1.Wyjaśnić pojęcia: system, model, modelowanie, symulacja.

SYSTEM jest to składająca się z elementów funkcjonalna całość, wyodrębniona z otoczenia, na którą otoczenie wpływa za pośrednictwem wielkości wejściowych i która oddziałuje na otoczenie za pośrednictwem wielkości wyjściowych.

MODEL jest to twór sztuczny, pod pewnymi względami podobny do badanego systemu, wyrażający jego istotne z punktu widzenia badacza cechy. Model jest przeznaczony do poznania systemu.

MODELOWANIE to ogół działań zmierzających do zbudowania modelu odzwierciedlającego istotne procesy badanego systemu (technika analizy systemów bazująca na modelach).

SYMULACJA to realizacja praktyczna techniki badania systemu rzeczywistego na podstawie modelu matematycznego przy użyciu komputera wyposażonego w specjalny program zwany programem symulacyjnym.

2.Wymień i omów fazy symulacji komputerowej.

A) Konstruowanie modelu:

- określenie celów modelowania

- wybór kategorii modelu

- określenie struktury modelu

- sprawdzenie poprawności formalnej

B) Komputerowa realizacja modelu:

- przekształcenie układu równań w program komputerowy (symulacyjny)

- uruchomienie programu symulacyjnego (usuniecie błędów)

C) Weryfikacja Modelu: porównanie wyników modelowania z zachowaniem się systemu rzeczywistego, sprawdzenie poprawności heurystycznej (czy wyniki, które otrzymamy są bliskie tym, które chcieliśmy otrzymać) i pragmatycznej.

Kategorie poprawności pragmatycznej:

- replikatywna

- predykcyjna

- strukturalna

D) Eksperymenty na modelu:

- określenie programu badań

- przeprowadzenie eksperymentów

Opracowanie wyników(sprawozdanie)

3.Podać definicję modelu matematycznego. Do jakiej grupy modeli należą modele matematyczne?

MODEL MATEMATYCZNY - należy do grupy modeli abstrakcyjnych. Jest zbiorem reguł i zależności, na podstawie których można przewidzieć (w drodze obliczeń) zachowanie się układu.

4.Wymienić i omówić różne postaci modeli matematycznych.

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE RZĘDU N -otrzymuje się je przez napisanie głównego równania równowagi w układzie i ustalenie zależności fizycznych zachodzących między elementami w funkcji jednej zmiennej niezależnej np. w układzie mechanicznym od położenia x. Aby rozwiązanie było jednoznaczne konieczna jest znajomość warunków początkowych.

UKŁAD N RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH RZĘDU 1-GO - otrzymuje się przez napisanie równań równowagi i ustalenie zależności między elementami w funkcji zmiennych stanu i ich pochodnych.

TRANSMITANCJA OPERATOROWA - jest to stosunek transformaty Laplace'a odpowiedzi do transformaty wymuszenia przy znanych warunkach brzegowych

Transformata Laplace'a sygnału x(t) jest to funkcja X(s) dana wzorem:

transformata Laplace'a przekształca układ równań różniczkowych w układ równań liniowych

RÓWNANIE MACIERZOWE ZMIENNYCH STANU - w uproszczonym zapisie ma postać:

X'=Ax+Bu

Y= Cx+Du gdzie : x-wektor zmiennych stanu, u-wektor wymuszeń, x'-wektor pochodnych zmiennych stanu; A, B, C, D - macierze. Łatwo otrzymuje się równanie macierzowe z układu równań różniczkowych rzędu pierwszego po zapisaniu zmiennych w odpowiedniej kolejności.

5.Podać klasyfikacje modeli matematycznych. Wyjaśnić różnicę pomiędzy modelem liniowym a nieliniowym.

1. na charakter modelowanego systemu: statyczne / dynamiczne

2.na stosowalność zasady superpozycji: liniowe / nieliniowe

3. na charakter zmiennych: deterministyczne / stochastyczne

4. na zmienność parametrów modelu: stacjonarne / niestacjonarne

5. na czynnik odniesienia: ciągłe w czasie / dyskretne w czasie

6. na wartość zmiennych: ciągłe w stanie / dyskretne w stanie

7. na liczbę zmiennych niezależnych: o parametrach skupionych / rozłożonych

W modelu liniowym wielkość wyjściowa jest suma członów liniowych wielkości wejściowych. W modelu nieliniowym zmienna wyjściowa nie jest superpozycją członów liniowych wielkości wejściowych, a ich dowolną kombinacji.

