4.4 Kierunki główne

Poprowadźmy na powierzchni elipsoidy dwie krzywe K₁ i K₂, które przecinają się w punkcie P pod katem
= 90°. Obrazy tych krzywych
i
przetną się w punkcie
pod kątem
, który w ogólnym przypadku nie równa się 90°. To, czy kąt
będzie większy, czy mniejszy od 90° zależy od azymutu A_i (rys. 4.3).

Rys. 4.3

Zwiększając w sposób ciągły azymut A_i , czyli obracając układ krzywych K₁, K₂ wokół punktu P, zauważany, że przy pewnej war­tości tego azymutu kąt
osiąga wartość minimalną (
) po czym rośnie, aż do wartości maksymalnej (

).

Rys. 4.4

Oznacza to, że podczas tego obrotu wystąpił taki moment, w którym wartość kąta
była równa 90°. Przyjmijmy, że azymut A₁ w tym momencie wynosi A_g. Rysunek 4.4 przedstawia kąty na elipsoidzie i na płaszczyźnie, gdy A₁-=A_g

Dla azymutu A_g zachodzi następująca zależność: azymut równy A_g = 90° odwzorowuje się na azymut równy
.

Odwzorujmy azymuty A_g i A _g+90⁰ zgodnie ze wzorem (4.48). Dla A_g mamy;

(4.59)

natomiast dla A_g + 90°

( 4. 60a)

a po redukcji

(4.60b)

Wyznaczmy tg
z zależności (4.59)

i podstawmy do wzoru (4.6Ob).

Po przekształceniach otrzymamy równanie kwadratowe z niewiadomą tg A_g

(4.61)

Rozwiązanie tego równania na następującą postać:

(4.62)

Otrzymamy więc 2 wartości azymutu A_g . Oznaczmy je A_g1, A_g2 załóżmy, że A_g1 <A_g2 Stosujemy wzór Viety na iloczyn pierwiastków równania kwadratowego, który w naszym przypadku ma postać:

a więc

co prowadzi do zależności:

Rys. 4.5

(4.63)

wynikającej z rysunku 4.5

Biorąc pod uwagę, że funkcja tangens jest funkcja cykliczną o okresie 180, możemy znaleźć jeszcze dwa azymuty, równe A_g1 + 180° i A_g2 + 180°, które także spełniają zależność (4.62), a więc są rozwiązaniem równania (4.61). W pełnym zakresie azymutów, od 0° do 360°, znajdują się cztery następujące rozwiązania równania (4.61):

które określają tylko jeden układ stycznych do krzywych K₁. i K₂ , dobranych z założenia w taki sposób, aby przecinały się na oryginale i na obrazie pod kątem prostym.

Zgodnie z (4.62) A_g1 zależy od współrzędnych punktu, ale w danym punkcie przybiera tylko jedną wartość.

Krzywą K₁ można dobrać w taki sposób, aby w każdym jej punk­cie azymut stycznej był równy A_g1, a krzywą K₂ w taki sposób, aby w każdym jej punkcie azymut stycznej

był równy A_g1 + 90⁰. W ten sposób powstają na oryginale dwie rodziny krzywych wzajemnie ortogonalnych, które odwzorowują się na dwie rodziny krzywych, także wzajemnie ortogonalnych.

Rozważmy jeszcze przypadek szczególny, gdy odwzorowania są równokątne.

Wtedy

m_B = m_L i

co powoduje, że wzór (4.61) przyjmuje postać

O tg²A_g + - O tg A_g - 0 = O.

Oznacza to, że azymut A_g jest nieokreślony.

Oczywiste jest, że w odwzorowaniach równokątnych dwie dowolne krzywe, przecinające się pod kątem prostym, odwzorowują się na krzywe przecinające się także pod kątem prostym.

Uogólnieniem naszych rozważań dotyczących tylko odwzorowań elipsoidy na płaszczyznę jest pierwsze twierdzenie Tissota, mające następujące brzmienie:

W każdym regularnym odwzorowanie nie będącym odwzorowaniem równokątnym, istnieje na oryginale dokładnie jedna siatka ortogonalnych linii parametrycznych, której obrazem jest także siatka ortogonalna

Kierunki tej siatki nazywamy kierunkami głównymi.

