Metoda potencjałów węzłowych  

Obwód na rysunku:

• SPOSÓB POSTĘPOWANIA:

1. Metoda potencjałów węzłowych nie jest możliwa do rozwiązania gdy w gałęzi jest TYLKO idealne źródło napięcia (jak to jest w przypadku E1).

UWAGA! Wszystkie liczby podawane tutaj są wartościami zespolonymi.

Korzystamy więc z twierdzenia o włączeniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia:

(przykład):

2. Eliminujemy sprzężenia magnetyczne wg. zasady:

(sprzężenie dodatnie) (sprzężenie ujemne)

W naszym wypadku sprzężenie jest dodatnie (gwiazdki się spotykają przy węźle)

3. Rysujemy nowy obwód:

Po uwzględnieniu tych wszystkich warunków rysujemy nowy obwód gdzie prądy gałęziowe w których występują źródła prądu lub napięcia płyną zgodnie ze strzałką tego źródła (np. IL4), w pozostałych gałęziach (bez źródeł) przyjmujemy dowolnie.

Zaznaczamy również nowe węzły, uziemiamy jeden z nich (poziom odniesienia dla obliczeń).

Obliczmy może jeszcze nowe wartości:

L8'=L8(poprzednie) - M

L9'=L9(poprzednie) - M

Lm=M

Nowy obwód po modyfikacjach:

4. Obliczamy admitancje WŁASNE węzłów (oznaczonych na zielono):

Przykładowo admitancja węzła V1 oznaczana jako Y11 jest sumą admitancji gałęzi wchodzących do tego węzła a więc:

UWAGA! Jeżeli do węzła wchodzi gałąź w której znajduje się źródło prądu to nie bierzemy go pod

uwagę w obliczaniu admitancji.

- przykładowo dla węzła V4:

a więc bez R11 i C11

Podobnie jest dla węzła V5. Pozostałe węzły a więc V2 (Y22) i V3 (Y33) obliczamy tak jak to było zaprezentowane w pierwszym przykładzie.

5. Obliczamy admitancje WZAJEMNE (między węzłami):

Wytłumaczmy na przykładzie:

Y12 - jest to admitancja gałęzi będącej między węzłem V1 a V2 a więc:

Wyznaczamy wszystkie kombinacje admitancji wzajemnych a więc Y13, Y14, Y15, Y23, Y24 ...itd.

Logiczne przy tym jest, że np. Y23=Y32.

UWAGA! Jeżeli jeden węzeł nie ma bezpośredniego kontaktu z drugim węzłem (za pomocą jednej gałęzi) to zapisujemy, że admitancja wzajemna tych węzłów jest równa zero a więc:

Y13=Y31=0, Y15=Y51=0, Y24=Y42=0, Y15=Y51=0, Y25=Y52=0

Y12

Y21


itd. aż do Y54

6. Obliczamy sumę prądów wymuszenia J:

Prąd wymuszenia pochodzi z gałęzi w której znajduje się źródło prądu lub napięcia. Można wtedy powiedzieć, że dana gałąź jest źródłem prądu wpływającego/wypływającego do/z węzła. Jeżeli taki prąd wpływa - bierzemy go z „+”, jeżeli wypływa - bierzemy z „-„.

(UWAGA: nie jest to prąd rzeczywisty płynący w tej gałęzi a tylko umowny prąd używany do obliczeń)

Do wyliczenia tego prądu bierzemy tylko źródło prądu (lub napięcia) oraz elementy występujące w danej gałęzi.

Przykładowo:

dla J1 - prądu wymuszenia w węźle V1:

dla J2

Jwym5=0 bo w danej gałęzi nie ma źródeł.

UWAGA! Jeżeli prąd wymuszenia w jakiejś gałęzi pochodzi ze źródła prądowego to dzielenie napięcia przez impedancję gałęzi nie jest potrzebne, bo od razu wiemy, że prąd wymuszenia danej gałęzi równa się prądowi źródła prądowego.

