Krystyna Gronostaj

Zespó* Fizyki, Akademia Rolnicza

Do użytku wewnętrznego

ĆWICZENIE 3

WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIECZY

ZA POMOCĄ WAGI MOHRA

Krak*w 1998.09.18

I. Część teoretyczna

I. Część teoretyczna

1. Zasady dynamiki Newtona

Dynamika bada zależności między wzajemnymi oddziaływaniami ciał

i zmianami ruchu wywołanymi przez te oddziaływania. Liczne dane doświadczalne

i rozważania teoretyczne otrzymane przez Newtona i jego poprzedników doprowadziły do sformułowania trzech zasad dynamiki znanych jako „Zasady dynamiki Newtona”. I zasada dynamiki wyraża bardzo ważną własność ciał polegającą na tym, że każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym, dopóki działanie innych ciał nie zmusi je do zmiany tego stanu. Własność tę nazywamy bezwładnością ciała. Oddziaływanie między ciałami można opisa* posługując się pojęciem siły. Działanie siły na jakieś ciało może przejawiać się, albo w zmianie ruchu tego ciała (zmianie prędkości), lub w zmianie kształtu lub wymiarów ciała (odkształcenie). Miarą siły (a więc oddziaływań) jest wielkość skutku, jaki ona wywołuje.

I zasadę dynamiki możemy sformułowa* następująco:

Gdy na ciało nie działa żadna siła lub gdy wypadkowa sił działających na nie równa się zeru, wtedy ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada dynamiki ustala związek pomiędzy wzajemnym oddziaływaniem ciał a zmianą charakteru ruchu postępowego. Jedno ze sformułowań brzmi: ciało, na które działa niezrównoważona siła porusza się ruchem zmiennym, z przyspieszeniem proporcjonalnym do wartości siły i skierowanym tak jak działająca siła

(1)

Współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność masy ciała. Masa jest w tym przypadku miarą bezwładności ciała i nazywa się masą bezwładną.

Możemy zatem napisać:

lub (2)

Jednostką siły w układzie SI jest 1 niuton (1 N). Jest to siła, która ciału o masie 1 kg nadaje przyspieszenie 1 m/s².

Zależność (2) jest spełniona tylko wtedy, gdy masa ciała jest stała. Według szególnej teorii względności masa ciała zmienia się wraz z jego prędkością zgodnie ze wzorem:

(3)

gdzie: m - masa ciała w ruch

m₀ - masa ciała w spoczynku

v - prędkość ciała

c - prędkość światła

Wzór (2) jest zatem w przybliżeniu s*uszny w przypadku gdy prędkość ciała jest znacznie mniejsza od prędkości *wiatła.

Ważnym przykładem układu o zmiennej masie jest rakieta. W czasie ruchu wyrzuca ona gaz z dużą prędkością zmniejszając dzięki temu swoją masę i zwiększając prędkość.

Gdy ruch ciała odbywa się ze zmienną masą, należy poda* inne sformułowanie II zasady dynamiki Newtona. Wymaga to jednak zdefiniowania nowych wielkości dynamicznych: pędu ciała i popędu siły.

Pędem ciała nazywamy wielkość wektorową będącą iloczynem masy ciała i jego prędkości.

(4)

Popędem si*y π nazywamy iloczyn siły i czasu jej działania

dla stałej siły

dla zmiennej siły

II zasada dynamiki w psotaci ogólnej brzmi:

Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły.

(5)

lub

(5a)

Wzór (6) lub (6a) jest ogólniejszy niż wzór (2), gdyż jest słuszny zarówno wtedy, gdy masa jest stała jak i wtedy gdy masa zmienia się.

Powyższe zasady zostały sformułowane dla przypadku, gdy na ciało działa tylko jedna siła. Doświadczenie pokazuje, że postać wzorów nie zmieni się, gdy na ciało działa jednocześnie kilka sił. Każda z sił działających na ciało nadaje mu przyspieszenie określone przez II zasadę dynamiki, tak jakby inne siły nie działały, a więc przyspieszenie całkowite , jekie nadają ciału jednocześnie dzia*ające siły wynosi:

(6)

uwzględniając wzór (2) możemy zapisać:

(6a)

podstawiajac otrzymujemy:

Znając siły działające na ciało można wyznaczyć przyspieszenie, prędkość oraz położenie ciała w dowolnej chwili wykonując dwie kolejne operacje całkowania:

III zasada dynamiki Newtona

Gdy ciało A działa na ciało B siłą , wtedy ciało B działa jednocześnie na ciało A siłą równą co do wartości, równoległą i przeciwnie zwróconą.