MODEL LINIOWY oparty na liniowej zależności badanych zjawisk. Stosunkowo łatwy do rozwiązania na drodze analitycznej. Pozwala na utworzenie modelu w postaci równań liniowych (algebraicznych albo różniczkowych). Możliwość wykonania podstawowych operacji algebraicznych (+ - * :)pozwala na wybór elementu zerowego przy wektorowym opisie wejścia, wyjście lub stanu systemu.

MODEL NIELINIOWY występuje dość często ze względu na złożoność badanych systemów i niemożliwość zapisania zależności między nimi za pomocą funkcji liniowych, przy jednoczesnym zachowaniu wymaganej poprawności modelu. Niestety rozwiązanie takie jest trudne i dlatego stosuje się linearyzację tego modelu.

6.Na czym polega różnica między modelem

a) statycznym i dynamicznym

Model w którym wielkości są zmienne w czasie i zależne od ich wartości w poprzednich chwilach czasu nazywamy dynamicznymi. W przeciwnym wypadku mamy model statyczny.

b)stochastycznym i deterministycznym

Model jest deterministyczny jeżeli znajomość wartości odpowiednich zmiennych w danej chwili pozwala określić ich wartość w chwili późniejszej lub też w pewnej chwili wcześniejszej

Modele stochastyczne opisują zjawiska procesy losowe inaczej funkcje losowe

7.Omówić poszczególne etapy procesu tworzenia modelu matematycznego.

A) wybór typu modelu: cyfrowy-analogowy, fizyczny-funkcjonalny itd.

B) określenie struktury modelu (typ zmiennych-przepływu, spadku; postać równań)

Wybór kategorii modelu (liniowy-nieliniowy; stacjonarny -niestacjonarny itd.)

Wybór zmiennych istotnych dla danego procesu(spadku, przepływu)

Zmienna spadku - są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu - różnica potencjałów.

Zmienna przepływu - są miarą wielkości fizycznej która przechodzi przez element układu - prąd przez rezystor.

Sformułowanie równań opisujących badany proces (równanie równowagi, spójności).

Równanie równowagi - zależności wyrażające równowagę, która musi istnieć dla całego układu i wszystkich jego podukładów - prądy w węźle.

Równanie spójności opisuje zależność między zmiennymi ze względu na strukturę połączeń elementów układu - napięcia w oczku.

Napisanie zależności fizycznych zachodzących między poszczególnymi elementami układu (prądem-napięciami; siłą-przyspieszeniem).

C) wyznaczenie wartości parametrów modelu

D) sprawdzenie poprawności formalnej

Poprawność logiczna i metodologiczna.

Poprawność przekształceń matematycznych

Istnienie rozwiązania

Jednoznaczność rozwiązania

Stopień uwarunkowania układu równań (wrażliwość na zmiany parametrów)

Dokładność cyfr znaczących

8.Jakie są typy zmiennych występujących w modelach matematycznych??

Deterministyczne i losowe, Ciągłe i dyskretne, Ostre i rozmyte

Zmienna spadku - są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu - różnica potencjałów

Zmienna przepływu - są miarą wielkości fizycznej, która przechodzi przez element układu - prąd przez rezystor

9. Zalety symulacji komp w por. do innych metod.
Elastyczność, łatwość wprowadzania zmian w strukturze modelu; łatwość wprowadzania różnych rodzajów wymuszeń i zakłóceń; możliwość zadawania wymuszeń ekstremalnych bez obawy uszkodzenia modelu; niski koszt i krótki czas przygotowania symulacji; wiarygodność wyników symulacji.

10. Metody modelowania dynamicznych układów ciągłych.
- metoda klasyczna
- metoda operatorowa
- zmiennych stanu
- energetyczna (rownań Lagrange'a)- zastosowanie zasady Hamiltona

11. Metody rozwiazywania rownan modelu matematycznego:

- analityczna (ograniczona tylko do najprostszych postaci równań liniowych, bez większego znaczenia praktycznego)
- numeryczna (realizowana za pomocą komputera wyposażonego w odpowiedni program zwany pakietem symulacyjnym, powszechnie stosowana w praktyce)

12. Omówić metodę zmiennych stanu. Podać definicje wektora zmiennych stanu.

Metoda zmiennych stanu polega na opisaniu modelu za pomocą zmiennych stanu czyli takich parametrów, które opisują pewną własność charakterystyczną dla wydzielonego elementu systemu. Metoda ta jest stosowana w przypadku układów liniowych. Stan chwilowy obiektu liniowego opisują równania zmiennych stanu:

wektor zmiennych stanu (sygnałów wewnętrznych), wektor pochodnych zmiennych stanu, wektor zmiennych wyjściowych (sygnałów odpowiedzi), wektor wymuszeń (sygnałów źródłowych)

A,B,C,D- macierze o stałych współczynnikach.