Kierunki główne nie są określone, gdy odwzorowanie jest równokątne.

Azymuty kierunków głównych (A_g), opisane równaniem (4.62), możemy przedstawić także w inny sposób.

Skorzystajmy ze wzoru:

i podstawmy w miejsce tg A_g prawą stronę wzoru (4.62). Po przekształceniach otrzymamy dla obu przypadków wzoru (4.62) jeden wzór, mający postać

(4.64)

Na podstawie wzoru (4.64) można wyciągnąć następujący wniosek:

gdy obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym (
), to kierunki główne pokrywają się z kierunkami południków i równoleżników. Istotnie, dla
wzór (4.64) ma postać:

a zatem

Ustalimy jak odwzorowują się na płaszczyznę azymuty kierunków głównych. W tym celu skorzystajmy ze wzoru (4.48), który napiszemy w następującej postaci:

Po podstawieniu zależności (4.64) i przekształceniach, otrzymamy ostatecznie:

(4.65)

Uwzględniając cyklicznczność funkcji tanges, otrzymamy pojedyncze rozwiązania w postaci:

4.3 Skala długości w kierunkach równych

Kwadrat skali długości wyraża się wzorca

(4.66)

Gdy podzielimy licznik i mianownik przez dL², wówczas:

(4.67)

Stosunek dB/dL, zależny od azymutu A elementu ds, otrzymamy ze wzoru (4.18):

.

Po podstawieniu tej zależności do wzoru (4.67), otrzymamy:

(4.68)

a ponieważ

to dzieląc licznik wzoru (4.68) przez tak przedstawiony mianownik otrzymujemy

(4.69)

Z wzoru tego wynika, że skala długości m zależy od wartości E, F, G, a więc od funkcji odwzorowawczych, współrzędnych punktów, a także od azymutu A.

Przedstawmy skalę długości m jako funkcję skali długości m_B w kierunku południków i skali długości m_L w kierunku równoleżników.

Ze wzoru (4.40) wynika, że:

więc

Gdy uwzględnimy zależności (4.32 i 4.33), mające postać:

to otrzymamy ostatecznie

(4.70)

Ze wzoru (4.69) i (4.70) wynika, że skala długości jest funkcję okresową azymutu o okresie równym 180⁰ . W pełnym zakresie azymutów, od A = 0° do A = 360°, skala m będzie osiągała 2 razy tę samą wartość maksymalną i dwa razy tę sarnę wartość minimalną.

Azymuty A_g, dla których skala długości m osiąga wartości ekstremalne, wyznaczamy z warunku:

(4.71)

Obliczając pochodne prawej strony wyrażenia (4.70) otrzymujemy ten warunek w następującej

postaci:

(4.72)

a stąd

(4.73)

Gdy porównamy wzór (4.73) ze wzorem (4.64), stwierdzimy, że oba te wzory określają takie same wartości azymutów. Wynika stąd ważny wniosek: ekstremalne skale długości występują w kierunkach głównych. Uwzględniając okresowość skali m, wnioskujemy, że jedna wartość ekstremalna skali długości wystąpi dla, azymutów

a druga dla azymutów A_e + 90° i A_e + 270°.

W odwzorowaniach równokątnych kierunki główne nie są określone, toteż skala długości w danym punkcie nie zależy od kierunku.

4.6 Elipsa zniekształceń

Niech u, v będę współrzędnymi krzywoliniowymi określonymi przez siatkę ortogonalna, o której mówi pierwsze twierdzenie Tissota.

