Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Analiza uchybowa przeprowadzona w tym opracowaniu ograniczona jest tylko do układów
z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Sygnały wejściowy i wyjściowy typowego układu
sterowania dyskretnego są funkcjami ciągłymi w czasie, tak jak pokazano to na rysunku 1,
T
G
p
(s)
r(t)
R(s)
e(t)
E(s)
e
*
(t)
E
*
(s)
Proces
G
h0
(s)
ZOH
G(s)
y(t)
Y(s)
Rys. 1. Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego
wobec tego sygnał uchybu mógłby zostać zdefiniowany następująco
)
(
)
(
)
(
t
y
t
r
t
e
−
=
(1)
gdzie r(t) jest sygnałem wejściowym, natomiast y(t) sygnałem wyjściowym. W związku z tym, że
wewnątrz układu pojawiają się dane dyskretne to do opisu tych układów stosuje się transformatę z lub
równania różnicowe i sygnały wejściowy i wyjściowy reprezentowane są w postaci próbkowanej,
odpowiednio r(kT) oraz y(kT). Wobec tego sygnał uchybu
( ) ( ) ( )
kT
y
kT
r
kT
e
−
=
(2)
Uchyb w stanie ustalonym w chwilach próbkowania definiowany jest jako
( )
( )
kT
e
t
e
e
k
t
u
∞
→
∞
→
=
=
lim
lim
*
(3)
Przez zastosowanie twierdzenia o wartości końcowej transformaty z, uchyb w stanie ustalonym
( )
(
)
)
(
1
lim
lim
1
1
*
z
E
z
kT
e
e
z
k
u
−
→
∞
→
−
=
=
(4)
przy założeniu, że
(
)
)
(
1
1
z
E
z
−
−
nie ma żadnego bieguna na zewnątrz okręgu jednostkowego na
płaszczyźnie z. Należy zaznaczyć, że prawdziwym uchybem w układzie jest e(t);
*
u
e
określa uchyb
tylko w chwilach próbkowania. Przez wyrażenie E(z) w zależności od R(z) oraz
( )
z
G
G
p
h0
równanie
uchybowe zapisywane jest następująco:
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
2
( )
(
)
)
(
1
)
(
1
lim
lim
0
1
1
*
z
G
G
z
R
z
kT
e
e
p
h
z
k
u
+
−
=
=
−
→
∞
→
(5)
Wyrażenie to pokazuje że uchyb w stanie ustalonym zależy zarówno od sygnału odniesienia jak
również od transmitancji w torze bezpośrednim
( )
z
G
G
p
h0
. Tak jak w układzie ciągłym rozważane są
trzy podstawowe typy sygnałów i powiązanych z nimi stałych uchybowych oraz typów układów.
Załóżmy, że transmitancja procesu sterowanego w układzie z rysunku 1, ma postać
( )
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
s
T
K
s
G
n
N
m
b
a
p
+
+
+
+
+
+
=
1
...
1
1
1
...
1
1
2
1
(6)
gdzie N = 0, 1, 2, ... Transmitancja
( )
z
G
G
p
h0
( )
(
)
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
+
+
+
+
+
+
−
=
+
−
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
s
T
K
Z
z
z
G
G
n
N
m
b
a
p
h
1
...
1
1
1
...
1
1
1
2
1
1
1
0
(7)
2. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKŁADU REGULACJI SYGNAŁU
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI SKOKOWEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji skokowej o amplitudzie R
)
(
1
)
(
t
R
t
r
⋅
=
(8)
transformata z ma postać
1
)
(
−
=
z
z
R
z
R
(9)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
(
)
*
0
1
0
1
0
1
1
*
1
)
(
lim
1
)
(
1
lim
)
(
1
1
1
lim
p
p
h
z
p
h
z
p
h
z
u
K
R
z
G
G
R
z
G
G
R
z
G
G
z
z
R
z
e
+
=
+
=
+
=
+
−
−
=
→
→
−
→
(10)
Zakładając, że stała uchybu pozycyjnego będzie definiowana jako
)
(
lim
0
1
*
z
G
G
K
p
h
z
p
→
=
(11)
Widać stąd, że uchyb w stanie ustalonym układu sterowania dyskretnego jest odnoszony do stałej
uchybu skokowego w taki sam sposób jak w przypadku układu ciągłego z tą różnicą, że
*
p
K jest
wyznaczane w oparciu o równanie (10).