(7)

Siły akcji i reakcji działają jednocześnie, ale nie mogą się równoważyć, ponieważ są przyłożone do różnych ciał.

Zasady dynamiki Newtona możemy stosować również w odniesieniu do układu punktów materialnych oddziałujących ze sobą. Wzajemne położenia poszczególnych punktów materialnych mogą się zmieniać w czasie w skomplikowany sposób. Istnieje jednaka w układzie jeden punkt, którego ruch da się łatwo opisać. Punktem tym jest „środek masy”.

Środek masy układu n punktów materialnych o masach m₁, m₂, ..., m_n i promieniach wodzących w określonym układzie odniesienia zdefiniowany jest jako punkt materialny o masie M = m₁ + m₂ + ... + m_n i promieniu wodzącym równym:

(7a)

Dla ciała o budowie ciągłej (7b)

gdzie M - masa ciała

Położenie środka masy nie zależy od przyjętego układu współrzędnych, zależy jedynie od mas punktów materialnych i od ich wzajemnego rozmieszczenia.

Równanie (7a) można zapisać w postaci:

(7c)

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu otrzymujemy kolejno:

(7d)

oraz

(7e)

Równanie (7e) można przedstawić jako:

(7f)

Jak widać:

1) iloczyn całkowitej masy układu przez prędkość środka masy jest równy sumie pędów poszczególnych punktów materialnych (7d)

2) iloczyn całkowitej masy układu przez przyspieszenie środka masy jest równe sumie wszystkich sił działających na układ (na poszczególne punkty materialne). (7f)

Wśród sił występują zarówno siły zewnętrzne jak i wewnętrzne (siły wzajemnego oddziaływania poszczególnych punktów materialnych między sobą). Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona siły wewnętrzne występują parami, mają te same wartości, te same kierunki lecz przeciwne zwroty, dlatego też nie wnoszą nic do sumy sił w równaniu (7f).

Środek masy porusza się w taki sposób jakby cała masa była w nim skupiona i jakby wszystkie siły zewnętrzne na niego działały.

Gdy na układ n punktów materialnych nie działają siły zewnętrzne lub działające siły zewnętrzne równoważą się, wówczas środek masy tego układu pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

2. Prawo powszechnego ciążenia

Doświadczenia związane z ruchami planet, spadaniem ciał, ruchem wahadeł itp. dowodzą istnienia sił wzajemnego przyciągania się ciał. W roku 1697 Isaak Newton sformułował prawo , któremu podlegają te oddziaływania. Prawo to nosi nazwę prawa powszechnego ciążenia (grawitacji), a siły podlegające temu prawu są siłami ciążenia (grawitacyjnymi). Prawo powszechnego ciążenia mówi, że siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m₁ i m₂ znajdującymi się w odległości r od siebie jest siłą przyciągającą skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty i ma wartość

(8)

gdzie G - stała grawitacji -uniwersalna stała mająca tę samą wartość dla wszystkich par punktów.

Siły grawitacyjne stanowią parę sił akcja-reakcja, a zatem zgodnie z (7)

- siła z jaką ciało 2 działa na ciało 1

Rys.1 Wzajemne oddziaływanie ciał.

- siłą z jaką ciało 1 działa na ciało 2

Prawo powszechnego ciążenia możemy zapisać w postaci wektorowej:

(9)

gdzie

Prawo powszechnego ciążenia w postaci (8) i (9) dotyczy oddziaływania dwóch punktów materialnych znajdujących się w pewnej odległości od siebie. Jeśli chcemy określić siłę oddziaływania pomiędzy dwoma ciałami rozciągłymi, musimy potraktować każde z nich jako złożone z punktów materialnych, a następnie obliczyć oddziaływanie pomiędzy wszystkimi możliwymi parami punktów. Siła oddziaływania będzie sumą wszystkich możliwych oddziaływań. Rowiązanie tego problemu jest możliwe przy zastosowaniu rachunku całkowitego.

