1.12.2009

Wykazać, że funkcja
nie posiada granicy przy

Dowód

Ponieważ ciąg
gdzie
przy
dąży do
a ciąg o wartościach funkcji
nie posiada granicy, gdyż

sin(α+β)=sinα cosβ+sinβ cosα

więc funkcja
nie posiada granicy przy

Definicja

1. Niech funkcja
   będzie określona dla
   takich, że
   
   . Mówimy, że funkcja
   ma granicę prawostronną w
   jeżeli istnieje liczba
   spełniająca warunek

2. Niech funkcja
   będzie określona dla
   takich, że
   
   . Mówimy, że funkcja
   ma granicę lewostronną w
   jeżeli istnieje liczba
   spełniająca warunek

Piszemy wtedy

TWIERDZENIE 1

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

.

Funkcja
ma granice
w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy
posiada w
obie granice jednostronne

równe sobie
i równe
.

Skończoną granicę
funkcji
w
nazywamy granicą właściwą.

W przypadku funkcji nieograniczonej
w otoczeniu lub sąsiedztwie
, takich przy
mówimy o granicach niewłaściwych.

Definicja

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

.

Mówimy, że
posiada w
granicę

• 
  jeżeli:

Piszemy wtedy

• 
  jeżeli:

Piszemy wtedy

Podobnie jak dla granic skończonych można określić granice niewłaściwe jednostronne

Np.

Funkcja
określona na przedziale
mamy,

Granice niewłaściwe przy
definiujemy następująco

TWIERDZENIE 2

1. Jeżeli
   

to

2. Jeżeli
   

to

3. Jeżeli
   

to

TWIERDZENIE 3 o granicach superpozycji funkcji

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

a funkcja
będzie określona dla
takich, że

Jeżeli

przy czym funkcja
nie przyjmuje wartości
dla
takich, że

to

TWIERDZENIE 4 Bolzano-Couchy'ego

Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że

. ( lub
)

Na to, by funkcja
posiadała skończoną granicę przy
( lub
) potrzeba i wystarcza, by był spełniony warunek

(
)

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJZMIENNEJ

Definicja

Funkcję
będzie określona w pewnym otoczeniu punktu
tzn. dla
takich, że

nazywamy ciągłą w
gdy funkcja
posiada w
skończoną granicę oraz

Definicja

Funkcję
będzie określona i ograniczona w pewnym otoczeniu
punktu
, oraz niech funkcja
będzie nieciągła w

Mówimy, że
ma nieciągłość 1-go rodzaju jeżeli istnieje skończona granica jednostronna
,

przy czym, jeżeli
ma granicę
, to nieciągłość funkcji
w
nazywamy usuwalną, a jeżeli nie istnieje granica
to nieciągłość tą nazywamy nieusuwalną.

Mówimy, że funkcja
ma w
nieciągłość 2-go rodzaju jeżeli nie istnieje choćby jedna z granica jednostronnych.

4

---