Można powiązać stałą
*
p
K z typem układu. Dla układu typu 0,
N = 0 w równaniu (7), czyli
( )
(
)
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
¿
¾
½
¯
®
+
+
+
+
+
+
−
=
−
s
T
s
T
s
T
s
s
T
s
T
s
T
K
Z
z
z
G
G
n
m
b
a
p
h
1
...
1
1
1
...
1
1
1
2
1
1
0
(12)
Dokonując rozkładu na ułamki proste funkcji znajdującej się w nawiasie równania (11), otrzymuje się
( )
(
)
(
)
¿
¾
½
¯
®
+
−
−
=
¿
¾
½
¯
®
+
−
=
−
−
pozostale
pozostale
1
1
1
1
1
0
z
Kz
z
s
K
Z
z
z
G
G
p
h
(13)
W związku z tym, że niezerowe bieguny nie zawierają w mianowniku składnika
(
)
1
−
z
, stała uchybu
skokowego zapisywana jest jako
(
)
K
z
Kz
z
z
G
G
K
z
p
h
z
p
=
−
−
=
=
→
−
→
1
1
lim
)
(
lim
1
1
0
1
*
(14)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
3
Podobnie dla układu typu 1,
( )
z
G
G
p
h0
będzie miało czynnik
2
s
w mianowniku co odpowiada
elementowi
(
)
2
1
−
z
. Powoduje to że stała uchybu skokowego
*
p
K
będzie nieskończonością. Tak samo
będzie dla układów typu większego od 1.
Tabela 1. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji skokowej
Typ układu
*
p
K
*
u
e
0
K
(
)
K
R
+
1
1
∞
0
2
∞
0
3. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKŁADU REGULACJI SYGNAŁU
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI LINIOWO-NARASTAJĄCEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji liniowo-narastającej o nachyleniu R
)
(
1
)
(
t
Rt
t
r
⋅
=
(15)
transformata z ma postać
(
)
2
1
)
(
−
=
z
Tz
R
z
R
(16)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
*
0
1
0
1
0
2
1
1
*
)
(
1
lim
)
(
1
1
lim
)
(
1
1
1
lim
v
p
h
z
p
h
z
p
h
z
u
K
R
z
G
G
T
z
R
z
G
G
z
RT
z
G
G
z
z
RT
z
e
=
−
=
+
−
=
+
−
−
=
→
→
−
→
(17)
Zakładając, że stała uchybu prędkościowego będzie definiowana jako
(
)
[
]
)
(
1
lim
1
0
1
*
z
G
G
z
T
K
p
h
z
v
−
=
→
(18)
Stała uchybu prędkościowego jest użyteczna tylko wówczas gdy sygnał wejściowy r(t) jest funkcją
liniowo narastającą i jeśli funkcja
(
)
( )
z
G
G
z
p
h0
1
−
w równaniu (18) nie ma żadnych biegunów na
zewnątrz okręgu jednostkowego
1
=
z
. Zależności pomiędzy uchybem w stanie ustalonym
*
u
e ,
*
v
K ,
a typem układu dla sytuacji w której sygnał zadany ma postać sygnału liniowo-narastającego
o nachyleniu R zawarte są w tabeli 2.
Tabela 2. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji liniowo-
narastającej
Typ układu
*
v
K
*
u
e
0
0
∞
1
K
K
R
2
∞
0
4. UCHYB W STANIE USTALONYM PO PODANIU NA WEJŚCIE UKŁADU REGULACJI SYGNAŁU
ZADANEGO O POSTACI FUNKCJI PARABOLICZNEJ
Dla sygnału zadanego r(t) o postaci funkcji parabolicznej i współczynniku R
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
4
)
(
1
2
1
)
(
2
t
Rt
t
r
⋅
=
(19)
transformata z ma postać
(
)
(
)
3
2
1
2
1
)
(
−
+
=
z
z
z
RT
z
R
(20)
Podstawiając R(z) do równania (5), otrzymuje się
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
*
0
2
2
1
0
2
2
1
0
3
2
1
1
*
)
(
1
lim
)
(
1
1
2
1
lim
)
(
1
1
2
1
1
lim
a
p
h
z
p
h
z
p
h
z
u
K
R
z
G
G
T
z
R
z
G
G
z
z
RT
z
G
G
z
z
z
RT
z
e
=
»¼
º
«¬
ª
−
=
+
−
+
=
+
−
+
−
=
→
→
−
→
(21)
Zakładając, że stała uchybu parabolicznego będzie definiowana jako
(
)
[
]
)
(
1
lim
1
0
2
1
2
*
z
G
G
z
T
K
p
h
z
a
−
=
→
(22)
Zależność pomiędzy uchybem
*
u
e ,
*
a
K oraz typem układu dla przypadku w którym sygnał wejściowy
r(t) ma postać funkcji parabolicznej zebrany jest w tabeli 3.