Okazało się jednak, że można tego uniknąć w następujących przypadkach:

a) gdy oba ciała mają kształt kulisty, a ich gęstości są stałe lub zależą tylko od odległości od środka tych ciał

b) gdy rozmiary jednego z tych ciał są wielokrotnie mniejsze od rozmiarów drugiego, przy czym to większe ciało jest kulą o stałej gęstości, lub gęstości zmieniającej się wraz z odległością od środka kuli.

Praktycznie problemy związane z oddziaływaniami grawitacyjnymi można sprowadzić do powyższych dwóch przypadków. Można zatem stosować wzory (8) i (9) nie tylko w przypadku mas punktowych ale również rozciągłych, przy czym jako r należy przyjąć odległość pomiędzy środkami mas tych ciał.

Jak wiadomo, siła grawitacji działająca na ciało jest proporcjonalna do jego masy, którą w tym przypadku nazywamy masą grawitacyjną. Doświadczenia wykazały, że masa grawitacyjna i występujące we wzorze (2) masa bezwładna są sobie równe.

3. Ciężar ciała

Ciężar ciała jest w przybliżeniu równy sile grawitacji wynikającej z oddziaływania danego ciała z Ziemią. Siła ta ma postać:

(8a)

gdzie: m - masa ciała

M_z - Masa Ziemi

R_z - promień Ziemi

Siłę grawitacji możemy zapisać w postaci:

F = m g gdzie g - przyspieszenie grawitacyjne

Gdyby Ziemia była jednorodną kulą, wówczas przyspieszenie ziemskie byłoby jednakowe we wszystkich miejscach na Ziemi a na wysokości h nad Ziemią wyrażałoby się wzorem

(10)

W rzeczywistości na wartość przyspieszenia ziemskiego wpływają takie czynniki jak: budowa geologiczna podłoża, rzeźba terenu, wysokość nad poziomem morza. Wymaga to wprowadzenia poprawek redukujących wartość przyspieszenia ziemskiego. Problemem tym zajmuje się geofizyka.

Przyspieszenie ziemskie na szerokości geograficznej 45* na poziomie morza jest w przybliżeniu równe 9.81 m/s² i nosi nazwę przyspieszenia ziemskiego normalnego.

Przyspieszenie ziemskie dla Krakowa wynosi g = 9.81054 m/s².

Aby dokładnie wyznaczyć ciężar ciała należy wprowadzić poprawki uwzględniające:

a) niekulistość Ziemi

Na skutek ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi, Ziemia jest spłaszczona na biegunach. Promień Ziemi na biegunach jest mniejszy o około 21 km niż promień na równiku, co prowadzi do zmniejszenia siły grawitacji na równiku o około 0.66% w porównaniu z siłą grawitacji na biegunach.

b) siłę odśrodkową bezwładności

Na każde ciało na Ziemi działa siła odśrodkowa bezwładności, która wyraża się wzorem

(11)

gtdzie : T - okres obrotu Ziemi wokół własnej osi

ϕ - szerokość geograficzna

Siła odśrodkowa osiąga największą wartość na równiku i powoduje zmniejszenie ciężaru ciała o około 0.34% w porównaniu z ciężarem ciała na biegunach.

c) siłę wyporu w powietrzu

Jeśli uwzględnimy działającą na ciało siłę wyporu w powietrzu, wówczas ciężar ciała będzie pomniejszony o około 0.01%.

d) oddziaływanie grawitacyjne Księżyca

Poprawka wynikająca z oddziaływania grawitacyjnego Księzyca wynosi około 0.0003%.

e) oddziaływanie grawitacyjne Słońca

Poprawka wynikająca z oddziaływania grawitacyjnego Słońca wynosi około 0.000005%.

Z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że ciężar ciała jest siłą wypadkową siły grawitacji i siły odśrodkowej (rys. 2). Poprawki wynikające z oddziaływania grawitacyjnego Księżyca i Słońca można pominąć, natomiast poprawkę wynikającą z działania siły wyporu w powietrzu przy bardzo dokładnych pomiarach należy uwzględnić.

Rys. 2. Ciężar ciała w różnych punktach na Ziemi.

W rzeczywiskości kierunki siły i różnią się nieznacznie.

