Mechanika - Statyka, statykawyklad6, Środek ciężkości


0x08 graphic
Statyka Wykład 6

Środek ciężkości

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
xC xi x

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
yC

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
yi

0x08 graphic
*Vi

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

y g cm/s2, * kg/cm3

0x08 graphic
0x08 graphic

z *Gi = g*i *Vi = *i *Vi

G gdzie *i = g*i

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
Rys. 47 * ni, * mi

Po podstawieniu do wzorów (46), (47) i (48)

Pi = *Gi = *i *Vi otrzymujemy

przybliżone wzory określające położenie

xC , yC , zC środka ciężkości C dowolnego ciała.

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
(52)

Wzory (52) są wzorami przybliżonymi. Aby otrzymać wzory dokładne, trzeba przejść do granicy zakładając, że liczba n elementów, na które podzielimy dane ciało, dąży do nieskończoności, przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich ich wymiarów.

Występujące we wzorach (52) sumy po przejściu do granicy zmieniają się w całki objętościowe rozciągnięte na całą objętość rozpatrywanego ciała i ostatecznie otrzymujemy:

0x08 graphic
St.33

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
(53)

Przykład 12

Obliczyć wartości współrzędnych środka ciężkości powierzchni prostokąta o wymiarach jak na rysunku.

Aby wykorzystać wzory (53) należy założyć, że grubość prostokąta jest dowolnie mała i wynosi dz, wtedy:

- dV = dz dF gdzie dF jest elementem powierzchni (rys.48)

otrzymujemy wzory na obliczenia współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej.

0x08 graphic

y dF=dxdy

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
dz

0x08 graphic
0x08 graphic
dy

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
h dx

0x08 graphic
y

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
x

0x08 graphic
x

0x08 graphic
z a Rys. 48

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 13

Określić środek ciężkości pola trójkąta przedstawionego na rysunku (49). Dane: wysokość h, podstawa d.

0x08 graphic

y

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
D

0x08 graphic
y1 y2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
dy

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
h

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
y C yC

0x08 graphic
0x08 graphic
x

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A x1 B

0x08 graphic
xC

0x08 graphic
xw

0x08 graphic
x2

0x08 graphic
d Rys.49

0x08 graphic

y1 = a1x1 + b1 dla y1 = 0, b1 = 0

0x08 graphic
dla y1 = h, x1 = xw a1 = h/xw

0x08 graphic
y2 = a2x2 + b2 dla y2 = 0, x2 = d b2/a2 = -d

0x08 graphic
dla y2 = h, x2 = xw a2 = -h/(d-xw)

b2 = hd/(1-xw)

x1 = y1/a1 x2 = (y2 - b2)/a2

0x08 graphic
0x01 graphic
St.35

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(54)

W identyczny sposób jak zapisano wzór (54) można zapisać wzór na współrzędną środka ciężkości xC :

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(55)

0x08 graphic
gdzie: 0x01 graphic
0x01 graphic
moment statyczny względem osi y

Z wzorów ( 54 ) i ( 55 ) wynika, że jeśli środek ciężkości leży na osi względem której liczymy moment statyczny, to moment ten równa się zero.

Moment statyczny figury płaskiej względem osi

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
y y1 dF

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

yC C środek ciężkości figury

0x08 graphic
0x08 graphic
C x1 y = yC + a

a

0 x Rys.50

0x08 graphic

0x01 graphic
(56)

Przykład 14

Wyznaczyć położenie środka ciężkości xC figury płaskiej z rys.51

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Rozwiązanie

0x08 graphic
y h = b = c = 5 cm

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
c b x Rys.51

0x08 graphic
0x08 graphic
z (56)

0x01 graphic
cm3

z (55) 0x01 graphic

0x08 graphic
Przykład 15 St.36

0x08 graphic
Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa prawidłowego o wysokości h i podstawie kwadratu o boku a (rys.52). S z

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
AB =BC = a

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
h dz C1 A1B1 =B1C1 = a1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0S = h

0x08 graphic
z A1 B1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
C

0x08 graphic
0

0x08 graphic

A B Rys.52

Rozwiązanie

zC obliczamy z wzoru (7.15) strona 123 Statyka i Wytrzymałość Materiałów tom I, autor Jan Misiak

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

Z podobieństwa trójkątów ASB i A1SB1

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(57)

0x08 graphic
Przykład 16 St.37

Określić położenie środka ciężkości łuku koła o promieniu R i kącie środkowym 2α (rys.53).

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
y

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
R

α

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0 x

α

Rys.53

Rozwiązanie

0x08 graphic
y x x = Rcos*

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
dl = Rd* y = Rsin*

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
d*

0x08 graphic
0x08 graphic
y

0x08 graphic
*

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0 x

α

Rys.54

Z wzorów (7.28) strona 133 Statyka i Wyt. Mat. Jan Misiak

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

St.32

zC zi

C

St.34



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Mechanika Techniczna I Skrypt 4 6 5 Środek ciężkości układu obiektów
Mechanika Techniczna I Skrypt 1 4 1 Środek cieżkości i środek masy
Mechanika Techniczna I Skrypt 4 6 4 Środek ciężkości bryły
9 zajęcia mechanika środek ciężkości=
Mechanika statyka teoria
Mechanika - Statyka, cwiczeniastatyka3, Ćwiczenia statyka 3
Mechanika - Statyka, statykawyklad1, Statyka Wykład 1
Mechanika - Statyka, cwiczeniastatyka2, Ćwiczenie statyka 2
Mechanika - Statyka, statykawyklad2, Statyka Wykład 2
Szkic do wykladow z mechaniki statyka
Mechanika - Statyka, cwiczeniastatyka4, Ćwiczenia statyka 4
Mechanika - Statyka, statykawyklad4, Statyka Wykład 4
8 zajęcia mechanika środek ciężkości
Szkic do wykladow z mechaniki statyka
9 zajęcia mechanika środek ciężkości=
Mechanika statyka teoria

więcej podobnych podstron