06 niepewnosc calkowita, Prawo przenoszenia wariancji


Pomiary pośrednie obarczone niepewnościami przypadkowymi.

Niech zmienna z będzie funkcją p niezależnych zmiennych xi

0x01 graphic

Mierzymy zmienne xq, chcemy wyznaczyć wartość wielkości nie mierzonej z oraz jej odchylenie standardowe Sz . Niech 0x01 graphic
będzie średnią wartością wielkości xq, zaś 0x01 graphic
odchyleniem standardowym pojedynczego pomiaru wielkości xq:

0x01 graphic

Wartość średnią 0x01 graphic
wyznaczamy z równania

0x01 graphic
0x01 graphic

natomiast wariancję 0x01 graphic
z tzw. prawa przenoszenia wariancji

0x01 graphic

Odchylenie standardowe Sz oblicza się z tzw. prawa przenoszenia odchyleń standardowych

0x01 graphic
()

Odchylenie standardowe jest miarą niepewności pomiarowych poszczególnych wyników wchodzących w skład próby. Jaka jest niepewność pomiarowa końcowego wyniku pomiaru, czyli wartości średniej?

Niepewność pomiarowa wartości średniej

Zauważmy, że wartość średnią 0x01 graphic
można traktować formalnie jako wielkość mierzoną pośrednio, obliczaną ze wzoru

0x01 graphic

Wtedy odchylenie standardowe wartości średniej 0x01 graphic
można obliczyć korzystając z prawa przenoszenia odchyleń standardowych. W tym celu przyjmujemy, że

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

Podstawiając powyższe dwa wzory do prawa przenoszenia odchyleń standardowych otrzymamy

0x01 graphic
(∇)

Dla dużej próby otrzymamy zatem ostatecznie

0x01 graphic

zaś dla małej próby

0x01 graphic

Jak więc widać z powyższych wzorów odchylenie standardowe średniej 0x01 graphic
jest mniejsze od odchylenia standardowego Sx pojedynczego pomiaru (niepewność średniej jest mniejsza niż niepewność poszczególnego pomiaru). Ilustruje to poniższy rysunek, na którym wartości xi zaznaczone są punktami, długość odcinka ze środkowym punktem wynosi 2Sx, średnia arytmetyczna reprezentowana jest pionową linią, zaś długość krótszego boku zacieniowanego prostokąta wynosi 0x01 graphic
(oś pionowa wprowadzona została jedynie dla zwiększenia czytelności rysunku).

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
X

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

Dla bardzo małych prób wyniki pomiarów podlegają rozkładowi Studenta. Jaką niepewność przypisać uzyskanej z próby wartości średniej? Przyjmując interpretacje probabilistyczną odchylenia standardowego w rozkładzie normalnym (prawdopodobieństwo uzyskania wyniku spoza przedziału 0x01 graphic
wynosi 31.74%), znajdujemy taką wartość krytyczną w rozkładzie Studenta tn,α, dla której α=0.3174≈0.32. Wtedy dla bardzo małej próby

0x01 graphic

0x01 graphic

Wartości krytyczne tn,0.32 dla niektórych wartości n podane są w tabeli poniżej.

Liczebność próby n

Wartość krytyczna tn,0.3174

3

1.3210

4

1.1966

5

1.1414

6

1.1103

7

1.0903

8

1.0765

9

1.0663

10

1.0585

15

1.0368

Odchylenie standardowe wielkości mierzonej pośrednio otrzymamy podstawiając do wzoru () wariancję średniej 0x01 graphic
zamiast wariancji poszczególnych pomiarów 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(◊)

W przypadku gdy znamy tylko wariancje 0x01 graphic
oraz liczebności próby nq każdej zmiennej losowej, wzór końcowy na odchylenie standardowe 0x01 graphic
otrzymamy przez podstawienie wyrażenia (∇) do równania (◊), uzyskując

0x01 graphic

Niepewność całkowita pomiarów bezpośrednich

Zakładamy, że mierzona wielkość x obarczona jest zarówno R różnymi niepewnościami systematycznymi Δrx (r=1,2,...,R), jak i niepewnością przypadkową, opisaną odchyleniem standardowym średniej 0x01 graphic
.Niepewności systematyczne poszczególnych przyczynków Δrx zamieniamy na odpowiadające im odchylenia standardowe Sr za pomocą równania 0x01 graphic
, a niepewność całkowitą Sc obliczymy z prawa przenoszenia odchyleń standardowych

0x01 graphic

Niepewność całkowita pomiarów pośrednich

Niepewność całkowita (całkowite odchylenie standardowe 0x01 graphic
) , na którą składają się niepewności przypadkowe i systematyczne obliczymy korzystając ze wzoru (◊) i ze wzoru powyżej

0x01 graphic

Przykład: Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

  1. Pomiary długości wahadła [m]: {1.241; 1.243; 1.240; 1.243; 1.242}

wartość średnia 0x01 graphic
=1.2418, odchylenie standardowe średniej długości

0x01 graphic
=0.000583 0x01 graphic

Δl1 - niepewność systematyczna związana z dokładnością użytej miarki 0.001

Δl2 - niepewność systematyczna związana z przyłożeniem początku miarki 0.001

Δl3 - niepewność systematyczna związana z przyłożeniem końca miarki 0.001

Niepewność całkowita długości wahadła (odchylnie standardowe)

0x01 graphic

  1. Pomiary czasu k=30 wahnięć wahadła [s]: {66.1; 65.4; 66.0; 66.6; 65.5}

wartość średnia 0x01 graphic
, odchylenie standardowe średniego czasu

0x01 graphic
=0.2177 0x01 graphic

Δt1 - niepewność systematyczna związana z dokładnością użytego stopera: 0.1

Δt2 - niepewność systematyczna związana z włączeniem stopera: 0.2

Δt3 - niepewność systematyczna związana z wyłączeniem stopera: 0.2

Niepewność całkowita czasu 30-tu wahnięć (odchylenie standardowe)

0x01 graphic
=0.30289

  1. Obliczenie okresu wahnięć i jego odchylenia standardowego:

0x01 graphic

  1. Obliczenie przyśpieszenia ziemskiego i jego niepewności całkowitej

0x01 graphic

0x01 graphic

Rezultat końcowy zapiszemy w postaci

g=10.15±0.09 m/s2



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
A7 Metrologia prawo przenoszenia niepewnosci
Prawo 06.12.11 - prawo cywilne, Dziennikarstwo i komunikacja społeczna (KUL) I stopień, Rok 1, semes
Prawo przenoszenia błędów przypadkowych
S 5 Prawo przenoszenia błędów Macierz kowariancji
6 Niepewność całkowita
06.12.2008, Prawo
2015 06 28 ustawa Prawo budowlane D19940414Lj
06 89 625 PRAWO ENERGETYCZNE
zob9(06[1][1].12.2005), prawo cywilne, prawo cywilne część II, Zobowiązania
06 simmenthal, Europeistyka, Prawo Wspólnotowe, ORZECZENIA - fiszki
2015 06 28 USTAWA PRAWO BUDOWLANE tekst jednolity z uwidocznionymi zmianami
DGP 2014 06 24 firma i prawo
06.10.2010, prawo administracyjne wykłady(2)
Prawo budowlane, 05.06.2007 Wykład Prawo Budowlane
prawo cywilne 06.12.2008r, Prawo cywilne 06

więcej podobnych podstron