4. Ciężar właściwy, gęstość ciała

Cię*ar właściwy ciała γ jest to ciężar jednostki objętości tego ciała i wyraża się stosunkiem ciężaru ciała do jego objętości.

(12)

gdzie - ciężar ciała

V - objętość

Jednostką ciężaru właściwego w układzie SI jest 1 N/m³.

Ciężar właściwy nie jest niezmienną cechą danego rodzaju substacji ponieważ w różnych miejscach na Ziemi ta sama substancja ma różny ciężar właściwy.

Wielkością, która charakteryzuje substancję i nie zależy od miejsca na powierzchni Ziemi jest gęstość lub inaczej masa właściwa ciała. Gęstość jest to masa jednostki objętości ciała i wyraża się stosunkiem masy ciała do jego objętości

w przypadku ciał jednorodnych (13)

oraz dla ciał niejednorodnych. Gęstość wyrażamy w kg/m³.

Gęstością względną nazywamy stounek gęstości dwóch substancji. Najczęściej gęstość względną określa się w stosunku do wody destylowanej.

Ciężar właściwy i gęstość są związane zależnością:

5. Zależność ciężaru właściwego i gęstości ciała od temperatury

Jak wiadomo, objętość ciała zależy od warunków zewnętrznych, w jakich ciało się znajduje tj. temperatury i ciśnienia.

Zależność objętości od temperatury przedstawia się w przybliżeniu następująco:

(14)

gdzie V₀ - objętość ciała w temperaturze T₀

V_T - objętość ciała w temperaturze T

ΔT - przyrost temperatury (ΔT = T - T₀)

a, b, c, β, γ - stałe charakterystyczne dla danego ciała

Na ogół ze wzrostem temperatury objętość wzrasta co prowadzi do zmniejszenia zarówno gęstości ciała jak i jego cięzaru właściwego.

Niektóre ciecze, a zwłaszcza woda, wykazują pewne charakterystyczne anomalie. W zakresie temperatur od 0° - 4°C objętość wody maleje, a powyżej 4° C rośnie jak dla innych ciał.

Ze wzrostem ciśnienia objętość ciał maleje, co prowadzi do zwiększenia ich ciężaru właściwego i gęstości.

6. Metoda pomiaru gęstości

Metoda pomiaru gęstości zastosowana w tym ćwiczeniu opiera się na prawie Archimedesa. Prawo to jest podstawowym prawem hydrostatyki. Aby bliżej zapoznać się z tą metodą należy przedstawić kilka faktów dotyczących zachowania się płynów (cieczy i gazów) w polu grawitacyjnym.

7. Ciśnienie wewnątrz płynu

Aby opisać działanie siły na płyn wprowadzamy ciśnienie p. Ciśnienie jest zdefiniowane jako stosunek siły F prostopadłej do powierzchni do wielkości tej powierzchni S

(15)

W statyce płynów traktujemy ciśnienie jako wielkość skalarną. Jednostką ciśnienia jest 1 pascal (1Pa). Jest to wartość ciśnienia wywieranego przez siłę 1N na powierzchnię 1 m².

Rozważmy pewien płyn o ciężarze właściwym γ znajdującym się w równowadze. W równowadze jest więc każdy element objętości tego płynu. Jeżeli przyjmiemy, że element ten ma kształt dysku o powierzchni S i grubości dz, wówczas jego ciężar

Siły wywierane na wybrany element przez otaczający płyn są w każdym punkcie prostopadłe do jego powierzchni (rys. 3).

Rys. 3. Siły działające na element objętości płynu.

Siły działające na boczną ściankę wybranego elementu objętości są skierowane poziomo, natomiast na ściankę dolną i górną - pionowo.

Warunkiem równowagi elementu objętości jest równoważenie się sił działających zarówno w kierunku poziomym jak i pionowym. W kierunku poziomym działają jedynie siły wywierane przez otaczający płyn. Ze względu na symetrię siły te równoważą się na każdej wysokości z. W kierunku pionowym działają następujące siły (rys. 3):

- siła wywierana przez otaczający płyn na górną powierzchnię elementu cieczy

- siła wywierana przez otaczający płyn na dolną powierzchnię elementu cieczy

- ciężar rozpatrywanego elementu cieczy.

Aby siły działające w kierunku pionowym równoważyły się, wypadkowa sił F₁ i F₂ musi być różna od zera i skierowana przeciwnie do ciężaru rozpatrywanego elementu objętości.

