Metoda potencjałów węzłowych
Metoda potencjałów węzłowych służy do obliczania rozpływu prądów w
poszczególnych gałęziach obwodu.
Kolejność postępowania:
1. Strzałkujemy dowolnie prądy w gałęziach i numerujemy je,
2. Strzałkujemy napięcia (przeciwnie do prądu) na wszystkich elementach
rezystancyjnych obwodu,
3. Oznaczamy węzły, przyjmując potencjał jednego dowolnego węzła równy 0
(uziemiamy go),
4. Układamy równania węzłowe dla wszystkich węzłów oprócz węzła
uziemionego,
5. Obliczamy wartości potencjałów w poszczególnych węzłach,
6. Obliczamy napięcia pomiędzy poszczególnymi sąsiadującymi węzłami,
7. Prądy gałęziowe obliczamy z praw Ohma i Kirchoffa.
Układamy tyle równań ile jest węzłów, z tym, że dla węzła uziemionego równanie
wygląda tak:
]
[
0 V
V
=
. Należy uważać na węzły na schemacie które można
sprowadzić do jednego węzła, tak jak węzły a i c w poniższym przykładzie:
Przykład
Oblicz rozpływ prądów w danym obwodzie:
Dane:
]
[
1
]
[
2
]
[
4
]
[
1
]
[
8
]
[
10
5
4
3
2
1
5
1
Ω
=
=
Ω
=
Ω
=
=
=
=
=
R
R
R
R
R
V
E
V
E
V
E
Ad. 1,2,3: Strzałkujemy prądy i napięcia, oznaczamy węzły.
Uziemiany jeden węzeł – w naszym przypadku: b.
Ad. 4: Układamy równania węzłowe:
W naszym przykładzie mamy 3 węzły zatem należy ułożyć 3 równania.
Wybieramy węzeł którego potencjał chcemy obliczyć, np.:
a
.
Mnożymy szukany potencjał węzła przez sumę konduktancji znajdujących się
pomiędzy tym węzłem a węzłami sąsiadującymi. (konduktancja – odwrotność
rezystancji
R
G
1
=
)
)
1
1
1
1
1
(
5
4
3
2
1
R
R
R
R
R
V
a
+
+
+
+
Uwaga! Nie uwzględnia się konduktancji na gałęzi ze źródłem prądowym
następnie odejmujemy od tego iloczyny potencjałów węzłów sąsiadujących i
konduktancji które znajdują się bezpośrednio między węzłami:
)
1
1
1
(
)
1
1
1
1
1
(
3
2
1
5
4
3
2
1
R
R
R
V
R
R
R
R
R
V
c
a
+
+
−
+
+
+
+
Po prawej stronie równania wpisujemy wyrażenia opisujące źródła prądowe i
napięciowe, wpływające lub wypływające z węzła wg następujących zasad:
Wielkości z prawej strony równania mają mieć jednostki w Amperach [A].
Gałąź
Prawa strona równania
Na gałęzi mamy źródło napięcia
oraz rezystancję
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ =
Ω
A
V
R
E
Na gałęzi znajduje się źródło napięcia
ale nie ma rezystancji, dlatego
wpisujemy:
0
Obwód ten
jest równoważny
obwodowi:
Zatem sytuacja jest analogiczna
do powyższej, więc wpisujemy:
0
Na gałęzi znajduje się źródło prądowe o
znanej wartości, zatem wpisujemy:
J
Obwód ten
jest równoważny
obwodowi:
Sytuacja jest analogiczna do powyższej,
więc wpisujemy:
J
Prąd na gałęzi jest taki jakie jest źródło
prądowe, więc wpisujemy:
J
Jeśli źródło jest skierowane w stronę węzła wpisujemy ze znakiem dodatnim,
jeśli w drugą stronę wpisujemy z minusem.
Przykładowo, dla dowolnego węzła k (z powyższego rysunku), równanie będzie
wyglądało następująco:
Gałąź 1: Mamy samo źródło napięciowe. nie zapisujemy nic ani z lewej ani prawej
strony równania, za to znamy potencjał węzła
1
V
i wynosi:
1
1
E
V
V
k
+
=
Gałąź 2: Z lewej strony równania nie uwzględniamy konduktancji
2
1
R , z prawej
strony wpisujemy
2
J
−
Gałąź 3: Z lewej strony nic nie wpisujemy, z prawej wpisujemy
3
J
Gałąź 4: Z lewej strony w nawiasie wpisujemy
4
1
R , z prawej strony
4
4
R
E
Gałąź 5: Nie uwzględniamy konduktancji na tej gałęzi, z prawej wpisujemy
5
J
−
Gałąź 6: Z lewej strony dodajemy w nawiasie
6
1
R
Gałąź 7: Sytuacja podobna jak w gałęzi 1.
Gotowe równanie:
5
4
4
3
2
7
7
6
6
4
4
7
6
4
1
1
1
)
1
1
1
(
J
R
E
J
J
R
V
R
V
R
V
R
R
R
V
k
−
+
+
−
=
−
−
−
+
+
Równania w naszym przykładzie wyglądają następująco:
Dla węzła a:
5
5
1
1
3
2
1
5
4
3
2
1
)
1
1
1
(
)
1
1
1
1
1
(
R
E
R
E
R
R
R
V
R
R
R
R
R
V
c
a
+
−
=
+
+
−
+
+
+
+
Potencjał węzła
b
jest znany, bo jest uziemiony, zatem:
]
[
0 V
V
b
=
Potencjał węzła
c
wynosi:
E
V
V
b
c
+
=
Ad. 5: Na podstawie powyższych równań obliczamy wartości potencjałów
poszczególnych węzłów:
1
1
4
8
)
2
1
4
1
4
1
(
10
)
1
1
1
1
2
1
4
1
4
1
(
+
−
=
+
+
⋅
−
+
+
+
+
a
V
1
1
10
3
−
=
⋅
−
⋅
a
V
]
[
3 V
V
a
=
]
[
0 V
V
b
=
]
[
10
10
0
V
E
V
V
b
c
=
+
=
+
=
Ad. 6: Obliczamy napięcia między poszczególnymi węzłami:
]
[
10
0
10
]
[
7
3
10
]
[
3
0
3
V
V
V
U
V
V
V
U
V
V
V
U
b
c
cb
a
c
ca
b
a
ab
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
Ad. 7: Prądy gałęziowe obliczamy z praw Ohma i Kirchoffa:
:
1
I
]
[
25
,
0
0
1
1
1
1
1
1
A
R
U
E
I
E
I
R
U
ca
ca
=
−
=
=
−
+
:
2
I
]
[
75
,
1
4
7
0
2
2
2
2
A
R
U
I
U
R
I
ca
ca
−
=
−
=
=
=
+
Jeśli prąd wychodzi ujemny, oznacza to, że płynie w przeciwną stronę niż
oznaczyliśmy.
:
3
I
]
[
5
,
3
2
7
0
3
3
3
3
A
R
U
I
U
R
I
ca
ca
=
=
=
=
−
:
4
I
]
[
3
1
3
4
4
A
R
U
I
ab
=
=
=
:
5
I
]
[
2
1
3
1
0
5
5
5
5
5
5
A
R
U
E
I
R
I
E
U
ab
ab
−
=
−
=
−
=
=
+
−
(prąd przeciwnie oznaczony)