Tabela 3. Stałe uchybu i uchyby w stanie ustalonym po podaniu sygnału zadanego o postaci funkcji
parabolicznej
Typ układu
*
a
K
*
u
e
0
0
∞
1
0
∞
2
K
K
R
3
∞
0
Przykład 1
Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku 1.1. Okres
próbkowania T = 0.1 [s].
a) Wyznacz stałe uchybowe
*
p
K ,
*
v
K ,
*
a
K .
b) Wyznacz zakres stabilności dla strojonego parametru K.
ZOH
5K
s(s+2)
Y(s)
T
E
*
(s)
E(s)
R(s)
H(s)
Rys. 1.1. Schemat blokowy badanego układu
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy przekształcić układ z rysunku 1.1 do postaci
dyskretnej. W tym celu należy wyznaczyć zastępczą transmitancję dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji operatorowej procesu.
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
5
( )
z
G
G
p
h0
=
(
)
1
1
−
−
z
Z
¿
¾
½
¯
®
s
s
G
p
)
(
=
(
)
8187
.
0
8187
.
1
0219
.
0
0234
.
0
2
+
−
+
z
z
z
K
=
(
)
(
)(
)
8187
.
0
1
0219
.
0
0234
.
0
−
−
+
z
z
z
K
(1.1)
Po wyznaczeniu transmitancji dyskretnej połączenia kaskadowego ekstrapolatora zerowego
rzędu i procesu, rozpatrywany układ z rysunku 1.1 można przedstawić w postaci układu
pokazanego na rysunku 1.2.
K
0.0234z + 0.0219
z
2
−
1.8187z + 0.8187
E(z)
R(z)
Y(z)
Rys. 1.2. Schemat blokowy badanego układu.
Stałą uchybu skokowego
*
p
K wyznacza się ze wzoru (10) i w tym przypadku
(
)
∞
=
=
+
−
+
=
=
→
→
0
0453
.
0
8187
.
0
8187
.
1
0219
.
0
0234
.
0
lim
)
(
lim
2
1
0
1
*
K
z
z
z
K
z
G
G
K
z
p
h
z
p
(1.2)
Stałą uchybu prędkościowego
*
v
K wyznacza się ze wzoru (15) i w tym przypadku
(
)
[
]
(
) (
)
(
)(
)
T
K
z
z
z
K
z
T
z
G
G
z
T
K
z
p
h
z
v
25
.
0
8187
.
0
1
0219
.
0
0234
.
0
1
lim
1
)
(
1
lim
1
1
0
1
*
=
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
+
−
=
−
=
→
→
(1.3)
Ze wzoru (1.3) widać, że wartość stałej uchybu prędkościowego z układzie z rysunku 1.1.
zależeć będzie zarówno od wzmocnienia w układzie jak i częstotliwości próbkowania.
Stałą uchybu przyśpieszeniowego
*
a
K wyznacza się ze wzoru (18) i dla rozważanego w tym
przykładzie układu
(
)
[
]
(
) (
)
(
)(
)
0
8187
.
0
1
0219
.
0
0234
.
0
1
lim
1
)
(
1
lim
1
2
1
2
0
2
1
2
*
=
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
+
−
=
−
=
→
→
z
z
z
K
z
T
z
G
G
z
T
K
z
p
h
z
a
(1.4)
Pozostaje do wyznaczenia zakres strojonego parametru K pozwalający na stabilną pracę układu.
Równanie charakterystyczne uzyskane na podstawie transmitancji dyskretnej (1.1)
(
)
8187
.
0
0219
.
0
8187
.
1
0234
.
0
)
(
2
+
+
⋅
−
+
=
K
z
K
z
z
M
= 0
(1.5)
Korzystając z warunku koniecznego kryterium Jury, uzyskuje się następujące warunki
stabilności
0
453
.
0
)
1
(
>
=
=
K
z
M
(1.6)
0
6375
.
3
0015
.
0
)
1
(
>
+
−
=
−
=
K
z
M
(1.7)
1
8187
.
0
0219
.
0
2
0
=
<
+
=
a
K
a
(1.8)
Na podstawie warunków stabilności (1.6), (1.7) oraz (1.8) wyznacza się zakres parametru K
pozwalający na stabilna pracę układu.