Obliczamy pozostałe sumy prądów wymuszeń:

7. Tym sposobem wyznaczyliśmy macierzowy układ równań:

Przyjmujemy w macierzy, że admitancje własne są na „+” natomiast admitancje wzajemne są na „-„.

Wartości poszukiwane V1...V5 - są to potencjały w poszczególnych węzłach.

a więc

którą możemy rozpisać wymnażając macierze:

Obliczając potencjały V1...V5 możemy obliczyć różnicę potencjałów w danej gałęzi a co za tym i prądy płynące w niej. Wtedy obwód można uznać za obliczony bo z łatwością mając prądy płynące w gałęziach można łatwo obliczyć spadki napięć na każdym elemencie obwodu.

8. Metody rozwiązywania równania macierzowego:

Dla prostych obwodów (o małej ilości węzłów) można się pokusić o rozwiązanie metodą tradycyjną (w naszym przypadku układ 5 równań z 5 niewiadomymi którymi są V) - równanie zamieszczone powyżej.

Przy tej ilości niewiadomych jaki mamy w tym zadaniu jesteśmy zmuszeni skorzystać z rachunku macierzowego, którego rozwiązaniem jest:

stąd wyznaczamy niewiadomą V:

gdzie
oznacza macierz odwrotną. (sposobu jej wyznaczenia nie będę tutaj omawiał - jednakże polega na przekształceniu macierzy Y)

Zalecam użycie programu specjalizującego się w liczeniu macierzy (np. Matlab) który pozwoli bardzo szybko policzyć nam taki obwód. (przykład w zamieszczonym pliku)

9. Obliczanie prądów gałęziowych (rzeczywistych płynących w gałęziach):

Załóżmy, że potencjały zostały obliczone (wyliczenia są dostępne po uruchomieniu pliku do Matlab'a).

Obliczenie zostanie zaprezentowane na przykładzie prądu I6:

a więc różnica potencjałów V2 (z którego wypływa prąd) i potencjału V3 (do którego prąd wpływa) powiększone o E6 (bo jest zgodnie z kierunkiem prądu).

itd...

a żeby obliczyć napięcie na jakimkolwiek elemencie wiadomo, że z prawa Ohma:

10. Obliczenie napięcia na sprzężonych cewkach:

O ile obliczenie napięcia na każdym elemencie jest proste (bo wynika ze wzoru U=Z*I) to napięcie na 2-ch sprzężonych cewkach nie poddaje się tej regule. Wiadomo że nie wyznaczamy napięcia na wirtualnym elemencie Lm wstawionego do obwodu tylko po to aby umożliwić sobie obliczenie prądów. Teraz musimy obliczyć rzeczywiste napięcia na cewkach sprzężonych.

W naszym przypadku sprzężenie jest dodatnie oraz oba prądy tych cewek wypływają z węzła (mają ten sam kierunek względem węzła). W takim przypadku napięcia na tych elementach wynoszą:

W celach sprawdzenia zamieszczam obliczenia dla tego obwodu dla przykładowych danych (rysunek 2 - po uproszczeniach):

E1=100exp(j0)

E4=200exp(j0)

E6=150exp(j0)

R2=15; R3=20; R5=5; R6=50; R7=20; R8=15; R10=20; R11=20; % w Ohmach

L2=0.01; L3=0.05; L4=0.004; L8=0.001; L9=0.006; M=0.05; % w Henrach

C5=0.000001; C7=0.000004; C11=0.00006; % w Faradach

Omega=314 (w=2*pi*f)

Obliczone wartości potencjałów:

V1= (200+0.045j)V

V2=(101,6-3,57j)V

V3=(252,7-13,19j)V

V4=(344,9-24,18j)VV5=(212,75+337j)V

V5=(212,75+33,7j)V

W załączniku jest dostępny plik do programu Matlab gdzie jest przeprowadzone całe powyższe obliczenie (wraz z wartościami i opisami).

Jeżeli nie posiadamy programu to zachęcam do otwarcia pliku w notatniku i przyjrzeniu się sposobowi obliczeń.

---