.Rys. 4. Siły działajce w kierunku pionowym na wybrany element objętości.

W wybranym układzie współrzędnych warunek równowagi przyjmuje postać:

(16)

(17)

(18)

(19)

Aby wykonać całkowanie (6), należy znać gęstość q jako funkcję wysokości z, oraz należy uwzględnić zależność przyspieszenia ziemskiego g od wysokości.

a) W przypadku cieczy gęstość jest praktycznie stała, gdyż ciecze są prawie nieściśliwe. Zmiany wysokości są na tyle małe, że można zaniedbać zmiany przyspieszenia ziemskiego wraz z wysokością. Przyjmując w równaniu (6) q i g za stałe otrzymujemy dla jednorodnych cieczy

(20)

Jeśli jako poziom odniesienia przyjmujemy powierzchnię swobodną cieczy, wówczas ciśnienie p₂ jest równe zazwyczaj ciśnieniu atmosferycznemu p₀, różnica poziomów (z₂ - z₁), jest równa głębokości cieczy h, ciśnienie na dowolnym poziomie z₁ wynosi p. Wzór (7) przybiera postać:

(21)

Ciśnienie p panujące w cieczy na głębokości h jest zatem sumą ciśnienia zewnętrznego p₀ i wielkości ρgh zwanej ciśnieniem hydrostatycznym.

Graficznie zależność tę dla wody przedstawia rys. 5.

Rys. 5. Ciśnienie w wodzie na różnych głębokościach.

We wszystkich punktach znajdujących się na tej samej głębokości w cieczy ciśnienie jest jednakowe.

b) Dla gazów gęstość ρ jest w porównaniu z gęstością cieczy , a więc i zmiana gęstości wraz z wysokością, spowodowana ściśliwością gazów, jest również niewielka. W przypadku gazu znajdującego się w naczyniu można z dobrym przybliżeniem przyjąć, że ciśnienie jest jednakowe we wszystkich punktach.

Gdy wysokość słupa gazu jest duża, powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe. W tym przypadku należy uwzględnić zmiany gęstości gazu wraz z wysokością.

Aby obliczyć ciśnienie powietrza na wysokości h nad poziomem morza przyjmujemy następujące założenia:

a) przyspieszenie ziemskie jest stałe,

b) temperatura powietrza jest stała (założenie to znacznie ułatwia rachunki, ale nie jest całkowicie poprawne),

c) powietrze traktujemy jak gaz doskonały.

Uwzględniając powyższe założenia oraz wzór (7) otrzymujemy zależności ciśnienia atmosferycznego p od wysokości h (rys. 4).

(22)

gdzie: p₀ - ciśnienie na poziomie morza

ρ₀ - gęstość na poziomie morza

g - przyspieszenie ziemskie

Wzór 22 znamy jako „wzór barometryczny”

Rys. 6. Zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości.

W rzeczywistości zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości różni się od przedstawionej na rysunku 6. Główne przyczyny różnic to:

1) ruch mas powietrza w atmosferze ziemskiej,

2) zmiana przyspieszenia ziemskiego wraz z wysokością.

Atmosfera Ziemi rozciąga się na wysokości około 100 km, przy czym 9/10 masy atmosfery ziemskiej mieści się w warstwie o wysokości 16 km: jest to tzw. troposfera. Względna zmiana przyspieszenia ziemskiego na wysokości 16 km nad poziomem morza wynosi około 0.5%.

3) obniżanie się temperatury w miarę wzrostu wysokości.

Temperatura powietrza w troposferze maleje o około 6,5° na km, przyjmując na wysokości 15 km wartość 190 K (-83°C). Wynika to z faktu, że powietrze nie jest ogrzewane bezpośrednio przez promienie słoneczne, lecz pośrednio od nagrzanej powierzchni Ziemi i dlatego temperatura dolnych warstw atmosfery jest wyższa. Jak widać, założenie, że temperatura powietrza jest stała, nie jest prawdziwe.

Jak wynika ze wzrów (19) i (22) ciśnienie hydrostatyczne w wodzie na głębokości 1 km ma wartość p = 100 p₀, natomiast ciśnienie atmosferyczne na wysokości 1 km ma wartość p = 0.88 p₀ (p₀ - ciśnienie na poziomie morza).

