SYGNAŁY

Sygnałem deterministycznym jest dowolna rzeczywista lub zespolona funkcja czasu lub dystrybucja czasu. Nie wszystkie funkcje i dystrybucje są odpowiednimi i sensownymi modelami sygnałów fizycznych. Stosunkowo najlepiej opisują rzeczywistość fizyczną następując klasy sygnałów:

• klasa sygnałów o ograniczonej energii (sygnały energii)

• klasa sygnałów o ograniczonej mocy (sygnały mocy),

• klasa sygnałów o nieskończonym czasie trwania (sygnały ciągłe),

• klasa sygnałów o skończonym czasie trwania (sygnały impulsowe)

Klasyfikacja sygnałów wynika z pojęć pewnych parametrów, jakie można przyporządkować sygnałom deterministycznym.

PARAMETRY RZECZYWISTYCH SYGNAŁÓW DETERMINISTYCZNYCH

Całka sygnału- x oznaczana jest symbolem [x]. Jeżeli x jest sygnałem deterministycznym określonym w ogólnym przypadku w przedziale (-∞, ∞) to całka jest zdefiniowana następująco:

Całka sygnału interpretowana jest zwykle jako pole ograniczone wykresem sygnału. Całka ta może być dla pewnych sygnałów nieskończona lub nieokreślona. Definicja ta ma więc sens jedynie w odniesieniu do sygnałów, dla których istnieje skończona wartość całki.

Wartość średnia sygnału x oznaczana jest symbolem < 〉 i dla odpowiedniej klasy sygnału wyraża się następującymi zależnościami:

• 
  Wartość średnia sygnału x jest granicą dla sygnałów o nieskończonym czasie trwania (2s)

• 
  Wartość średnia dla sygnałów okresowych wyraża się zależnością 3s

t₀ dowolny punkt na osi czasu.

• 
  Wartość średnia dla sygnałów impulsowych wyraża się zależnością 4s
  

Drugą grupą parametrów jest związana z właściwościami energetycznymi sygnałów.

Energia sygnału x zdefiniowana jest wyrażeniem 5s

Energia sygnału jest energią zawartą w sygnale x może ona być nieskończona lub nieokreślona dla pewnej klasy sygnałów. Jeżeli sygnał x jest sygnałem prądowym lub napięciowym, to całka (5s) ma interpretację energii wydzielonej przez sygnał na rezystorze jednostkowym. W przypadku innych sygnałów (akustycznych lub optycznych), można mówić o uogólnionym pojęciu energii.

Moc średnia sygnału x definiowana jest dla każdej klasy sygnałów zależnościami 6s,7s,8s:

• 
  Moc średnia sygnału o nieskończonym czasie trwania 6s

• Moc średnia sygnału okresowego 7s

• Moc średnia sygnału impulsowego w przedziale t₁,t₂ 8s

Zgodnie z teorią obwodów wielkość P_x jest kwadratem wartości skutecznej sygnału a

jest wartością skuteczną.

Energetyczne parametry sygnałów pozwalają zdefiniować istotne klasy sygnałów:

• sygnał energii - sygnał x o ograniczonej energii jeżeli 0< E_x< ∞,

• sygnał mocy - sygnał x o ograniczonej mocy średniej jeżeli 0<P_x< ∞.

Przedstawione parametry opisują sygnał w sposób bardzo ogólny. W celu dokładniejszego opisu specyficznych cech sygnału wprowadzone zostały parametry pozwalające określić jego kształt i położenie względem środka osi czasu lub punktu skupienia sygnału.

Należą do nich następujące parametry:

Momenty zwykłe rzędu r - charakteryzują niejako „rozkład kształtu” sygnału wokół środka osi czasu (9s)

Moment zwykły rzędu drugiego
jest momentem bezwładności sygnału x.

Momenty centralne rzędu r (10s)

Unormowane momenty zwykłe rzędu r (11s) - są unormowane względem pola ograniczonego wykresem sygnału i mają wymiar czasu w r-tej

Unormowany moment zwykły rzędu pierwszego
jest odciętą środka ciężkości sygnału i w wielu przypadkach jest najlepszym parametrem określającym punkt koncentracji sygnału. Moment unormowany zwykły rzędu drugiego
jest średnim kwadratem odciętej środka ciężkości, a pierwiastek
jest promieniem bezwładności.

Unormowane momenty centralne rzędu r (12s) - są unormowanymi momentami zwykłymi w odniesieniu do odciętej środka ciężkości
.

Wariancja sygnału - jest unormowanym momentem centralnym rzędu drugiego, wiążę się ona z unormowanym momentem zwykłym rzędu pierwszego i drugiego

Odcięta środka ciężkości:

(15s)

Wariancja kwadratu sygnału

(16s)

Szerokość równoważna

(.17s)

Szerokość średniokwadratowa

(18s)

Średnie bieżące

(19s)

Sygnały prawie okresowe - ważna podklasa sygnałów o nieskończonym czasie trwania i o ograniczonej mocy średniej. Sygnał x nazwać można sygnałem prawie okresowym, jeżeli można go aproksymować (w określonym sensie) dowolnie dokładnie wielomianem trygonometrycznym.

Wielomianem trygonometrycznym nazwać można każdą skończoną sumę postaci (20s)

gdzie:

...ω_-2, ω_-1, ω₀, ω₁, ω₂,...- dowolny ciąg liczb rzeczywistych,

...X_-2, X_-1, X₀, X₁, X₂, - odpowiadający mu ciąg liczb zespolonych.

Jeżeli dla każdego n=0,1,.... zachodzą związki ω_-n= - ω_n oraz X_-n = X_n^* jest liczbą sprzężoną z liczbą X_n, to wielomian trygonometryczny jest rzeczywistą funkcją czasu

Przy definicji sygnału prawie okresowego ważnym elementem jest sprecyzowanie w jakim sensie rozumie się pojęcie aproksymacji.

Dla liczby dodatniej ω_0, i dla każdego n=1,2,.. można znaleźć całkowitą k_n taką, że ω_n= k_nω₀ to wielomian trygonometryczny jest funkcją okresową. Jeżeli ω₀ jest jednocześnie najmniejszą taką liczbą, to okres tej funkcji jest równy (21s)

Dla dwóch wskaźników n i m wielomian trygonometryczny jest funkcją okresową gdy związek (22s) jest liczbą wymierną

Klasa sygnałów prawie okresowych zawiera:

• sygnały okresowe, które można przedstawić w postaci skończonej sumy (przy zachowaniu warunku (22s)

• sygnały okresowe, które można aproksymować dowolnie dokładnie wielomianem (20s) przechodząc z N do nieskończoności z zachowaniem warunku (22s), przy czym istnieje co najmniej jedna para wskaźników n, m taka, że ω_n/ω_m jest liczbą niewymierną,

• sygnały nieokresowe, które można aproksymować dowolnie wielomianem trygonometrycznym (20s) zwiększając N do nieskończoności, przy czym istnieje co najmniej jedna para wskaźników n, m taka, że ω_n/ω_m jest liczbą niewymierną,

Przykładem sygnału prawie okresowego jest sygnał zmodulowany fazowo (23s)

gdzie: X, a - liczby rzeczywiste,
jest liczbą niewymierną.

---