W obranym punkcie P na powierzchni elipsoidy umieśćmy początek lokalnego układu współrzędnych x, y. Osie tego układu skierujmy wzdłuż kierunków głównych. Załóżmy, że z punktu P zatoczono okrąg o .nieskończenie małym promieniu ds (rys. 4.64a)

Rys. 4.6a

Punkt S leżący na okręgu będzie miał następujące współrzędne prostokątne płaskie:

x = ds cos
,

y = ds sin
, (4.74)

a równanie okręgu napiszemy w postaci

x²+y²=ds². (4.75)

Wyprowadźmy teraz równanie figury, która będzie obrazem tego okręgu. Obrazem punktu S jest punkt
, zaś obrazem promienia ds. jest nieskończenie mały odcinek
. ( rys. 4.6b).

Umieśćmy w punkcie
obrazu początek układu współrzędny prostokątnych płaskich x', y', którego osie będę pokrywały się z kierunkami głównymi wzdłuż których skale długości przyjmują wartości ekstremalne. Załóżmy, że maksymalna skala długości a = m_max występuje w kierunku osi x' a minimalna skala długości = m_min i występuje w kierunku osi y'. W takiej sytuacji związek między współrzędnymi x, y punktu S a współrzędnymi x', y' punktu
będą wyrażały następujące wzory:

x' = a x,

y' = by. (4.76)

W miejsce współrzędnych x, y podstawiany ich wartości wyrażone za pomocą wzorów (4.74), a następnie podnosimy oba równania do kwadratu. Otrzymujemy:

x'² = a² ds² cos ²
,

y'² = b² ds² sin ²
, (4.77)

Gdy pierwsze równanie podzielimy przez a²ds² , a drugie przez b²ds², i dodamy je stronami, to otrzymamy równanie

(4.78)

Jest to równanie elipsy o półosiach nieskończenie małych, równych a ds oraz b ds. Promieniem wodzącym tej elipsy jest odcinek
o długości
.

Podzielmy półosie elipsy przez ds. Otrzymamy w ten sposób nową elipsę o wymiarach skończonych, podobną do elipsy opisanej równaniem (4.78). Półosie tej nowej elipsy będą równe skalom długości m w danym kierunku
. Elipsę taką nazywamy elipsą zniekształceń lub wskaźnicą Tissota. Jej równanie ma następującą postać:

(4.79)

Wskaznicę Tissota pokazano na rysunku 4.7.

Na podstawie takich rozważań sformułowano drugie twierdzenie Tissota, które głosi, że obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wyprowadzonych z danego punktu jest elipsa o półosiach równych skalom długości w kierunkach głównych.

Określmy teraz skalę długości m jako funkcję kąta
.Dodając stronami równania (4.77) otrzymamy:

Z rysunku 4.6 b wynika, że'

(4.80)

a zatem

Ostatecznie

(4.81)

Aby przedstawić skalę długości m jako funkcję kąta
, musimy podstawić do równania elipsy (4.78) wartości współrzędnych płaskich w odwzorowaniu

(4.82)

Uwzględniając, że
, otrzymujemy ostatecznie następującą zależność:

(4.83)

Wskaznicę Tissota można wykreślić mając azymut
obliczony wg wzoru (4.65), oraz ekstremalne skale długości a i b.

Istnieje mozliwość obliczenia ekstremalnych skal długości na podstawie wzoru (4.70) dla

A = A_g i A = A_g + 90⁰ jednak obliczenia te muszą być poprzedzone obliczeniem wartości A_g ze wzoru (4.64) lub (4.62).

Poszukajmy prostych zależności wiążących skale a, b ze skalami m_B i m_L i kątem
.

Skalę długości m_B otrzymamy ze wzoru (4.81) dla

a skalę długości m_L otrzymamy dla

Suma tych równań daje następujący wzór:

(4.84)

Na podstawie drugiego twierdzenia Apoloniusza, wyrażającego się wzorem:

(4.85)

możemy utworzyć następujące kombinacje równań (4.84) i (4.85):

Skale a, b otrzymamy z zależności:

(4.86)

4.7 Zniekształcenie kątowe

Obliczmy kąty
korzystając z rysunku 4.6

Uwzględniając równania (4.76), otrzymujemy nowy wzór na
,

który można wyrazić następująco

(4. 87)

Ze wzoru tego wynikają następujące proporcje:

oraz

Stosując wzory na sumę i różnicę tangensów, otrzymujemy

Największa różnica kątów
wystąpi, gdy

(4.88)

Zdefiniujmy zniekształcenie kątowe
w danym punkcie jako największą różnicę, co do wartości bezwzględnej, między kątem na obrazie a odpowiadającym mu kątem na oryginale,

(4.89)

Z rysunku 4.8 wynika, że największa różnica
wystąpi wtedy, gdy oba ramiona kąta
będą tworzyły z osią x' kąt
najbardziej różniący się od oryginału.

