Politechnika Gdańska Wydział Budownictwa Lądowego

Katedra Fizyki i Matematyki Stosowanej Rok akademicki 1997 / 98

Laboratorium z FIZYKI

Temat: Pomiar prędkości dźwięku metodą

rezonansu i metodą składania drgań

wzajemnie prostopadłych

Grupa 2 Rzodkiewicz Michał

Wstęp

Fale dźwiękowe są podłużnymi falami mechanicznymi. Mogą one rozchodzić się w ciałach stałych, cieczach i gazach. W powietrzu atmosferycznym fale dźwiękowe rozchodzą się z prędkością około 330 m/s.

Szczególnym przypadkiem interferencji fal są fale stojące, które charakteryzują się węzłami - miejsca, w których wychylenie stale jest równe zeru, oraz strzałkami - miejsca, w których amplituda drgań jest największa. Odległość między dwoma węzłami fali stojącej jest równa połowie długości fali stojącej. Na sznurze gumowym, sztywno zamocowanym na obu końcach i periodycznie pobudzanym do drgań nie może powstać dowolna fala stojąca, a tylko taka, która ma węzły na obu jego końcach. Oznacza to, że długość sznura L musi być równa całkowitej wielokrotności połówek długości fali, czyli

gdzie: n - liczba naturalna.

Wynika stąd związek, określający:

Pomiędzy długością fali λ_n a częstotliwością f_n zachodzi zależność:

gdzie: V - prędkość rozchodzenia się fali.

Przypadek, kiedy częstotliwość drgań pobudzających jest równa częstotliwości własnej układu (amplituda osiąga bardzo dużą wartość), nazywamy rezonansem. Warunkiem koniecznym otrzymania rezonansu akustycznego jest to, aby długość l słupa powietrza w rurze spełniała warunek:

m = 1, 2, 3, ....

Znając częstotliwość drgań rezonansowych, możemy obliczyć prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu.

Długość fali akustycznej możemy określić przez pomiar odległości między dwoma punktami fali i z różnicy faz między tymi punktami. Na odcinku „z” różnicę faz drgań Δϕ możemy przedstawić zależnością:

Różnicę faz możemy określić metodą złożenia drgań wzajemnie prostopadłych. Przy nakładaniu się takich drgań z jednakowymi okresami i amplitudami krzywa określająca drganie wypadkowe zależy od różnicy faz drgań pierwotnych.

Jeżeli różnicę faz drgań pierwotnych będziemy zmieniać stopniowo, to krzywa wypadkowa będzie przybierała za każdym razem inną formę. Przy zmianie różnicy faz o 2π drganie wypadkowe przybiera kształt pierwotny.

Zmiana różnicy faz drgań składowych może następować przez zmianę odległości między dwoma punktami fali. Określając doświadczalnie różnicę faz i odcinek długości, na jakim wystąpiła ta zmiana, obliczamy ze wzoru długość fali. Znając częstotliwość źródła drgań obliczamy prędkość rozchodzenia się dźwięku.

* * *

Przebieg doświadczenia prowadzi do wyznaczenia prędkości rozchodzenia się dźwięku metodą ¹⁾ rezonansu oraz metodą ²⁾ składania drgań wzajemnie prostopadłych. W pierwszym przypadku korzystamy z generatora, słuchawki telefonicznej i rury szklanej z ruchomym tłokiem. Słuchawka telefoniczna podłączona jest do generatora ustawionego na określoną częstość i umieszczona na wprost otwartego końca rury szklanej. Poprzez oddalanie tłoka od słuchawki i w odpowiednim jego położeniu, możemy w słupie powietrza wytworzyć rezonans. Odległość dwóch takich sąsiednich położeń tłoka Δl jest długością fali stojącej

Po wyznaczeniu λ możemy obliczyć prędkość dźwięku w powietrzu.

W metodzie drugiej korzystamy z głośnika umieszczonego na ławie na wprost mikrofonu. Fala akustyczna wysyłana przez głośnik (podłączony do generatora akustycznego i okładek oscylografu), dochodzi do mikrofonu przetwarzającego ją w drgania elektryczne, a następnie podawana jest na okładki oscylografu. Kształt krzywej wypadkowej obserwowanej na oscylografie zależy od różnicy faz drgań składowych pochodzących od głośnika i mikrofonu. Najmniejsza odległość l_min między dwoma sąsiednimi położeniami mikrofonu, przy której różnica faz zwiększy się o 2π, jest długością fali akustycznej w powietrzu

Mając daną długość fali i częstotliwość generatora możemy obliczyć prędkość dźwięku w powietrzu.

Obliczenia

a) Wyznaczenie prędkości rozchodzenia się dźwięku metodą rezonansu

f₁ = 1980 Hz λ_st = 8,7 cm ⇒ λ = 17,4 cm = 0,174 m

V₁ = 0,174 ⋅ 1980 = 344,52 [m/s]

f₂ = 1050 Hz λ_st = 17 cm ⇒ λ = 34 cm = 0,34 m

V₂ = 0,34 ⋅ 1050 = 357 [m/s]

f₃ = 2500 Hz λ_st = 6,5 cm ⇒ λ = 13 cm = 0,13 m

V₃ = 0,13 ⋅ 2500 = 325 [m/s]