Wektor zmiennych stanu - najmniejszy liczebnie zbiór zmiennych stanu, taki że jeśli znany jest stan w chwili t0 tzn. wektor x(t0) oraz przebiegi czasowe wielkości wejściowych u(t) i z(t) w przedziale <t0,t> to można wyznaczyć przebiegi czasowe wszystkich zmiennych stanu i zmiennych wyjściowych w tym przedziale.

14. Na czym polega metoda operatorowa modelowania układów ciągłych i jakie są ograniczenia w jej stosowaniu?

Transformatą Laplace'a sygnału x(t) jest funkcja X(s) dana wzorem

X(s) = całka(od 0 do nieskończoności) x(t)*e<-st>*dt

Transmitancja operatorowa - stosunek transformaty odpowiedzi do transformaty wymuszenia przy założeniu zerowych warunków początkowych. G(s) = Y(s) / U(s)

Transformata Laplace'a przekształca układ równań różniczkowych w układ równań algebraicznych:

s*X(s) - x(0) = A*X(s) + B*U(s)

Y(s) = C*X(s) + D*U(s)

Z którego można łatwo wyznaczyć X(s) i Y(s):

X(s) = (s*1-A)<-1> * (x(0) + B*U(s))

Y(s) = C*(s*1-A)<-1> * (x(0) + B*U(s)) + D*U(s)

Oraz transmitancje

G(s) = C*(s*1-A)<-1> * B + D

lub zwięźle:

Metoda operatorowa polega na obliczeniu transformaty Laplace'a sygnału ciągłego x(t), która jest funkcją X(s) dana wzorem:

X(s)=∫ x(t)e^-st dt, całka jest w granicach o zera do nieskończoności.

15. Co to jest transmitancja operatorowa układu? Podać przykład transmitancji układu oscylacyjnego?

Transmitancja operatorowa - stosunek transformaty odpowiedzi do transformaty wymuszenia przy założeniu zerowych warunków początkowych. G(s) = Y(s) / U(s)

16. Podać reguły upraszczania modeli matematycznych.

1. Identyfikacja relatywnie małych wyrazów modelu wyjściowego

2. Utworzenie modelu uproszczonego przez usunięcie wyrazów relatywnie małych.

3. Ocena zgodności - wyznaczenie wartości wyrazów odrzuconych na podstawie rozwiązania modelu uproszczonego i sprawdzenie, czy są faktycznie małe w porównaniu z wyrazami uwzględnionymi w modelu uproszczonym.

17. Podać definicje współczynnika uwarunkowania układu. Układy dobrze i źle uwarunkowane.

Stopień uwarunkowania układu określa się ilościowo za pomocą współczynnika uwarunkowania d:

Def. Współczynnik uwarunkowania d:

D = abs(λ (max) / λ (min))

Gdzie λ (max) , λ (min) - wartości własne macierzy podstawowej układu, odpowiednio maksymalna i minimalna.

Jeśli d >>1 to układ jest źle uwarunkowany.

Układ jest dobrze uwarunkowany jeżeli jego rozwiązanie istnieje, jest jednoznaczne i w sposób ciągły zależy od współczynników.

Upraszczanie modeli matematycznych jest efektywne tylko dla układów dobrze uwarunkowanych.

Rozwiązania układów źle uwarunkowanych są bardzo wrażliwe na zmiany wartości parametrów równań.

