcja aproksymująca ma postać:
f"(x) = ą0Ć0(x) + ą1Ć1(x) + . . . + ąnĆn(x),
gdzie Ć0, Ć1, . . . , Ćn sa funkcjami określonymi na przedziale [a, b], do
którego należą wszystkie węzły x0, x1, . . . , xm, przy czym m e" n,
Jeżeli funkcje Ćk są wielomianami stopnia k (k = 0, 1, . . . , n), to f"(x)
jest wielomianem stopnia co najwyżej n.
Uwaga. W przypadku, gdy Ćk(x) = xk, już dla niedużych n (n > 5)
układ równań normalnych często jest z
le uwarunkowany (przez co
rozwiązanie tego układu może być obarczone dużym błędem).
Dlatego, o ile n nie jest bardzo małe,
nie należy stosować funkcji 1, x, x2, . . . , xn.
Należy wtedy stosować wielomiany Grama.
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.2/8
Wielomiany Grama
Uwaga. Przy aproksymacji wielomianami Grama macierz Grama jest
macierzÄ… diagonalnÄ….
2i
Niech xi = -1 + , i = 0, 1, . . . , m (xi są równoodległymi punktami z
m
odcinka [-1, 1]).
Wielomiany Grama {Pk,m}m są ortogonalne względem iloczynu
k=0
skalarnego
m
g, h = g(xi)h(xi),
i=0
a dokładniej
0 i = j,

Pi,m, Pj,m =
1 i = j.
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.3/8
Wielomiany Grama
Wielomiany Grama spełniają zależność rekurencyjną:
Pk+1,m(x) = ²k,mxPk,m(x) - Å‚k,mPk-1,m(x),
gdzie
m 4(k + 1)2 - 1 ²k,m
²k,m = , Å‚k,m = ,
k + 1 (m + 1) - (k + 1)2 ²k-1,m
"
P0,m(x) = m + 1, P-1,m(x) = 0.
"
Uwaga. Gdy n m, wielomiany Grama majÄ…
"podobne własności,
co wielomiany Legendre a, natomiast dla n m pomiędzy węzłami
2i
xi = -1 + występują bardzo duże oscylacje. Z tej przyczyny przy
m
aproksymacji wielomianami Grama na węzłach równoodległych nie
"
powinno się stosować n większych niż około 2 m.
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.4/8
Aproksymacja trygonometryczna
W praktyce czasami wartości fi są wartościami pomiarowymi pewnego
zjawiska, o którym wiadomo, że ma przebieg okresowy.
Wtedy do aproksymacji korzystniej jest stosować wielomiany
trygonometryczne:
k
f" (x) = a0 + aj sin(jx) + bj cos(jx) .
2k+1
j=1
W tym przypadku n = 2k + 1, a funkcja aproksymujÄ…ca jest kombinacjÄ…
liniowÄ… funkcji {1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), . . . , sin(kx), cos(kx)}.
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.5/8
Załóżmy, że przedziałem aproksymacji jest [0, 2Ą] oraz, że węzłami są
punkty
2Ä„i
xi = , i = 0, 1, . . . , m, m e" n.
m + 1
Uwaga. Dla takich węzłów macierz Grama jest diagonalna, co
znacznie upraszcza rozwiązanie układu równań.
Współczynniki funkcji
k
f" (x) = a0 + aj sin(jx) + bj cos(jx)
2k+1
j=1
są następujące:
m m m
1 2 2
a0 = fi, aj = fi cos(jxi), bj = fi sin(jxi)
m + 1 m + 1 m + 1
i=0 i=0 i=0
dla j = 1, 2, . . . , k.
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.6/8
Jak dobrać liczbę funkcji?
Załóżmy, że mamy ustalony układ funkcji {Ć0, Ć1, . . . , Ćn, . . . }.
Funkcja aproksymująca ma postać:
f"(x) = ą0Ć0(x) + ą1Ć1(x) + . . . + ąnĆn(x).
Pytanie: jak dobrać n?
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.7/8
Liczbę funkcji przybliżających ustalamy na podstawie analizy modelu
badanego zjawiska lub wyznaczajÄ…c kolejne funkcje optymalne f" (x),
n
dla n = 0, 1, 2, . . . i obliczając kwadrat średniego błędu
Hn
´2 =
n
m - n
gdzie
m
2
Hn = f(xi) - f" (xi) min.
n
i=0
jest odchyleniem średniokwadratowym dla n-tej funkcji optymalnej
f" (x).
n
Obliczenia te prowadzimy dopóki ´2 znacznie maleje.
n
Wartość n, po której ´2 już nie maleje istotnie, wyznacza ukÅ‚ad funkcji
n
przybliżających {Ć0, Ć1, . . . , Ćn}.
Metody Numeryczne IL, Wykład 9  p.8/8