Politechnika Śląska w Gliwicach,

Wydział Elektryczny,

Kierunek Elektrotechnika.

Modelowanie ciągłych i dyskretnych układów regulacji

Laboratorium Podstaw Automatyki

DATA 4.03.2009rok

Semestr VI

Grupa EE

Sekcja 3

Kacper Błażejewski

Paweł Janosz

Dariusz Bruj

Wysogląd Michał

BADANY UKŁAD CIĄGŁY:

Na granicy stabilności:

Schemat 1

Rysunek 1

Układ stabilny:

Schemat 2

Rysunek 2

Układ niestabilny:

Schemat 3

Rysunek 3

BADANIE STABILNOŚCI UKŁADU CIĄGŁEGO

Jedną z metod badania stabilności układu jest metoda Hurwitza, polega na wyznaczeniu podwyznacznika głównego stopnia i z macierzy Hurwitza utworzonej w następujący sposób:

			0
			0
0	0	0

Badany przez nas układ posiada transmitancję zastępczą o następującym wzorze:

Tak więc macierz Hurwitza przyjmuje następującą postać:

Obliczając podwyznacznik z powyższej macierzy jesteśmy w stanie ocenić czy układ jest stabilny. Wyznacznik ten obliczamy w następujący sposób:

Jak widać z powyższych równań układ jest stabilny, gdy T_i > 0 oraz T_i >T_s. W przeprowadzonych przez nas rozważaniach przyjęliśmy
oraz przypadki, gdy:

1. T_i = 1, T_s = 1 - układ na pograniczu stabilności,

2. T_i = 0.5, T_s = 1 - układ stabilny,

3. T_i = 2, T_s = 1 - układ niestabilny.

PRZEJŚCIE NA UKŁAD DYSKRETNY:

Aby przejść na układ dyskretny należy wychodząc z równania różniczkowego odpowiedniego elementu ciągłego wyprowadzić równanie w postaci różnicowej, a następnie przekształcić do postaci rekurencyjnej.

Poszczególne elementy układu przekształciliśmy w następujący sposób:

Pozostałe elementy w postaci rekurencyjnej:

Do przygotowania schematu przyjęliśmy także, że parametry ΔT = k_r = k_s = k_x = 1 .

BADANY UKŁAD DYSKRETNY:

Układ niestabilny:

Schemat 4

Rysunek 4

Na granicy stabilności:

Schemat 5

Rysunek 5

Układ stabilny:

Schemat 6

Rysunek 6

BADANIE STABILNOŚCI UKŁADU DYSKRETNEGO

W literaturze można znaleźć metody badania stabilności, które mogą zostać zastosowane bezpośrednio do równania charakterystycznego zdefiniowanego w funkcji z w odniesieniu do okręgu jednostkowego na płaszczyźnie z. Jednakże metody te są bardzo kłopotliwe dla równań rzędu wyższego od drugiego, szczególnie dla równań z nieznanymi parametrami. Nie ma powodu wykorzystywania tych metod jeśli wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są znane, gdyż w tym przypadku można skorzystać z programu komputerowego i wyznaczyć dokładne wartości pierwiastków. Jednakże warto wprowadzić warunki konieczne stabilności, które pozwalają na wstępna ocenę na podstawie współczynników równania charakterystycznego przy użyciu metody badania stabilności metodą Jury'ego.

Przekształcając K(s) układu na K(z) otrzymaliśmy następującą zależność:

Przyjmując, że
, możemy posegregować mianownik i przyrównać go do zera. W wyniku czego otrzymujemy:

Zgodnie z założeniami metody którą stosujemy, aby układ był stabilny musimy spełnić trzy konieczne warunki:

, dla n parzystego

dla n nieparzystego

Wyniki sprawdzenia poszczególnych warunków:

, warunek spełniony

, warunek spełniony

warunek spełniony.

Jak wynika z przeprowadzonych obliczeń układ jest stabilny niezależnie od parametrów T_i i T_s, ponieważ zmienne te mogą przyjmować tylko dodatnie wartości.

WNIOSKI

1. Układ ciągły zamodelowany w programie MathLab zachowuje się zgodnie z teoretycznymi założeniami. Zmiana parametrów Ts i Ti skutkuję różną odpowiedzią układu: stabilną, na granicy stabilności oraz niestabilną. Metoda Hurwitza służąca do sprawdzenia stabilności układu potwierdza, że wykonana symulacja jest przeprowadzona poprawnie.

2. Układ zamodelowany w postaci układu dyskretnego ma odpowiedz stabilną mimo, zmiany parametrów Ts i Ti. Sprawdzeniem tego faktu jest zastosowana metoda Jury'ego, której wynik wskazuje, że odpowiedz badanego układu nie jest zależny od parametrów Ti i Ts.

3. Aby uniknąć przypadku błędnej odpowiedzi układu dyskretnego należały zwiększyć częstotliwość próbkowania.

Laboratorium podstaw automatyki i sterowania Modelowanie ciągłych i dyskretnych układów regulacji w dziedzinie czasu

9

---