DECYZJE W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI

A

KRYTERIA:

MAKSYMINOWE, MAKSYMAKSOWE, HURWICZA, WARTOŚCI ŚREDNIEJ

ZAŁOŻENIE: istnieje możliwość wyboru jednego spośród n wariantów przedsięwzięć.

Wyniki jakie przyniosą poszczególne warianty, zależą od tego, który z m różnych stanów natury wystąpi.

Niech więc z_ij (i=1, 2,...n), j = 1, 2, ...m) oznacza wynik, jaki przyniesie i-ty wariant w razie zaistnienia j - tego stanu nutury.

KRYTERIUM MAKSYMINOWE

Zgodnie z tym kryterium należy wybrać taki wariant działalności, który przy najmniej korzystnym stanie natury pozwala osiągnąć najlepszy wynik.

Kryterium to może być zapisane następująco:

Reguła ta każe wybrać wariant przedsięwzięcia W, który zapewnia wynik na poziomie z_ki.

Strategia maksyminowa bierze pod uwagę najmniej korzystne warunki realizacji przedsięwzięcia i jest strategią bardzo ostrożną, cechującą się pesymistyczną oceną warunków działalności.

KRYTERIUM MAKSYMAKSOWE

W tym przypadku należy podjąć decyzję o takim wariancie przedsięwzięcia, który przy założeniu najbardziej sprzyjających warunków pozwala osiągnąć najkorzystniejszy wynik. Zgodnie z tym kryterium wyboru wybiera się taki wariant W_k, dla którego:

Strategia maksymakowa jest postępowaniem bardzo ryzykanckim, gdyż założenie o najbardziej korzystnych warunkach działalności może okazać się nadmiernie optymistyczne.

KRYTERIUM HURWICZA

Kompromisowa względem dwóch poprzednich strategii (pesymistycznej i optymistycznej) jest reguła uwzględniająca oba stanowiska. Wprowadza się wtedy tzw. współczynnik ostrożności a będący liczbą z przedziału [0, 1]. Współczynnik ten określa w jakim stopniu podejmujący decyzję jest pesymistą. Liczba 1 - a wskazuje natomiast w jakim stopniu podejmujący decyzję jest optymistą. Dla każdego wariantu przedsięwzięcia oblicza się wartość:

Spośród możliwych wariantów przedsięwzięcia wybiera się wariant W_k, dla którego:

• jeżeli współczynnik a jest bliski jedności, to kryterium Hurwicza jest regułą bardziej asekurancką, przy czym przy a = 1 jest ono równoważne z kryterium maksyminowym;

• jeśli współczynnik a zbliża się do zera, kryterium Hurwicza jest regułą bardziej hazardową, przy czym przy a = 0 staje się ono kryterium maksymaksowym.

KRYTERIUM WARTOŚCI ŚREDNIEJ

Kryterium to zakłada przeciętne warunki działalności. Dlatego dla każdego wariantu przedsięwzięcia oblicza się średnią wyników, tj.:

Wybiera się natomiast taki wariant przedsięwzięcia W_k, dla którego wynik przeciętny:

Przy kryterium wartości średniej wszystkie rozpatrywane stany natury traktuje się równorzędnie. W tym przypadku można zatem mówić o neutralnym stanowisku w kwestii przyszłych stanów działalności.

PRZYKŁAD

Zamierzamy uruchomić jeden z czterech typów zakładów (usługi). Dla każdego typu zakładu oszacowano przy różnych, przewidywanych stanach popytu wyniki finansowe w trzech wariantach:

• pesymistycznym (S₁)

• przeciętnym (S₂)

• optymistycznym (S)

gdzie:

W - warianty przedsięwzięcia charakteryzowane wynikiem finansowym;

S - stany popytu (ocena stanu rynku);

Tabela 1. Macierz korzyści z eksploatacji różnych typów zakładów

WYBÓR INTUICYJNY

Typ zakładu	Stan popytu
	S1	S2	S3
W1	-20	15	50
W2	-10	25	40
W3	-5	10	20
W4	5	5	15

KRYTERIUM MAKSYMINOWE

Typ zakładu	Stan popytu
	S1	S2	S3
W1	-20	15	50
W2	-10	25	40
W3	-5	10	20
W4	5	5	15

KRYTERIUM MAKSYMAKSOWE

Typ zakładu	Stan popytu
	S1	S2	S3
W1	-20	15	50
W2	-10	25	40
W3	-5	10	20
W4	5	5	15

Stosując kryterium Hurwicza przyjmujemy współczynnik a = 0,3. Wyniki obliczeń zawiera tabela 2.