0 < K < 8.2757
(1.9)
Obliczenia wykonane w tym przykładzie zostały uzyskane przy użyciu następującego kodu
programu Matlaba.
clear
close all
echo off
clc
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
6
% Parametry transmitancji procesu
numC = 5;
denC = [1 2 0];
sysC = tf( numC, denC);
%sisotool( sysC)
Tp = 0.1;
% Okres próbkowania
% Konwersja do postaci dyskretnej
sysD = c2d( sysC, Tp, 'zoh');
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
% Współczynniki wielomianu licznika transmitancji dyskretnej
b2z = numD(1); b1z = numD(2); b0z = numD(3);
% Współczynniki wielomianu mianownika transmitancji dyskretnej
a2z = denD(1); a1z = denD(2); a0z = denD(3);
% Współczynniki równania charakterystycznego
Ma2 = [b2z a2z]; Ma1 = [b1z a1z]; Ma0 = [b0z a0z];
% Wyznaczenie warto
ś
ci M(z)
z = 1;
zz = [z^2 z 1]
MKz = numD*zz'
Mz = denD*zz'
% Wzmocnienie krytyczne
Kkr = (1-a0z)/b0z
Przykład 2
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym pojawiający się w układzie regulacji z rysunku 2.1. Okres
próbkowania T = 0.1 [s]. Sygnał zadany ma postać funkcji
•
)
(
1
5
)
(
2
t
t
t
r
⋅
⋅
=
T
E
*
(s)
E(s)
K(s
2
+ 15s + 10)
s
3
+ 7s
2
R(s)
Y(s)
ZOH
Rys. 2.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Sprawdź również zakres strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany
wynik jest poprawny. Dodatkowo wyznacz wzmocnienie krytyczne
kr
K
oraz ile próbek
osc
N
mieści się w jednym okresie oscylacji.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wyznaczyć postać dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji procesu w tym przypadku
( )
z
G
G
p
h
0
=
(
)
1
1
−
−
z
Z
¿
¾
½
¯
®
s
s
G
p
)
(
=
(
)
4966
.
0
9932
.
1
4966
.
2
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
2
3
2
−
+
−
+
−
z
z
z
z
z
K
(2.1)
Dla potrzeb wyznaczania uchybu w stanie ustalonym warto zapisać mianownik wyznaczonej
transmitancję dyskretnej (2.1) w postaci iloczynowej
( )
z
G
G
p
h
0
=
(
)
(
) (
)
4966
.
0
1
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
2
2
−
−
+
−
z
z
z
z
K
(2.2)
Sygnał zadany ma postać funkcji parabolicznej
)
(
1
10
2
1
)
(
1
5
)
(
2
2
t
t
t
t
t
r
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
(2.3)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
7
czyli amplituda tego sygnału wynosi R = 10. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów zadanych
o postaci funkcji parabolicznej wyznaczany jest ze wzoru (19), wymaga on jednak
wcześniejszego wyznaczenia stałej uchybu przyśpieszeniowego
*
a
K ze wzoru (20)
(
)
(
)
(
) (
)
K
T
K
z
z
z
z
K
z
T
K
z
a
4286
.
1
5034
.
0
0072
.
0
4966
.
0
1
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
1
lim
1
2
2
2
2
1
2
*
=
⋅
=
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
−
−
+
−
−
=
→
(2.4)
i wartość uchybu w stanie ustalonym
K
K
K
R
e
a
u
7
4286
.
1
10
*
*
=
=
=
(2.5)
Uchyb w stanie ustalonym będzie wynosił dokładnie tyle ile wynika ze wzoru (2.5) jeśli układ z
rysunku 2.1. będzie stabilny i dlatego też teraz należy sprawdzić dla jakiego zakresu parametru
strojonego K układ ten będzie stabilny. Sprawdzenie to zostanie wykonane przy użyciu
kryterium Routha. W tym celu najpierw należy znaleźć transmitancję układu zamkniętego
(
)
(
)
(
)
4966
.
0
0252
.
0
9932
.
1
1515
.
0
4966
.
2
1335
.
0
0252
.
0
1515
.
0
1335
.
0
)
(
2
3
2
−
+
+
−
+
−
+
+
−
=
K
z
K
z
K
z
z
z
K
z
T
(2.6)
Równanie charakterystyczne
(
)
(
)
0
4966
.
0
0252
.
0
9932
.
1
1515
.
0
4966
.
2
1335
.
0
2
3
=
−
+
+
−
+
−
+
K
z
K
z
K
z
(2.7)
Stabilność zostanie wyznaczona przy użyciu kryterium Routha po zastosowaniu podstawienia
r
r
z
−
+
=
1
1
(2.8)
będącego przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie charakterystyczne
(2.7) przyjmuje postać
(
)
(
)
0
0072
.
