Metoda potencjałów węzłowych 

 

 

Metoda potencjałów węzłowych służy do obliczania rozpływu prądów w 

poszczególnych gałęziach obwodu. 
 
Kolejność postępowania: 

1. Strzałkujemy dowolnie prądy w gałęziach i numerujemy je, 
2. Strzałkujemy napięcia (przeciwnie do prądu) na wszystkich elementach 

rezystancyjnych obwodu, 

3. Oznaczamy węzły, przyjmując potencjał jednego dowolnego węzła równy 0 

(uziemiamy go), 

4. Układamy równania węzłowe dla wszystkich węzłów oprócz węzła 

uziemionego, 

5. Obliczamy wartości potencjałów w poszczególnych węzłach, 
6. Obliczamy napięcia pomiędzy poszczególnymi sąsiadującymi węzłami, 
7. Prądy gałęziowe obliczamy z praw Ohma i Kirchoffa. 

 
Układamy tyle równań ile jest węzłów, z tym, że dla węzła uziemionego równanie 
wygląda tak: 

]

[

0 V

V

=

. Należy uważać na węzły na schemacie które można 

sprowadzić do jednego węzła, tak jak węzły a i c w poniższym przykładzie: 
 
Przykład 
 
Oblicz rozpływ prądów w danym obwodzie: 
 

 

 

 

 

 

Dane: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

]

[

1

]

[

2

]

[

4

]

[

1

]

[

8

]

[

10

5

4

3

2

1

5

1

Ω

=

=

Ω

=

Ω

=

=

=

=

=

R

R

R

R

R

V

E

V

E

V

E

 

 
 
 
 

 
  
 
 

 
 
 
Ad. 1,2,3: Strzałkujemy prądy i napięcia, oznaczamy węzły.  
 

      

 

Uziemiany jeden węzeł – w naszym przypadku: b. 
 
Ad. 4: Układamy równania węzłowe: 
 
W naszym przykładzie mamy 3 węzły zatem należy ułożyć 3 równania. 
 
Wybieramy węzeł którego potencjał chcemy obliczyć, np.: 

a

. 

Mnożymy szukany potencjał węzła przez sumę konduktancji znajdujących się 
pomiędzy tym węzłem a węzłami sąsiadującymi. (konduktancja – odwrotność 

rezystancji 

R

G

1

=

 ) 

)

1

1

1

1

1

(

5

4

3

2

1

R

R

R

R

R

V

a

+

+

+

+

 

 
Uwaga! Nie uwzględnia się konduktancji na gałęzi ze źródłem prądowym 
 
następnie odejmujemy od tego iloczyny potencjałów węzłów sąsiadujących i 
konduktancji które znajdują się bezpośrednio między węzłami: 
 

)

1

1

1

(

)

1

1

1

1

1

(

3

2

1

5

4

3

2

1

R

R

R

V

R

R

R

R

R

V

c

a

+

+

−

+

+

+

+

 

 
 
 

Po prawej stronie równania wpisujemy wyrażenia opisujące źródła prądowe i 
napięciowe, wpływające lub wypływające z węzła wg następujących zasad: 
 
Wielkości z prawej strony równania mają mieć jednostki w Amperach [A]. 
 

Gałąź 

Prawa strona równania 

 

Na gałęzi mamy źródło napięcia  

oraz rezystancję 

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ =

Ω

A

V

R

E

   

 

Na gałęzi znajduje się źródło napięcia 

ale nie ma rezystancji, dlatego 

wpisujemy: 

0 

 

 

 

          Obwód ten  
jest równoważny  
          obwodowi: 
 

Zatem sytuacja jest analogiczna  

do powyższej, więc wpisujemy: 

0  

 

Na gałęzi znajduje się źródło prądowe o 

znanej wartości, zatem wpisujemy: 

J

 

 

 

 

 

          Obwód ten  
jest równoważny  
          obwodowi: 
 

Sytuacja jest analogiczna do powyższej, 

więc wpisujemy: 

J

 

 

 

Prąd na gałęzi jest taki jakie jest źródło 

prądowe, więc wpisujemy: 

J

 

 

 
Jeśli źródło jest skierowane w stronę węzła wpisujemy ze znakiem dodatnim,  
jeśli w drugą stronę wpisujemy z minusem.  
 

