DEFINICJA SZEREGU CZASOWEGO
(materiał zaawansowany)
Definicja:
Szeregiem czasowym nazywamy zbiór wartości cechy w uporządkowanych chronologicznie różnych momentach (przedziałach) czasu.
Oznaczając przez
momenty (przedziały) czasu, w których obserwowano wartości pewnej zmiennej, a przez
wyniki obserwacji, szereg czasowy zapisujemy jako zbiór
1}
SKŁADNIKI SZEREGU CZASOWEGO
tendencja rozwojowa (trend) - ogólny kierunek zmian zjawiska w czasie będący wynikiem systematycznych, jednokierunkowych zmian (spadek lub wzrost) poziomu badanego zjawiska
wahania okresowe - rytmiczne wahania poziomu badanego zjawiska o określonym cyklu (okresie przebiegu)
wahania koniunkturalne - systemowe wahania poziomu badanego zjawiska obserwowane w dłuższych od roku okresach
wahania przypadkowe - nieregularne, nieprzewidywalne zarówno co do kierunku jak i siły zmiany poziomu badanego zjawiska
WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO
A. TREND
A.1. METODY WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO - ŚREDNIE RUCHOME
średnie ruchome zwykłe - oblicza się z nieparzystej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu, tak aby uzyskany wynik móc przyporządkować całkowitej wartości t znajdującej się w środku uwzględnionego w obliczeniach przedziału czasowego:
gdzie:
- liczba wyrazów szeregu uwzględnianych przy obliczaniu średniej ruchomej, przy czym q jest ustalony liczbą naturalną
Przykład:
(średnia trzyokresowa)
średnie ruchome scentrowane - oblicza się z parzystej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu, uwzględniając połowę wartości pierwszego wyrazu z danego cyklu wahań, następnie wszystkie pozostałe wyrazy składające się na pełny cykl wahań oraz połowy wartości pierwszego wyrazu z następnego cyklu wahań:
gdzie:
, przy czym d jest liczbą podokresów w cyklu wahań
Przykład:
(średnia przy czterookresowym cyklu wahań)
A.2. METODY ANALITYCZNE - MNK
Zakładając, że do opisu tendencji rozwojowej (trendu) stosujemy funkcję liniową
dobieramy tak wartości współczynników równania linii prostej, aby jej wykres możliwie dobrze "pasował" do punktów reprezentujących na wykresie poszczególne obserwacje z próby:
Lata i pory roku
|
|
|
|
|
|
1993 zima wiosna lato jesień |
0 1 2 3 |
53 41 24 57 |
45,80 50,38 |
0,524 1,131 |
44,5 39,8 35,8 51,4 |
1994 zima wiosna lato jesień |
4 5 6 7 |
70 60 41 77 |
54,88 59,50 63,38 66,00 |
1,276 1,008 0,647 1,167 |
58,8 58,3 61,2 69,4 |
1995 zima wiosna lato jesień |
8 9 10 11 |
81 70 50 87 |
68,38 70,75 73,63 77,25 |
1,185 0,989 0,679 1,126 |
68,1 68,0 74,6 79,1 |
1996 zima wiosna lato jesień |
12 13 14 15 |
94 86 64 99 |
81,00 84,25 87,63 91,38 |
1,160 1,021 0,730 1,083 |
79,0 83,5 95,5 90,0 |
1997 zima wiosna lato jesień |
16 17 18 19 |
109 101 77 110 |
94,88 97,88 101,00 105,13 |
1,149 1,032 0,762 1,046 |
91,6 98,1 114,9 100,0 |
1998 zima wiosna lato jesień |
20 21 22 23 |
123 120 95 126 |
109,75 114,00
|
1,121 1,053
|
103,4 116,4 141,8 113,5 |
|
276 |
1915 |