18. Wymienić i omówić kategorie poprawności modeli matematycznych.

poprawność logiczna i metodologiczna - czy sformułowanie zależności geometryczne i algebraiczne maja sens, czy jest odpowiednio dobrany model to układu rzeczywistego

poprawność przekształceń algebraicznych

istnienie rozwiązania

jednoznaczność rozwiązania

stopień uwarunkowania układu równań - jaka jest wrażliwość układu na zmiany parametrów

dokładność rozwiązania - liczba cyfr znaczących

19. Jakiego typu równania opisuje układ dynamiczny ciągły o parametrach skupionych? Podać przykład.

Typy równań opisujących układ ciągły:

Równania równowagi - zależności wyrażające równowagę, która musi istnieć dla całego układu i wszystkich jego podukładów.- bilans prądów w węźle obwodu, równanie równowagi sil

Równania spójności - opisujące zależności między zmiennymi ze względu na strukturę połączeń elementów układu

Przykład: bilans napiec w oczku obwodu, równania spadku ciśnień

20. Wymienić i podać zależności definiujące elementy idealne: konserwatywne/dyssypatywne (magazynujące/rozpraszające energie) w procesach, mechanicznych/elektrycznych.

PROCESY ELEKTRYCZNE

Rozpraszanie:

opór elektryczny R

U(t)=R*i(t); ΔW=strata_energii=Całka od t1 do t2[R*i^2(t)]dt

Magazynowanie:

Cewka indukcyjna L U(t)=L*(di(t)/dt);
Wm=1/2 *L*i^2

Kondensator C i(t)=C*(du(t)/dt);
We=1/2 * Cu^2

PROCESY MECHANICZNE

Rozpraszanie:

Tłumienie D f(t)=D*v(t) => tarcie wiskotyczne; f(t)=const => tarcie suche;

Magazynowanie:

Masa M f(t)=m*(dv/dt); W=(1/2)mv^2

Sprężystość K v(t)=k*(df(t)/dt); f(t)=s*x(t); s=1/k „s” to sztywność; W=(1/2)kf<2>;

Moment bezwładności J u(t)=J*(dω/dt); W=(1/2)Jω^2(t)

21. Sterowalność - Układ jest sterowalny względem danego wejścia u_i jeśli możliwe jest przeprowadzenie układu w skończonym czasie z danego stanu w stan zerowy w wyniku oddziaływania poprzez to wejście.

Warunek sterowalności:

Jeśli układ jest opisany równaniami zmiennych stanu to badamy macierz A i jeden wektor kolumnowy macierzy B), układ dynamiczny jest sterowalny względem i-tego wejścia jeśli wektor b_i oraz wektor Ab_i są liniowo niezależne czyli wtedy gdy spełniony jest warunek:
| b_i Ab_i|
0 Gdzie b_i jest i-tą kolumną macierzy B.

Obserwowalność - układ jest obserwowalny względem danego wyjścia y_i jeśli na podstawie znajomości tego wyjścia można określić całkowity stan układu w dowolnej chwili z przeszłości.

Warunek obserwowalności:

Jeśli układ jest opisany równaniami zmiennych stanu to badamy macierz A i jeden wektor wierszowy macierzy C. Jeśli wektory

(czyli te dwa wektorki są niezależne liniowo) to układ dynamiczny jest obserwowalny.

22. Linearyzacja statyczna - polega na ograniczaniu zakresu zmian danej zmiennej do prostoliniowej części charakterystyki statycznej.

Linearyzacja dynamiczna - polega na zastąpieniu nieliniowej charakterystyki statycznej linią prostą styczną do niej w wybranym punkcie pracy. Słuszna tylko przy małych odchyleniach od punktu pracy
23. Układ dynamiczny ciągły o parametrach rozłożonych (zmienne niezależne to czas i współrzędne położenia) opisuje się za pomocą równań różniczkowych cząstkowych.

Przykład:

24. Pole elektrostatyczne w obszarze zawierającym ładunki El.

Równanie Poissona:

, gdzie

, jest to wektor symboliczny który we współrzędnych prostokątnych ma taką postać,

V to „pole wektorowe”

to gęstość objętościowa ładunku el.

to przenikalność

25. Pole magnetostatyczne bez prądów zewnętrznych

Równanie Laplace'a :

Albo dla skalarnego potencjału pola magnetycznego w obszarach bez prądu:

Albo dla wektorowego potencjału pola w obszarach bez prądu:

gdzie A to potencjał magnetyczny wektorowy

26. Metody wyznaczania rozkładów pól:

Analityczne: rozwiązanie układu równań różniczkowych cząstkowych metodą:

rozdzielania zmiennych

odbić zwierciadlanych

odwzorowań konforemnych

równań całkowych;

Graficzne: polega na rysowaniu linii sił pola;

Modelowanie fizyczne rozkładu pola: (na papierze przewodzącym; w wannie elektrolitycznej; za pomocą obwodów siatkowych)

Metody numeryczne: przybliżone rozwiązywanie zagadnień polowych przez przekształcenie równania różniczkowego cząstkowego w układ równań algebraicznych rozwiązywany przez komputer.