 

 

Przykładowo, dla dowolnego węzła k (z powyższego rysunku), równanie będzie 
wyglądało następująco: 
 
Gałąź 1: Mamy samo źródło napięciowe. nie zapisujemy nic ani z lewej ani prawej 

strony równania, za to znamy potencjał węzła 

1

V

 i wynosi: 

1

1

E

V

V

k

+

=

 

Gałąź 2: Z lewej strony równania nie uwzględniamy konduktancji 

2

1

R , z prawej 

strony wpisujemy 

2

J

−

 

Gałąź 3: Z lewej strony nic nie wpisujemy, z prawej wpisujemy 

3

J

 

Gałąź 4: Z lewej strony w nawiasie wpisujemy

4

1

R , z prawej strony

4

4

R

E

 

Gałąź 5: Nie uwzględniamy konduktancji na tej gałęzi, z prawej wpisujemy 

5

J

−

 

Gałąź 6: Z lewej strony dodajemy w nawiasie 

6

1

R

 

Gałąź 7: Sytuacja podobna jak w gałęzi 1. 

Gotowe równanie: 

5

4

4

3

2

7

7

6

6

4

4

7

6

4

1

1

1

)

1

1

1

(

J

R

E

J

J

R

V

R

V

R

V

R

R

R

V

k

−

+

+

−

=

−

−

−

+

+

 

Równania w naszym przykładzie wyglądają następująco: 
 
Dla węzła a: 

5

5

1

1

3

2

1

5

4

3

2

1

)

1

1

1

(

)

1

1

1

1

1

(

R

E

R

E

R

R

R

V

R

R

R

R

R

V

c

a

+

−

=

+

+

−

+

+

+

+

 

 
Potencjał węzła 

b

jest znany, bo jest uziemiony, zatem: 

]

[

0 V

V

b

=

 

 
Potencjał węzła 

c

wynosi: 

E

V

V

b

c

+

=

 

 
Ad. 5: Na podstawie powyższych równań obliczamy wartości potencjałów 
poszczególnych węzłów: 

1

1

4

8

)

2

1

4

1

4

1

(

10

)

1

1

1

1

2

1

4

1

4

1

(

+

−

=

+

+

⋅

−

+

+

+

+

a

V

 

1

1

10

3

−

=

⋅

−

⋅

a

V

 

 

]

[

3 V

V

a

=

 

]

[

0 V

V

b

=

 

]

[

10

10

0

V

E

V

V

b

c

=

+

=

+

=

 

 
Ad. 6: Obliczamy napięcia między poszczególnymi węzłami: 
 

 

 
 
 

]

[

10

0

10

]

[

7

3

10

]

[

3

0

3

V

V

V

U

V

V

V

U

V

V

V

U

b

c

cb

a

c

ca

b

a

ab

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

Ad. 7: Prądy gałęziowe obliczamy z praw Ohma i Kirchoffa: 
 
 

:

1

I

    

 

 

 

 

 

]

[

25

,

0

0

1

1

1

1

1

1

A

R

U

E

I

E

I

R

U

ca

ca

=

−

=

=

−

+

 

 
 
 

:

2

I

 

 

 

 

 

 

 

 

]

[

75

,

1

4

7

0

2

2

2

2

A

R

U

I

U

R

I

ca

ca

−

=

−

=

=

=

+

 

 
Jeśli prąd wychodzi ujemny, oznacza to, że płynie w przeciwną stronę niż 
oznaczyliśmy. 
 
 
 

:

3

I

 

 

 

 

 

 

 

]

[

5

,

3

2

7

0

3

3

3

3

A

R

U

I

U

R

I

ca

ca

=

=

=

=

−

 

 
 

:

4

I

 

 

 

 

 

 

 

]

[

3

1

3

4

4

A

R

U

I

ab

=

=

=

 

 
 
 
 

:

5

I

 

 

 

 

 

 

 

]

[

2

1

3

1

0

5

5

5

5

5

5

A

R

U

E

I

R

I

E

U

ab

ab

−

=

−

=

−

=

=

+

−

 

 

 

 

 

 

 

 

(prąd przeciwnie oznaczony)