Metrologia:

prawo przenoszenia

niepewności

dr inż. Paweł Zalewski

Akademia Morska w Szczecinie

- 2 -

Terminologia:

„Niepewność” a „błąd” pomiaru:

W przypadku pojedynczych

pomiarów stosujemy określenia:

Błąd bezwzględny

:

(1)

Błąd względny

:

(2)

Gdzie x – wartość zmierzona, x

0

– wartość rzeczywista. Wielkości

określone wzorami (1) i (2) są pojedynczą realizacją zmiennej losowej
i nie

wchodzą do teorii niepewności.

W praktyce nie znamy

wartości

rzeczywistych

wielkości mierzonych i szacujemy niepewności pomiarowe

wynikające ze statystycznych praw rozrzutu pomiarów

. Istotny jest

również

problem

niepewności

przypisywanej

wielkości

złożonej

(wyliczanej ze wzoru fizycznego):

y = f(x

1

,x

2

,...x

n

)

0

x

x







0

x







- 3 -

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

Błędy obserwacji

powodują, że wszelkie

funkcje

tych

obserwacji

są

również obarczone błędami.
W przypadku funkcji liniowych ocena

niepewności funkcji obserwacji nie

jest skomplikowana.
Niepewność standardową (nazywaną też błędem średnim)

funkcji

nieliniowej

F = y = f(x

1

, x

2

, x

3

, ...), może być obliczona dla przybliżonej

postaci

tej

funkcji,

przy

założeniu, że daje się ona rozwinąć

w szereg Taylora.

Funkcja F(x

1

, x

2

, x

3

) w postaci szeregu Taylora w otoczeniu punktu

P (x

01

, x

02

, x

03

):













...

,

,

,

,

,

,

3

03

2

02

1

01

03

02

01

3

03

2

02

1

01

3

2

1































dx

x

F

dx

x

F

dx

x

F

x

x

x

F

dx

x

dx

x

dx

x

F

x

x

x

F

- 4 -

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

Utożsamiając zmiany dx

1

, dx

2

, dx

3

z

błędami:



x

,



y

,



z

:

Pomiędzy błędem funkcji F i błędami zmiennych X, Y, Z zachodzi związek:





3

2

1

0

3

2

1

3

2

1

,

,

dx

c

dx

b

dx

a

F

X

c

X

b

X

a

x

x

x

F

y































z

y

x

F

c

b

a















- 5 -

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

A

niepewność względna:

y

u

u

F

Fr

































































...

2

2

3

2

2

2

2

2

1

3

2

1

x

x

x

F

F

m

x

F

m

x

F

m

x

F

m

u





N

n

m

x

x

x

x

x

F

m

x

F

m

n

i

x

i

n

n

i

x

i

F

i

i



















































;

,...,

,

,

1

2

3

2

1

1

2

Wobec

czego

niepewność

standardowa

funkcji

będzie

sumą

geometryczną różniczek cząstkowych:

Przykład:

Obliczyć pole prostokątnej działki o bokach a, b; błąd średni oraz
względny pola.

Z pomiaru długości boków figury:
a = 300 m, m

a

=



0,10 m, b = 20 m, m

b

=



0,01m

Pole

: P = F(a,b) = a × b = 6000 m

2

= 60 a

Średni błąd funkcji P

:

a

b

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

2

2

2

2

b

a

P

m

b

P

m

a

P

m





































Pochodne cząstkowe:

P = 6000 m

2

± 4 m

2

Błąd względny pola figury:

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

a

b

P

b

a

P













,



 





 



2

2

2

2

2

m

6

,

3

01

,

0

300

1

,

0

20



















b

a

p

m

a

m

b

m

P

P

1600

1

m

6000

m

6

,

3

2

2



- 8 -

Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:

y = 0.9399x + 1.5859

R² = 0.9913

4

5

6

7

8

9

10

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8









min

2

2











n

i

i

i

b

ax

y

S

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:

Otrzymuje się układ równań liniowych dla niewiadomych a i b:

Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b:

Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:

0

,

0

2

2













b

S

a

S



















i

i

i

i

i

i

y

bn

x

a

y

x

x

b

x

a

2

W

y

x

x

y

x

b

W

y

x

y

x

n

a

i

i

i

i

i

i

i

i

i

   



 









2

Odchylenia standardowe obu

parametrów prostej:

Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:

 

2

2









i

i

x

x

n

W

n

x

a

u

b

u

W

S

n

n

a

u

i









2

2

)

(

)

(

2

)

(