30.a) Jaki obszar przestrzenny nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny O_xy (O_xz lub O_yz )? Twierdzenie o zamianie całki potrójnej po obszarze normalnym na całkę iterowaną.

Obszar V w przestrzeni R³ nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny O_xy, jeżeli określony jest następująco:

gdzie ϕ,φ są funkcjami ciągłymi a D jest obszarem normalnym (względem O_x lub O_y ).

Analogiczne definiuje się obszar V normalny względem O_xz lub O_yz.

tw. o zamianie całki potrójnej po obszarze normalnym na całkę iterowaną.

Jeżeli
jest funkcją ciągłą na obszarze V normalnym względem O_xy,to ma miejsce wzór:

Jeśli
jest obszarem regularnym, będącym suma obszarów normalnych (względem którejś z płaszczyzn układu) takich, że
(-zbiór pusty), to

30.b) Oblicz całkę:

x + 2y + 2z = 2 ; x = 0 ; y = 0 ; z = 0

x = 0 ; x = 2 - 2y - 2z ; y = 0 ; z = 0

z = 0 i x = 2

0 ≤ x ≤ 2

2y = 2 - x - 2z / :2

y = 1 - (1/2)x - z ; y = 0 ; z = 0

y = 1-(1/2)x

0 ≤ y ≤ 1 - (1/2)x

z = 0 ; 2z = 2 - x - 2y /:2

z = 1 - (1/2)x - y

0 ≤ z ≤ 1 - (1/2)x - y

---