8. Prawo Pascala

Jak wiadomo, ciśnienie p jest zdefiniowane jako stosunek siły F działającej prostopadle do powierzchni do wielkości tej powierzchni S (wzór 15).

W każdym wewnętrznym punkcie płynu (cieczy lub gazu) możemy umieścić powierzchnię ograniczającą (np. wsunąć przegrodę lub zanurzyć kawałek ciała stałego) i określić ciśnienie na tej powierzchni. Możemy powiedzieć, że jest to ciśnienie wewnątrz płynu nawet wówczas, gdy nie ma tam żadnej rzeczywistej powierzchni ograniczającej. Pascal odkrył, że ciśnienie w danym punkcie płynu w stanie równowagi nie zależy od ustawienia powierzchni, na którą działa. W nieobecności sił grawitacyjnych ciśnienie w każdym punkcie płynu jest jednkowe. Natomiast w obecności sił grawitacyjnych, ciśnienie w punkcie znajdującym się na głębokości h, dane jest wzorem: p = p₀ + ρhg.

Jeśli ciśnienie zewnętrzne zwiększy się o Δp, wtedy ciśnienie na dowolnej głębokości wzrośnie o tę samą wartość Δp. Na głębokości h wynosić będzie:

Ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest więc przekazywane niezmienione na każdą część płynu i na ścianki naczynia.

9. Prawo Archimedesa

Rozważmy płyn znajdujący się w równowadze dynamicznej. Każdy element objętości tego płynu znajduje się więc w rónowadze. Wyróżnijmy element płynu o objętości V i dowolnym kształcie. Ciężar płynu zawartego w tej objętości wynosi Q = ρgV. Ponieważ rozważany element płynu znajduje się w rónowadze, oznacza to, że siła , z jaką otaczający płyn działa na wybrany element, równoważy siłę ciężkości Q.

stąd wynika, że

Siła jest skierowana przeciwnie do siły ciężkości i nazywa się siłą wyporu.

Jeśli wyróżnioną porcję płynu zastąpimy przez dowolne ciało o takim samym kształcie i objętości V, wówczas otaczający płyn będzie działał na to ciało z taką samą siłą F. Wypadkowa siła działająca na ciało będzie równa:

gdzie: Q_c - ciężar ciała.

Prawo Archimedesa możemy sformułować następująco: na każde ciało zanurzone częściowo lub całkowicie w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do góry i równa co do wartości ciężarowi wypartego przez to ciało płynu.

(23)

gdzie: V - objętość zanurzonej części ciała

ρ - gęstość cieczy

g - przyspieszenie ziemskie

10. Waga Mohra (lub waga Westphala)

Waga Mohra (rys.7) jest odmianą wagi belkowej. Ramię wagi, na której wisi pływak B jest podzielone na dziesięć części. Drugie ramię jest zaopatrzone w odpowiedni ciężarek równoważący ciężar pływaka i w kolec K, który służy do kontroli ustawienia belki wagi w położeniu poziomym (kolec K na ramieniu wagi powinien znajdować się na wprost nieruchomego kolca umieszczonego na oprawie wagi).

Rys. 7

Zamiast tradycyjnych odważników używamy tzw. odważników-koników, których ciężary pozostają w stosunku 1 : 0,1 : 0,01. Jeżeli przyjmiemy, że obciążenie największego konika zawieszonego na końcu belki (na haczyku) jest równe 1, to ten sam konik umieszczony np. na 6-tym kołku będzie dawał obciążenie 0,6, natomiast konik o ciężarze 0,1 zawieszony w 4-tym kołku daje obciążenie 0,04. Oba koniki jednocześnie dają obciążenie 0,64. Obciążenie f zależy, jak widać, nie tylko od ciężaru koników ale również od ich odległości od osi obrotu, jest zatem odpowiednikiem momentu siły. Ponieważ obciążenie f nie jest wyrażone w jednostkach momentu siły (N m), lecz w jednostkach własnych przyrządu, możemy zatem napisać związek:

M = k f

gdzie k - współczynnik proporcjonalności wynikający z dopasowania jednostek.