27. Źródła pola w zagadnieniach elektrostatyki:

Są 3 możliwości:

- określenie gęstości objętościowej ładunku ρ [C/m³];

- określenie gęstości powierzchniowej ładunku σ[C/m²];

- określenie wartości ładunku elektrycznego q [C] dla danego punktu.

Źródła pola w zagadnieniach magnetostatyki:

Mogą być zdefiniowane:

- w obszarach - jako prądy przestrzenne (objętościowe) lub magnesy trwałe;

- na krawędziach - jako prądy powierzchniowe;

- w wierzchołkach - jako prądy liniowe.

28. W jaki sposób def się warunek brzegowy pierwszego rodzaju (Dirichleta) w zagadnieniach elektrostatyki/magnetostatyki Elektrostatyka: jest definiowany przez podanie:

- wartości potencjału U₀ na brzegu obszaru

- wartości potencjału U₀ w dowolnym punkcie obszaru.

Ważne jest, aby był zdefiniowany minimum jeden warunek brzegowy Dirichleta dla całego problemu aby rozwiązanie było jednoznaczne!!

Magnetostatyka def się przez podanie:

- wartości potencjału A₀ na brzegu obszaru

- wartości potencjału A₀ w punkcie

29. Warunki ukł 3D aby go zastąpić ukł cylindrycznym

Struktury muszą mieć oś symetrii obrotowej, dodatkowo rozpatrując w dodatniej półpłaszczyźnie zr układu wsp. Cylindrycznych zrθ przestrzeni 3D zakłada się że nie występują w funkcji kąta θ zmiany: kształtu obszaru, właściwości środowiska, źródeł pola

30. Warunki ukł 3D aby go zastąpić ukł płaskim

Układ trójwymiarowy można zastąpić układem płaskim rozpatrywanym w płaszczyźnie xy układu współrzędnych prostokątnych xyz przy założeniu że w kierunku osi z nie występują zmiany: kształtu obszaru, właściwości środowiska ani źródeł pola.

31.Wymienic etapy rozwiązywania zagadnień polowych w programie QF

1) Definiowanie problemu

2) Utworzenie modelu struktury geometrycznej obiektu.

3) Definiowanie własności środowiska i źródeł pola dla poszczególnych obszarów(bloków), brzegów obszarów(krawędzi), oraz pojedynczych punktów(węzłów).

4) Generowanie siatki elementów skończonych.

5) Rozwiązanie problemu.

6) Wizualizacja rozwiązania.

32. W jaki sposób dokonuje się dyskretyzacji obszaru w metodzie różnic skończonych?

W celu znalezienia rozkładu funkcji polowej A=A(x,y) w pewnym obszarze Ω(o zadanych wartościach brzegowych A_s na jego brzegu S), dzieli się badany obszar na siatkę prostokątną o kroku całkowania ∆x=∆y=h;y_k=k∆y; x_i=i∆x (rys.slajd 82 ).Wartość funkcji polowej w danym węźle i,k jest średnią arytmetyczną wartości tej funkcji we wszystkich czterech węzłach sąsiadujących z węzłem i,k (nie wiem czy tyle wystarczy)

33. Na czym polega iteracyjna metoda rozwiązywania ukł. równań różnicowych w metodzie różnic skończonych?

Punkt startowy (iteracja 0) węzłom granicznym przypisuje się znane wartości brzegowe, węzłom pozostałym- wartości dowolne, np odpowiadające kolejności numerowania węzłów:V1=1, V2=2 itd.

Kolejne iteracje- wartość funkcji polowej w danym węźle obliczana jest jako średnia z wartości funkcji polowej z poprzedniej iteracji dla wszystkich 4 węzłów sąsiadujących z danym węzłem.

