IWB	wyznaczanie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej	06.05.2009r.
Nr. 9

1. Wprowadzenie

Jedną z powszechnie stosowanych i prostych metod wyznaczenia gęstości cieczy jest metoda, w której wykorzystuje się wagi hydrostatyczne. W naszym ćwiczeniu będziemy się posługiwać wagą Westphala. Jest to rodzaj wagi belkowej, w której jedno ramię jest znacznie dłuższe od drugiego. Zasada działania polega na doprowadzeniu do zrównoważenia momentów sił działających na oba ramiona wagi. Na końcu krótszego ramienia znajduję się ciężarek ze wskazówką, który równoważy ciężar zawieszony na drugim ramieniu. Drugie, dłuższe ramię podzielone jest na dziesięć równych części i ponumerowane, zaczynając od osi obrotu (podparcia) cyframi od 0 do 10. Na końcu ramienia zamocowany jest haczyk, na którym zawieszony jest pływak (szklana, zamknięta ampułka z rtęcią). W powietrzu ciężar pływaka równoważony jest przez ciężarek zamocowany na stałe do krótszego ramienia. Po zanurzeniu nurka w cieczy działa na niego, m. in. siła wyporu hydrostatycznego, której wartość określa prawo Archimedesa.

F_wyp = ρ_c V_c g

gdzie:

F_wyp – siła wyporu hydrostatycznego,

ρ_c – gestość cieczy,

V_c – objętość wypartej cieczy (równa objętości nurka),

g - przyspieszenie ziemskie.

Na dłuższe ramię wagi działa więc teraz moment siły (skierowany ku górze), równy:

M = F_wyp * R

gdzie:

R – długość ramienia belki.

Aby ponownie zrównoważyć wagę, na nożach dłuższego ramienia zawieszamy ciężar (koniki), dobierając ich masę tak , aby wypadkowa suma momentów sił, była równa momentowi siły wyporu.

M= $\sum_{i = 1}^{10}{m_{i}\ r_{i}}$

gdzie:

m_i - masa zawieszona na i-tym nożu,

r_i – odległość i-tego noża od soi podparcia belki wagi.

Masa zastępcza m_z – masa ciężarka, zawieszonego na nożu 10 (końcowym), którego ciężar pomnożony przez długość ramienia wagi R, daje moment siły, równy momentowi siły ciężarka wywołanemu przez ciężarek zawieszony na nożu od 1 do 9. Równoważność tę wyraża równanie:

m_zgR = $\frac{\text{agnR}}{10}$

gdzie:

a – masa zawieszonego konika,

n – numer noża,

czyli m_z = $\frac{\text{an}}{10}$

Oczywiście, jeżeli do zrównoważenia wagi potrzeba więcej niż jednego odważnika, wówczas

m_zc =$\sum_{i}^{\ }m_{\text{zi}}$

Podstawiając do wcześniejszego równania odpowiednie zmienię otrzymujemy:

F_wyp * R = m_zc g R => ρ_c V_c g R = m_zc g R => ρ_c = $\frac{m_{\text{zc}}}{V}$.

Ponieważ objętość wypartej cieczy jest równa objętości nurka i jest wielkością znaną, pozostaje wyznaczyć m_zc dla obliczenia gęstości cieczy. Obliczanie m_zc przestawione powyżej jest uproszczone. Po uwzględnieniu innych sił towarzyszących zanurzenia nurka w cieczy (np. siły przylegania cieczy) dokładną wartość całkowitej masy zastępczej powinno się wyznaczać z zależności:

m_zc’ = m_z + m_ze + 0,0012

gdzie: e = 0,0002.

rodzaj cieczy	nr. noża	masa konika	mz	mzc
woda	1	10	1
	7	0,1	0,07	9,97
	8	10	8
	9	1	0,9
woda z solą	2	10	2	11,5
	5	1	0,5
	9	10	9
denaturat	4	1	0,4	8,4
	8	10	8
gliceryna	3	10	3
	5	1	0,5	12,5
	9	10	9