Tabela 2. Wybór zakładu na podstawie różnych kryteriów.

	minzij j	maxzij j	0,3minzij j	0,7maxzij j	zi	z*i
W1	-20	50	-6	35	29	15
W2	-10	40	-3	28	25	18,3
W3	-5	20	-1,5	14	12,5	8,3
W4	5	15	1,5	10,5	12	8,3

B

MINIMALIZACJA SKUTKÓW BŁĘDNYCH DECYZJI

(kryterium Savag'a)

Kryterium minimaksowych skutków błędnych decyzji jest regułą podejmowania decyzji w warunkach niepewności, przy jej zastosowaniu nie ocenia się jednak wyników podjętych decyzji, lecz skutki (straty) wynikające z niepodjęcia decyzji, która przy danym stanie natury byłaby najlepsza.

W celu dokonania wyboru wariantu działalności buduje się macierz względnych strat:

u_ij (i = 1, 2, ...,n; j = 1, 2, ...,m)

będących różnicami między maksymalnym do osiągnięcia wynikiem a wynikiem uzyskanym w razie podjęcia decyzji o wyborze wariantu W_i w warunkach S_j:

u_ij = max {z_rj} - z_ij

r

Następnie każdemu wariantowi przedsięwzięcia przyporządkowuje się maksymalną względną stratę, jaką można ponieść wybierając ten wariant:

u_i = max{u_ij}

j

Reguła Savag'a każe podjąć decyzję o takim wariancie przedsięwzięcia W_k , który zapewnia najmniejszą z maksymalnych strat:

u_k = min {u_i}

i

Istota zasady Savag'a sprowadza się więc do tego, aby uniknąć zbyt wysokich strat spowodowanych podejmowaniem nietrafnych decyzji.

Tabela 1. Macierz korzyści z eksploatacji różnych typów zakładów (wybór intuicyjny)

Typ zakładu	Stan popytu
	S1	S2	S3
W1	-20	15	50
W2	-10	25	40
W3	-5	10	20
W4	5	5	15

Tabela 2. Macierz minimaksowych skutków błędnych decyzji

Typ zakładu	Stan popytu
	S1	S2	S3	max{uij} j
W1	25	10	0	25
W2	15	0	10	15
W3	0	15	30	30
W4	5	20	35	35

Objaśnienie:

max {z_r1} = 5

r

max {z_r2} = 25

r

max {z_r3} = 50

r

C

RYZYKO A STOPIEŃ DOCHODU

Założenia upraszczające:

CYKL KONIUNKTURALNY

r

t

ożywienie ekspansja kryzys

PRAWDOPODOBIEŃSTWO: 0,2 0,6 0,2

czyli:

Faza cyklu	Prawdopodobieństwo (p)	Stopa dochodu (k)
			A	B
OŻYWIENIE	0,2	50 %	30 %
EKSPANSJA	0,6	10 %	10 %
KRYZYS	0,2	-30 %	-10 %

Spodziewana stopa dochodu może być określona wzorem:

gdzie:

k* - spodziewana stopa dochodu

p_i - prawdopodobieństwo osiągnięcia dochodu k_i

Po obliczeniach otrzymujemy:

k*_A = 10 %

k*_B = 10 %

ALGEBRAICZNE UJĘCIE WIELKOŚCI RYZYKA:

WZORY POMOCNICZE:

gdzie:

s² = wariancja;

n = liczebność próby (n=1, 2,......);

x_i = realizacja zmiennej losowej (i=1, 2, ..., n);

x* = średnia arytmetyczne

s = odchylenie standardowe

po adaptacji:

OBLICZENIA:

A
ki	k*	(ki - k*)^2	pi	(ki - k*)^2x pi
0,5	0,1	0,16	0,2	0,032
0,1	0,1	0,00	0,6	0,000
-0,3	0,1	0,16	0,2	0,032
wariancja				0,064
B
0,3	0,1	0,04	0,2	0,080
0,1	0,1	0,00	0,6	0,000
-0,1	0,1	0,04	0,2	0,080
wariancja				0,160

konkluzja:

przedsięwzięcie B jest bardziej ryzykowne, ponieważ iloczyn wariancji i odchylenia standardowego jest wyższy niż w przypadku przedsięwzięcia A.

1

8

---