Zniekształcenie kątowe określone jest, więc wzorem:

(4.90)

4.2.5. Analiza rozkładu zniekształceń

Każdy rodzaj odwzorowania ma indywidualny, charakterystyczny rozkład zniekształceń. Miejsca zerowych zniekształceń mogą wystąpić tylko w jednym lub dwóch punktach albo ułożyć się wzdłuż jednej czy dwu linii. W miarę oddalania się od miejsc zerowych zniekształceń wartości półosi elipsy Tissota a i b coraz bardziej różnią się od jedności. Niestety, elipsę zniekształceń można stosować jedynie w celu badania i porównywania zniekształceń w poszczególnych punktach (ryć. 4.16). Nie nadaje się ona do określania zniekształceń dużych odległości, zniekształceń kątów między kierunkami wyznaczonymi przez punkty położone daleko od siebie ani zniekształceń pól dużych obszarów, np. kontynentów. Do porównań ukazujących wady i zalety różnych siatek stosuje się zazwyczaj wykreślane na podstawie obliczeń punktowych linie łączące punkty o jednakowych wartościach zniekształceń, zwane ekwideformatami (ryć. 4.15).

Ryć. 4.15. Przykład linii równych zniekształceń (ekwideformat) kątowych w siatce Mollweidego

Ekwideformaty mogą łączyć punkty o jednakowych wartościach zniekształceń długości, pól lub kątów. W niektórych siatkach wyznaczenie przebiegu ekwideformat jest bardzo proste. Na przykład liniami jednakowych zniekształceń długości w siatkach azymutalnych, walcowych i stożkowych w położeniu normalnym są obrazy równoleżników. W tych siatkach skale liniowe w kierunkach głównych zależą wyłącznie od szerokości geograficznej. Jednak w wielu siatkach, zwłaszcza umownych, ekwidefbrmaty mogą przybierać postać bardziej skomplikowanych krzywych.

Można także określać wartości przeciętnego zniekształcenia dla całego odwzorowanego obszaru lub jego części (np. kontynentu). Porównanie takich wartości w kilku odwzorowaniach można wykorzystać do wnikliwej oceny ich przydatności ze względu na przeznaczenie mapy.

A wzduż jednego zespołu linii siatki

(siatka azymutalna Postela)

B na brzegu siatki (siatka walcowa kwadratowa)

C na całej powierzchni siatki w jej punktach węzłowych (siatka Sansona)

Analizując kształty i wielkości elips zniekształceń w siatce Sansona należy zwrócić uwagę na to, że:

- elipsy wzdłuż południka zerowego i równika są kołami o jednakowych promieniach. Oznacza to brak zniekształceń wzdłuż tych linii. Mówiąc innymi słowami, równik i południk 0° są liniami zerowych zniekształceń;

- wszystkie elipsy na mapie mają takie same pola powierzchni, co oznacza równopolowość siatki;

- wraz ze wzrostem odległości od linii zerowych zniekształceń zwiększa się spłaszczenie elips Tissota, co świadczy o rosnących w tych kierunkach zniekształceniach;

- osie elips oddalonych od linii zerowych zniekształceń nie pokrywają się z kierunkami południków i równoleżników. Oznacza to, iż linie siatki geograficznej nie stanowią w tych punktach kierunków głównych.

Ryć. 4.16. Przedstawienie znieksztatceń za pomocą zmiennych ksztattów i wielkości elipsy zniekształceń

---