Obliczenia:

m_z = a * n /10 , m_zc = $\sum_{}^{}m_{z}$ lub m_zc = m_z + m_z * 0,0002 + 0,0012

dla wody:

m_z1 = 1 * 10 / 10 = 1 g

m_z2 = 7 * 0,1 / 10 = 0,07 g

m_z3 = 8 * 10 / 10 = 8 g

m_z4 = 9 * 1 / 10 = 0,9 g

m_zc = 1 + 0,07 + 8 + 0,9 = 9,97 g lub m_zc = 9,97 + 9,97 * 0,0002 + 0,0012 = 9,973194g

dla wody z solą:

m_z1 = 2 * 10 / 10 = 2 g

m_z2 = 5 * 1 / 10 = 0,5 g

m_z3 = 9 * 10 / 10 = 9 g

m_zc = 2 + 0,5 + 9 = 11,5 g lub m_zc = 11,5 + 11,5 * 0,0002 + 0,0012 = 11,5035g

dla denaturatu:

m_z1 = 4 * 1 / 10 = 0,4 g

m_z2 = 8 * 10 / 10 = 8 g

m_zc = 0,4+8 = 8,4 g lub m_zc = 8,4 +8,4 * 0,0002 +0,0012 =8,40288g

dla gliceryny:

m_z1 = 3 * 10 / 10 = 3 g

m_z2 = 5 * 1 / 10 = 0,5 g

m_z3 = 9 * 10 / 10 = 9 g

m_zc = 4 + 0,5 + 8 = 12,5 g lub m_zc = 12,5 + 12,5 * 0,0002 + 0,0012 = 12,5037 g

Obliczanie gęstości:

ρ_c = m_zc / V V = 10 cm³

dla wody: ρ_c = 9,97 / 10 = 0,997 g/cm³

dla wody z solą: ρ_c = 11,5 / 10 = 1,15 g/cm³

dla denaturatu : ρ_c = 8, 4 / 10 = 0,84 g/cm³

dla gliceryny: ρ_c = 12,5 / 10 = 1,25 g/cm³

Obliczania niepewności:

u (m_zc) = $\sqrt{\frac{{u(\text{md})}^{2} + {u(\text{me})}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{(0,01)}^{2} + {(0,01)}^{2}}{3}}$ = 0,008

u (ρ) = $\sqrt{({\frac{1}{V}\ u(m_{\text{zc}}))}^{2}}$

dla wody: u (ρ) = $\sqrt{({\frac{1}{10}\ )}^{2}*0,008}$ = 0,0008 g/cm³

dla wody z solą: u (ρ) = $\sqrt{({\frac{1}{10}\ )}^{2}*0,008}$ = 0,0008 g/cm³

dla denaturatu: u (ρ) = $\sqrt{({\frac{1}{10}\ )}^{2}*0,008}$ = 0,0008 g/cm³

dla gliceryny: u (ρ) = $\sqrt{({\frac{1}{10}\ )}^{2}*0,008}$ = 0,0008 g/cm³

Gęstości dla poszczególnych cieczy:

dla wody: ρ = (0,997 ± 0,0008 ) g/cm³

dla wody z solą: ρ = (1,15 ± 0,0008 ) g/cm³

dla denaturatu: ρ = (0,84 ± 0,0008 ) g/cm³

dla gliceryny: ρ = (1,25 ± 0,0008 ) g/cm³

Wnioski:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie gęstości cieczy tj. wody, wody z solą, denaturatu i gliceryny za pomocą wagi Westphala. Wynik, które otrzymaliśmy na poszczególnych cieczy przedstawiają się następująco: gęstość dla wody: ρ = (0,997 ± 0,0008 ) g/cm³ , dla wody z solą: ρ = (1,15 ± 0,0008 ) g/cm³, dla denaturatu: ρ = (0,84 ± 0,0008 ) g/cm³ i dla gliceryny: ρ = (1,25 ± 0,0008 ) g/cm³. Temperatura naszych cieczy to około 20°C, a wartości tablicowe gęstości tych cieczy (w tej temperaturze) wynoszą odpowiednio: dla wody – 0,998 g/cm³, dla wody z solą (woda morska) – 1,01 – 1,05 g/cm³, dla denaturatu (alkoholu etylowego) – 0,7893 g/cm³ a dla gliceryny – 1,26 g/cm³. Trzeba także pamiętać o tym, że gęstość wody i gliceryny jest zależna od temperatury (im wyższa temperatura tym mniejsza gęstość), natomiast gęstość denaturatu zależy od zawartości % alkoholu etylowego (im mniejsza zawartość tym większa gęstość), a gęstość wody z solą zależy od zasolenia (im większa zawartość soli tym większa gęstość) a także od temperatury (im wyższa tym mniejsza gęstość). Porównując te wartości widzimy ze wyniki które otrzymaliśmy pokrywają się z wartościami tablicowymi (oczywiście porównując je także z niepewnościami, które otrzymaliśmy).