Iteracje powtarza się, aż przyrost wartości funkcji w każdym węźle będzie mniejszy od założonej liczby ε ∆=max| V_i,k^(j+1)- V_i,k^(j)|<=ε (komentarz: V_{i-nr_punktu}^{(j)-nr_iteracji})

34. Omówić źródła błędów w metodzie różnic skończonych i sposoby ich zmniejszania.

Źródła:

1)Zastąpienie równania różniczkowego różnicowym

2) Dyskretyzacja obszaru.

3) Przybliżone rozwiązanie układu równań

Sposoby zmniejszania:

1 i 2 - zagęszczenie siatki(zmniejszenie kroku dyskretyzacji)

3 - zwiększenie liczby iteracji

35. Na czym polega istota metody elementów skończonych? Omówić główne zagadnienia tej metody.

Podział rozpatrywanego obszaru (o złożonej strukturze i skomplikowanym kształcie) na skończoną liczbę elementarnych podobszarów (jednorodnych, o bardzo prostym kształcie)-tj. utworzenie sieci elementów skończonych.

Każdy element posiada węzły, z którymi związane są szukane wartości funkcji polowej.

Rozkład funkcji polowej nad danym elementem aproksymuje się za pomocą tzw. funkcji interpolacyjnych.

„Współczynnikami” funkcji interpolacyjnych są tzw. funkcje kształtu (funkcje bazowe) natomiast „zmiennymi” są wartości węzłowe funkcji polowej.

Poszukuje się takiego rozwiązania zbioru funkcji interpolacyjnych dla wszystkich elementów, które minimalizuje funkcjonał energetyczny, tzn. odpowiada minimalnej energii układu.

Znaleziony zbiór funkcji interpolacyjnych dla wszystkich elementów stanowi odcinkową aproksymację zmiennej pola w rozpatrywanym obszarze.

36. Na czym polega dyskretyzacja obszaru w metodzie elementów skończonych? Kształty elementów skończonych w przestrzeni 2D i 3D.

Dyskretyzacja obszaru analizy pola- utworzenie sieci elementów skończonych:

Podział rozpatrywanego obszaru (o złożonej strukturze i skomplikowanym kształcie) na skończoną liczbę elementarnych podobszarów (jednorodnych, o bardzo prostym kształcie)

Rodzaje elementów skończonych:

Zagadnienia 1D: odcinek, odcinek 3-węzłowy;

Zagadnienia 2D: trójkąt, prostokąt, czworokąt, trójkąt 6-węzłowy;

Zagadnienia 3D: czworościan(4 węzły), graniastosłup(8 węzłów), sześciościan

Brzegi elementów skończonych są:

- punktami - Zagadnienia 1D

- odcinkami linii prostych - Zagadnienia 2D

- płaszczyznami - Zagadnienia 3D

37. Omówić zalety i wady metody elementów skończonych.

Zalety:

1) Uniwersalna

2) Efektywna w przypadku obszarów o bardzo skomplikowanych kształtach.

3) Umożliwia analizę pól w środowiskach nieliniowych, niejednorodnych i anizotropowych

Wady:

1) Obszar musi być ograniczony.

2) Błędy: dyskretyzacji i aproksymacji.

38. Modele matematyczne układów dyskretnych.

Modelem matematycznym układu dyskretnego są równania różnicowe rzędu n.

Postać ogólna:

X[n] i y[n] to zmienne dyskretne.

39.Podać twierdzenie o próbkowaniu. Co to jest częstotliwość graniczna Nyquista?

Sygnał ciągły x(t) jest jednoznacznie określony przez swoje wartości dyskretne x_d(nT), n=0,±1,±2, ..., jeśli częstotliwość próbkowania f_s spełnia warunek: f_s>2f_M

gdzie f_M oznacza częstotliwość najwyższej harmonicznej sygnału x(t)

Częstotliwość próbkowania f_s=2f_M nazywa się częstotliwością graniczną Nyquista.

40. Jakiego typu równania stosuje się do opisu matematycznego układów dyskretnych?

- równania różnicowe

- dyskretne równania zmiennych stanu:

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]

y[n]=Cx[n]+Du[n]

- transmitancja dyskretna: T(z)=Y(z)/U(z)

Y(z) - transformata Z odpowiedzi; U(z)-transformata Z wymuszenia

41.Podstawowe elementy schematów blokowych układów dyskretnych.

-węzły sumacyjne

- węzły zaczepowe(rozgałęzienia)

- bloki wzmocnienia sygnału y[n]=a x[n]

- bloki jednostkowego opóźnienia y[n]=x[n-1]

---