|
|
|
Lata i pory roku
|
|
|
|
|
|
|
1993 zima wiosna lato jesień |
0 1 2 3 |
53 41 24 57 |
0 41 48 171 |
0 1 4 9 |
45,80 50,38 |
41,097 44,461 47,826 51,191 |
1994 zima wiosna lato jesień |
4 5 6 7 |
70 60 41 77 |
280 300 246 539 |
16 25 36 49 |
54,88 59,50 63,38 66,00 |
54,556 57,920 61,285 64,650 |
1995 zima wiosna lato jesień |
8 9 10 11 |
81 70 50 87 |
648 630 500 957 |
64 81 100 121 |
68,38 70,75 73,63 77,25 |
68,015 71,380 74,744 78,109 |
1996 zima wiosna lato jesień |
12 13 14 15 |
94 86 64 99 |
1128 1118 896 1485 |
144 169 196 225 |
81,00 84,25 87,63 91,38 |
81,474 84,839 88,204 91,568 |
1997 zima wiosna lato jesień |
16 17 18 19 |
109 101 77 110 |
1744 1717 1386 2090 |
256 289 324 361 |
94,88 97,88 101,00 105,13 |
94,933 98,298 101,663 105,027 |
1998 zima wiosna lato jesień |
20 21 22 23 |
123 120 95 126 |
2460 2520 2090 2898 |
400 441 484 529 |
109,75 114,00
|
108,392 111,757 115,122 118,487 |
|
276 |
1915 |
25892 |
4324 |
|
1915,006
|
Przykład:
ANALIZA WAHAŃ OKRESOWYCH
WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA SZEREGU CZASOWEGO BEZ TRENDU
10 Wprowadzamy oznaczenia:
oznaczamy n-elementowy szereg czasowy z wahaniami okresowymi przez
, gdzie:
t - bieżący numer obserwacji,
i - numer podokresu w cyklu.
oznaczamy zbiór numerów obserwacji, które dotyczą i-tego podokresu cyklu, przez:
oznaczamy przez ni liczebność zbioru Ni
20 obliczamy średnią wartość badanej zmiennej w i-tym podokresie cyklu:
30 Obliczamy średnią z całego szeregu czasowego:
40 Obliczamy wartość wskaźnika wahań okresowych:
Wartość wyrażenia
mówi, o ile procent wartości zjawiska obserwowane w i-tym podokresie cyklu są, na skutek wahań okresowych, przeciętnie wyższe (znak +) lub niższe (znak -) od średniego zjawiska określonego przez trend.
50 Wartość wskaźnika wahań okresowych nakładających się na trend w sposób addytywny:
WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA SZEREGU CZASOWEGO Z TRENDEM
B.1. WAHANIA OKRESOWE MULTIPLIKATYWNE
gdzie:
- surowy wskaźnik wahań okresowych,
przy czym:
- średnie ruchome (scentrowane)
Ni - zbiór numerów obserwacji, które dotyczą i-tego podokresu cyklu
- wskaźnik korygujący
i jednocześnie
B.2. WAHANIA OKRESOWE ADDYTYWNE
10 Wahania okresowe w jednostkach absolutnych
20 Skorygowane wahania okresowe (suma odchyleń okresowych w obrębie cyklu wahań równa zeru)
A.B. ELIMINACJA WAHAŃ SEZONOWYCH Z SZEREGU CZASOWEGO
10 Wahania okresowe multiplikatywne
20 Wahania okresowe addytywne
Przykład:
zima 5,891
wiosna 5,103
lato 3,342
jesień 5,553
C. FUNKCJE OKRESOWOŚCI
przy czym:
Wartość funkcji okresowości
mówi, o ile jednostek wartości zjawiska obserwowane w i-tym podokresie cyklu są na skutek wahań okresowych, przeciętnie wyższe (znak +) lub niższe (znak -) od średniego poziomu zjawiska określonego przez trend.
PROGNOZOWANIE ZJAWISK
Zjawiska z multiplikatywnymi wahaniami sezonowymi:
,
gdzie
jest wartością oszacowanej funkcji trendu dla t=T.
Zjawiska z addytywnymi wahaniami sezonowymi:
.
9