MAŁGORZATA PAPIEROWSKA
BUDOWNICTWO ROK I GR 4

ĆWICZENIE 10

Temat: wyznaczanie modułu Younga metodą zginania pręta.

Jeśli na unieruchomione ciało sprężyste podziałamy siłą to powstaną w tym ciele naprężenia wywołujące jego odkształcenie Naprężenieσ w pręcie o przekroju poprzecznym A na który działa siła F (prostopadła lub styczna do A) równe jest stosunkowi siły do pola powierzchni przekroju pręta.

σ = F/A

Naprężeniu stawiają opór siły międzycząsteczkowe wewnątrz materiału Zmiana długości pręta spowodowana rozciąganiem lub ściskaniem jest proporcjonalna do jego długości l rozciągany siłą F zwiększa swoją długość o Δl to miarą odkształcenia ε jest względna zmiana długości :

ε = Δl / l

W zależności od rodzaju naprężenia deformacje mogą polegać na rozciągnięciu ,ściśnięciu lub ścięciu Każda inna deformacja może być rozpatrywana jako połączenie tych trzech.

Gdy po usunięciu siły F ciało wraca do swych rozmiarów to odkształcenie nazywamy sprężystym Dla małych odkształceń sprężystych ε jest proporcjonalne do naprężenia σ

ε= 1/E * σ

gdzie E jest modułem sprężystości danego materiału (nazywanym też modułem Younga)

wyraża się on w paskalach. Najprostszy sposób wyznaczania modułu Younga polega na pomiarze przyrostu długości Δl pręta o długości l i polu przekroju A umocowanego jednym końcem i rozciąganego siłą F Jednak w przypadku grubszych prętów trudno jest uzyskać ich mierzalne wydłużenia z uwagi na konieczność użycia bardzo dużych sił. Z tego względu wykorzystujemy odkształcenia złożone do których należy zginanie pręta umocowanego z jednej strony lub podpartego na obu końcach.

Rozpatrzymy teraz ugięcie pręta o długości l podpartego na obu końcach i obciążonego po środku siłą P Każda z podpór działa na pręt siłą reakcji równą P/2 a środkowa część pręta pozostaje pozioma. W związku z tym ugięcie pręta będziemy rozpatrywać względem układu współrzędnych którego początek umiejscowimy w środku pręta. Wówczas moment siły reakcji działającej na koniec pręt, iloczyny względem punktu leżącego w odległości x od środka pręta, wynosi (przy niewielkich ugięciach)

M=(P/2)/(0,5-x)

Promień krzywizny R ugiętego pręta określony jest matematycznym równaniem którego przybliżona postać w naszym przypadku jest następująca

1/R = d²y/ dx²

Jeżeli podstawimy do wzoru : M = EI /R dwa wyżej wymienione wzory to otrzymamy równanie różniczkowe drugiego rzędu

d²y/ dx² = P / 2EI *(0,5 - x)

rozwiązanie powyższego równania otrzymamy przez dwukrotne całkowanie z uwzględnieniem warunków brzegowych.

Wartość współrzędnej y w miejscu podparcia nazywamy strzałką ugięcia S

1. Wyznaczanie stosunku P/S

Badany pręt kładziemy na specjalnych podporach umieszczonych na podstawie stojącej na stole Strzemię T nakładamy na środek pręta i zawieszamy na nim szalkę Do pomiaru strzałki ugięcia stosujemy śrubę mikrometryczną umocowaną umocowana w specjalnym statywie Mikromierz ustawiamy nad strzemieniem tak aby koniec śruby nie dotykał do strzemienia Do zacisków które znajdują się na strzemieniu i na statywie śruby mikrometrycznej podłączamy szeregowo zasilacz i odpowiednia żarówkę Przez obracanie śruby mikromierza doprowadzamy ja do zetknięcia ze strzemieniem Gdy żarówka rozbłyśnie odczytujemy wskaźnik mikromierza - s₀ Obciążamy szalkę - ugięcie pręta przerywa obwód i żarówka gaśnie ponownie obracamy śrubę aż do momentu zaświecenia żarówki i odczytujemy wskazanie mikromierza s₁ Moduł różnicy tych dwóch wielkości daje nam strzałkę ugięcia. Pomiary strzałek ugięcia przeprowadzamy dla kilku różnych obciążeń , przy czym najpierw notujemy strzałki ugięcia przy obciążeniach rosnących a następnie malejących. Z dwóch uzyskanych wyników dla danej wartości obciążenia obliczamy wartość średnią , którą przyjmujemy za właściwą wartość strzałki na podstawie wyników uzyskanych dla różnych obciążeń obliczamy średnia wartość P/S

2. Pomiar rozmiarów pręta

Jako długość l przyjmujemy odległość między krawędziami podpór na których spoczywa pręt mierzymy ją linijką Następnie dodatkową śrubą mikrometryczną mierzymy krawędzie przekroju poprzecznego pręta - w wielu rożnych miejscach pręta po czym wyliczamy wartości średnie

Rodzaj pręta	Długość l [mm]	Szerokość ai [mm]			Srednia a [mm]	Grubość hi [mm]			Srednia h [mm]	C [m^-1]
				Szerokość ai		poprawka	Szerokość ai poprawiona				Grubość hi	poprawka	Grubość hipoprawiona
		Drewno	0,92	29,5			29,5	29,67			10,35	0,04	10,31	10,26	6038759,69
				29,5			29,5				10,49	0,04	10,45
				30,0			29,5				10,06	0,04	10,02
		Metal	0,92	19,90		0,04	19,86	19,85			4,98	0,04	4,94	4,93	86555555,56
				19,88		0,04	19,84				4,96	0,04	4,92
				19,89		0,04	19,85				4,97	0,04	4,93

Rodzaj pręta	Masa obciąż. [kg]	Wskazania mikrom. [mm],przy obciążeniu		Strzałka ugięcia [m] (rosnących)	Strzałka ugięcia [m] (malejących)	Śr strzałka ugiecia [m] S i	P i / S i [N/m]	Średnia Y= P/S [N/m]	Moduł YoungaE [Pa]
										rosnącym	Malejącym
	Drewno	0	12,65	11,91							6193,04	^3,74*10^10
		0,05	12,60	12,00	0,00005	0,00009	0,00007			7004,34
		0,10	12,52	12,08	0,00013	0,00017	0,00015			6533,46
		0,15	12,42	12,16	0,00023	0,00025	0,00024			6131,25
		0,20	12,34	12,24	0,00031	0,00033	0.00032			6131,25
		0,25	12,25	12,31	0,00040	0,00040	0,00040			6131,25
		0,30	12,16	12,41	0,00049	0,00050	0,000495			5944,86
		0,35	12,07	12,50	0,00058	0,00059	0,000585			5866,38
		0,40	11,98	12,59	0,00067	0,00068	0,000585			5801,60
	Metal	0	11,75	11,35							8094,48	^7,01*10^11
		0,05	11,72	11,42	0,00003	0,00007	0,00005			981
		0,10	11,66	11,47	0,00009	0,00012	0,000105			9339,12
		0,15	11,58	11,53	0,00017	0,00018	0,000175			8407,17
		0,20	11,53	11,57	0,00022	0,00022	0,00022			8917,29
		0,25	11,48	11,61	0,00027	0,00026	0,000265			9250,83
		0,30	11,44	11,67	0,00031	0,00032	0,000315			9339,12
		0,35	11,41	11,74	0,00034	0,00039	0,000365			9397,98
		0,40	11,35	11,81	0,00040	0,00046	0,00043			9123,30

---