Prawo przenoszenia błędów

Charakterystyką dokładności instrumentów pomiarowych jest błąd średni pomiaru. Wykonywane pomiary bezpośrednie w terenie pośredniczą zwykle w wyznaczaniu pewnych wielkości nie poddających się wprost pomiarowi, na przykład pole powierzchni działki jest wyznaczane na podstawie pomiaru długości boków działki. Błędy średnie pomiarów pośrednich, np. pola powierzchni działki, są obliczane na podstawie prawa przenoszenia błędów przypadkowych.

Błąd funkcji obserwacji - uogólnione prawo przenoszenia błędów

Błąd funkcji
obserwacji (bezpośrednich lub pośrednich)
,
obliczamy korzystając z zależności

gdzie:

- błąd średni - wariancja obserwacji x

- błąd średni - wariancja obserwacji y

- kowariancja (miara zależności) między x i y.

W zapisie macierzowym

.

Podobnie, z definicji
oblicza się kowariancję błędu funkcji
i

.

W przypadku pomiarów niezależnych tj. dla zerowej kowariancji
otrzymujemy:

,

.

Przykład. Metoda biegunowa (pomiary bezpośrednie)

Metoda biegunowa jest podstawowym sposobem pomiaru szczegółów terenowych, jak również tyczenia w terenie projektowanych obiektów budowlanych. Współrzędne punktu są wyznaczane na podstawie pomiaru kierunku
i odległości
z błędami średnimi
,
, wykonanego za pomocą tachimetru ustawionego na punkcie osnowy geodezyjnej A w nawiązaniu do punktu osnowy B.

Pomiar długości d i kąta
uważamy za niezależne tj.

Jeśli
, wówczas

.

Uogólnienie prawa dla zbioru funkcji

W przypadku gdy chcemy wyznaczyć macierz kowariancji
błędu funkcji
i
pomiarów x i y możemy wykorzystać zależność:

.

Jeśli wprowadzimy oznaczenia:

,

tj. gradienty funkcji f i g wówczas macierz kowariancji błędu
funkcji f i g można zapisać również następująco

.

Przykład

Rozpatrujemy przypadek wyznaczenia metodą biegunową współrzędnych
punktu P, zakładamy, że współrzędne punktu A są dokładne (zerowe błędy średnie
):

- macierz kowariancji błędu funkcji f i g (f i g - są funkcjami zależnymi).

Przykład - prawo przenoszenia błędu dla pomiarów pośrednich i bezpośrednich

Wyznaczmy metodą biegunową współrzędne punktu
w przypadku, gdy wcześniej tą metodą określono współrzędne punktu
. Oznacza to (patrz powyżej), że pomiary
,
są zależne tj. ich dokładność określa macierz kowariancji
.

Jeśli obserwacje
i
są zależne a
niezależne tj. dane są błędy średnie
,
,
,
i kowariancja
wówczas błąd funkcji tych obserwacji
:

można zapisać w postaci:

.

Elementy zerowe w macierzy C - kowariancji błędów pomiarów
,
,
oznaczają brak zależności między zmiennymi
;
;
;
;
. Natomiast niezerowość kowariancji
pomiarów pośrednich
,
oznacza, że zmienne te są zależne. Trzeba zwrócić uwagę na kolejność zapisu współczynników macierzy C. Na przekątnej C występują błędy średnie pomiarów zgodnie z kolejnością różniczkowania względem
,
,
funkcji
.

Przykład

Metodą biegunową wyznaczono współrzędne
punktu B i niezależnie (wcześniej) tą samą metodą współrzędne
punktu A (współrzędne punktu R uważamy za dokładne). Oznacza to, że
,
są zależne - ich dokładność określa macierz kowariancji
. Jednocześnie pomiary
,
są też zależne - ich dokładność określa macierz kowariancji
.

( Wielkości
,
i
,
są niezależne). Wyznaczyć błąd średni odległości
między punktami A i B.

.

Zależność między funkcjami f, g wyraża się często za pomocą macierzy współczynników korelacji:

obliczonych z definicji:
,
.

W szczególności, przy założeniu jednakowych odchyleń standardowych funkcji
macierz kowariancji
przyjmuje postać:

Macierz kowariancji błędu funkcji f, g można rozpatrywać jako macierz kowariancji wektorowej funkcji
obserwacji wielowymiarowej
(tutaj dwuwymiarowej). Z definicji

,

traktując odchyłkę
jak różniczkę zupełną funkcji:

gdzie jakobian

jest gradientem funkcji F(x), otrzymuje się;

Podobnie jest obliczana macierz kowariancji błędu
funkcji wektorowych F(x) i G(x)

Gdzie
, są gradientami funkcji F(x) i G(x).

Stąd, w przypadku funkcji liniowych

;

wektora obserwacji x o macierzy kowariancji

,
,

Powyższe zależności są wykorzystywane do wyznaczania błędów średnich pomiarów po wyrównaniu.

.

Na podstawie, Geodezji Edwarda Osady

3

y

x

d

φ

B

y

x

d

φ

P

B

A

φ₂

d₂

R

y

x

d₁

φ₁

S

---