Wyznaczenie prędkości rozchodzenia się dźwięku metodą składania drgań wzajemnie prostopadłych

f₁ = 2502 Hz

Δϕ = π

l₁ = 40 mm

l₂ = 112 mm

⇒ λ = 144 mm = 0,144 m

V₁ = 0,144 ⋅ 2502 = 360,29 [m/s]

f₂ = 3000 Hz

Δϕ = π

l₁ = 39 mm

l₂ = 105 mm

λ = 132 mm = 0,132 m

V₂ = 0,132 ⋅ 3000 = 396 [m/s]

f₃ = 2800 Hz

Δϕ = π

l₁ = 68 mm

l₂ = 122 mm

λ = 108 mm = 0,108 m

V₃ = 0,108 ⋅ 2800 = 302,4 [m/s]

f₄ = 3300 Hz

Δϕ = π

l₁ = 8 mm

l₂ = 61 mm

λ = 106 mm = 0,106 m

V₄ = 0,106 ⋅ 3300 = 349,8 [m/s]

f₅ = 3500 Hz

Δϕ = π

l₁ = 40 mm

l₂ = 92 mm

λ = 104 mm = 0,104 m

V₅ = 0,104 ⋅ 3500 = 364 [m/s]

f₆ = 3606 Hz

Δϕ = π

l₁ = 30 mm

l₂ = 80 mm

λ = 100 mm = 0,100 m

V₆ = 0,100 ⋅ 3606 = 360,6 [m/s]

f₇ = 3360 Hz

Δϕ = π

l₁ = 55 mm

l₂ = 108 mm

λ = 106 mm = 0,106 m

V₇ = 0,106 ⋅ 3360 = 356,16 [m/s]

f₈ = 2319 Hz

Δϕ = π

l₁ = 61 mm

l₂ = 129 mm

λ = 136 mm = 0,136 m

V₈ = 0,136 ⋅ 2319 = 315,38 [m/s]

f₉ = 1888 Hz

Δϕ = π

l₁ = 0 mm

l₂ = 92 mm

λ = 184 mm = 0,184 m

V₉ = 0,184 ⋅ 1888 = 347,39 [m/s]

f₁₀ = 3795 Hz

Δϕ = π

l₁ = 60 mm

l₂ = 106 mm

λ = 92 mm = 0,092 m

V₁₀ = 0,092 ⋅ 3795 = 349,14 [m/s]

Rachunek błędu

gdzie:

- błąd względny określenia długości fali, w obu metodach uwarunkowany dokładnością pomiaru odległości l i Δl.

Przyjmujemy:

- w I metodzie

- w II metodzie

- błąd względny miernika częstotliwości, określony przez producenta na 1 %.

Obliczenia błędów

a) Metoda rezonansu

1° = 6,7 %

ΔV₁ = V₁ = 344,52 0,067 = 23,08 [m/s]

V₁ = (344,52 ± 23,08) [m/s]

2° = 3,9 %

ΔV₂ = V₂ = 357 0,039 = 13,92 [m/s]

V₂ = (357 ± 13,92) [m/s]

3° = 8,6 %

ΔV₃ = V₃ = 325 0,086 = 27,95 [m/s]

V₃ = (325 ± 27,95) [m/s]

Metoda składania drgań wzajemnie prostopadłych

1° = 2,3 %

ΔV₁ = V₁ = 360,29 0,023 = 8,28 [m/s]

V₁ = (360,29 ± 8,28) [m/s]

2° = 2,5 %

ΔV₂ = V₂ = 396 0,025 = 9,90 [m/s]

V₂ = (396 ± 9,90) [m/s]

3° = 1,8 %

ΔV₃ = V₃ = 302,4 0,018 = 5,44 [m/s]

V₃ = (302,4 ± 5,44) [m/s]

4° = 2,8 %

ΔV₄ = V₄ = 349,8 0,028 = 9,79 [m/s]

V₄ = (349,8 ± 9,79) [m/s]

5° = 2,9 %

ΔV₅ = V₅ = 364 0,029 = 10,56 [m/s]

V₅ = (364 ± 10,56) [m/s]

6° = 3,0 %

ΔV₆ = V₆ = 360,6 0,03 = 10,82 [m/s]

V₆ = (360,6 ± 10,82) [m/s]

7° = 2,8 %

ΔV₇ = V₇ = 356,16 0,028 = 9,97 [m/s]

V₇ = (356,15 ± 9,97) [m/s]

8° = 2,4 %

ΔV₈ = V₈ = 315,38 0,024 = 7,56 [m/s]

V₈ = (356,15 ± 7,56) [m/s]

9° = 2,0 %

ΔV₉ = V₉ = 347,39 0,02 = 6,94 [m/s]

V₉ = (347,39 ± 6,94) [m/s]

10° = 3,2 %

ΔV₁₀ = V₁₀ = 349,14 0,032 = 11,17 [m/s]

V₁₀ = (349,14 ± 11,17) [m/s]

Wnioski

Jak widać z ostatnich obliczeń na dokładność wykonywanego ćwiczenia zasadniczy wpływ ma pomiar odległości l i Δl. Wydaje nam się, że bardzo ważna jest częstotliwość: w metodzie pierwszej zmniejszanie częstotliwości powodowało to, że pomiary były mniej dokładne, w drugiej metodzie zachodziła sytuacja odwrotna.

Tylko niektóre z wykonanych pomiarów mieszczą się w granicy błędu, co świadczy o niedokładności wykonanego doświadczenia (było to spowodowane mało precyzyjnym odczytem na urządzeniach których używaliśmy).

---