a) Ustawienie wagi

Po odkręceniu śruby R wysuwamy belkę wagi na odpowiednią wysokość. Śruba S oraz belka wagi powinny się znajdować w jednej płaszczyżnie. Zaczepiamy pływak i za pomocą śruby S ustawiamy wagę tak, aby belka znalazła się w położeniu poziomym. Podczas pomiarów nie zmieniamy ustawienia wagi.

b) Zasada pomiaru

Wyznaczanie gęstości za pomocą wagi Mohra sprowadza się do wyznaczenia siły wyporu działającej na pływak zanurzony całkowicie w wodzie destylowanej a następnie w badanej cieczy.

c. Wyprowadzenie wzorów

Pływak (o objętości V) zanurzamy całkowicie w wodzie destylowanej o gęstości ρ_w. Na pływak ten działa siła wyporu o wartości:

F_w = V ρ_w g

Równowaga zostaje zachwiana. Aby ją przywrócić zawieszamy na kołkach ramienia wagi odpowiednie koniki. Obciążenie wynosi f₁. Zanurzamy następnie pływak w cieczy o nieznanej gęstości ρ_x. Podobnie jak w wodzie, działa na niego siła wyporu o wartości F_w, moment siły wyporu wynosi więc M=F'_w l, gdzie l - długość ramienia na którym wisi pływak a zarazem ramię siły wyporu.

(24)

k - współczynnik proporcjonalności

Jeżeli następnie pływak zanurzymy w badanej cieczy i przywrócimy równowagę obciążeniem f_x to podobnie jak dla wody

(25)

ρ_x - gęstość badanej cieczy

Po podzieleniu obu powyższych równań przez siebie i uproszczeniu otrzymamy:

(26)

II. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie działania wagi Mohra oraz wyznaczenie gęstości cieczy.

III. Wykonanie ćwiczenia

1. Ustawić wagę zgodnie z instrukcją podaną w punkcie 10a.

2. Zanurzyć pływak całkowicie w wodzie destylowanej. Przywrócić równowagę wieszając opowiednie koniki-obciążenie f₁.

3. Sporządzić wodny roztwór NaCl o stężeniu C=11 g/100cm³ (odważyć 11 g soli i uzupełnić wodą do 100 cm³). Zanurzyć pływak w roztworze, obciążenie f₂.

4. Rozcieńczyć poprzedni roztwór do stężenia C₁ = 7 g/100cm³ (patrz uwaga na końcu instrukcji i wyznaczyć obciążenie w tym roztworze - f₃.

5.Zmierzyć temperaturę t.

Wyniki pomiarów zestawić w tabeli

konik substancja	a	0,1a	0,01a	obciążenie całkowite
woda destylowana				f1=
roztwór o stężeniu C				f2=
roztwór o stężeniu C1				f3=

W tabeli tej notujemy numer kołka, na którym znajduje się dany konik. Obciążenie całkowite obliczamy tak jak objaśniono na początku instrukcji.

IV. Opracowanie wyników

1. Obliczyć gęstość cieczy ze wzoru 3 wstawiając w miejsce f_x kolejno: f₂ i f₃, a za ρ_w (gęstość wody) wartość odczytaną z tabeli.

2. Błąd gęstości możemy liczyć metodą logarytmiczną lub różniczki zupełnej.

UWAGA: Aby otrzymać roztwór o stężeniu C₁ należy x cm³ roztworu C uzupełnić wodą destylowaną do objętości 100 cm³.

Rozcieńczenie roztworu:

w 100 cm³ roztworu - C gramów soli

w x cm³ roztworu - C₁ gramów soli

stąd

Tabela gęstości wody w różnych temperaturach

t [°C]	ρw [g/cm^3]	t [°C]	ρw [g/cm^3]	t [°C]	ρw [g/cm^3]
10	0,99973	17	0,99880	24	0,99730
11	0,99963	18	0,99862	25	0,99704
12	0,99953	19	0,99843	26	0,99678
13	0,99940	20	0,99823	27	0,99651
14	0,99927	21	0,99802	28	0,99623
15	0,99913	22	0,99780	29	0,99594
16	0,99897	23	0,99757	30	0,99565

V. Literatura

1. T. Dryński - Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki

2. D. Holliday, R. Resnick - Fizyka, tom I

3. J. Orear - Fizyka, tom I

4. Sz. Szczeniowski - Fizyka doświadczalna, cz. 1

5. Encyklopedia Fizyki, tom I

---