0
2094
.
0
0137
.
2
0937
.
0
9863
.
5
3103
.
0
2
3
=
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
−
K
r
K
r
K
r
K
(2.9)
Tablica Routha
3
r
9863
.
5
3103
.
0
+
−
K
K
2094
.
0
2
r
0137
.
2
0937
.
0
+
K
K
0072
.
0
1
r
(
)
0137
.
2
0937
.
0
3786
.
0
0218
.
0
+
+
K
K
K
0
r
K
0072
.
0
Układ ten będzie stabilny jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny mają wartość większe od
zera, daje to cztery warunki na parametr strojony K :
1
o
)
0
9863
.
5
3103
.
0
>
+
−
K
2
o
)
0
0137
.
2
0937
.
0
>
+
K
(2.10)
3
o
)
(
)
0
0137
.
2
0937
.
0
3786
.
0
0218
.
0
>
+
+
K
K
K
4
o
)
0
0072
.
0
>
K
Z rozwiązania układu równań (2.10) uzyskuje się następujące cząstkowe zakresy dla doboru
odpowiedniego wzmocnienie K
1
o
)
2949
.
19
<
K
2
o
)
4965
.
21
−
>
K
(2.11)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
8
3
o
)
3302
.
17
−
<
<
∞
−
K
lub
∞
<
<
K
0
4
o
)
0
>
K
Po rozwiązaniu układu równań (2.11) okazuje się, że układ regulacji z rysunku 2.1. będzie
stabilny gdy
2949
.
19
0
<
<
K
(2.11)
Kolejnym problemem w tym zadaniu jest wyznaczenie wzmocnienia krytycznego.
Wzmocnienie krytycznym jest takie wzmocnienie które zeruje współczynnik w pierwszej
kolumnie przy
1
r
i znajduje się na granicy stabilności. W tym przypadku nie ma takiego
wzmocnienia, dlatego też nie ma przypadku w którym można by uzyskać oscylacje o stałej
amplitudzie. Pomijam taki przypadek w którym uzyskuje się układ z naprzemiennymi próbkami
o stałej amplitudzie ale o przeciwnych znakach.
Przykład 3
Wyznacz uchyb w stanie ustalonym pojawiający się w układzie regulacji z rysunku 3.1. Okres
próbkowania T = 0.2 [s]. Sygnał zadany ma postać funkcji
•
)
(
1
4
)
(
t
t
r
⋅
=
T
E
*
(s)
E(s)
K(s
−
1)
s
4
+ 5s
3
+ 13s
2
+ 14s + 6
R(s)
Y(s)
ZOH
Rys. 3.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Sprawdź również zakres strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany
wynik jest poprawny. Dodatkowo wyznacz wzmocnienie krytyczne
kr
K
oraz ile próbek
osc
N
mieści się w jednym okresie oscylacji.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wyznaczyć postać dyskretną połączenia
kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu i transmitancji procesu w tym przypadku
( )
z
G
G
p
h
0
=
(
)
1
1
−
−
z
Z
¿
¾
½
¯
®
s
s
G
p
)
(
=
(
)
3679
.
0
8162
.
1
4664
.
3
0122
.
3
0007
.
0
0030
.
0
0017
.
0
0010
.
0
2
3
4
2
3
+
−
+
−
−
−
+
z
z
z
z
z
z
z
K
(3.1)
Sygnał zadany ma postać funkcji parabolicznej
)
(
1
4
)
(
t
t
r
⋅
=
(3.2)
czyli amplituda tego sygnału wynosi R = 4. Uchyb w stanie ustalonym dla sygnałów zadanych o
postaci funkcji skokowej wyznaczany jest ze wzoru (9), wymaga on jednak wcześniejszego
wyznaczenia stałej uchybu pozycyjnego
*
p
K
ze wzoru (10)
(
)
K
K
z
z
z
z
z
z
z
K
K
z
P
1667
.
0
0058
.
0
0010
.
0
3679
.
0
8162
.
1
4664
.
3
0122
.
3
0007
,
0
0030
.
0
0017
.
0
0010
.
0
lim
2
3
4
2
3
1
*
−
=
⋅
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
+
−
+
−
−
−
+
=
→
(3.3)
i wartość uchybu w stanie ustalonym
*
*
*
1
4
1
P
P
u
K
K
R
e
+
=
+
=
(3.4)
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
9
Uchyb w stanie ustalonym będzie wynosił dokładnie tyle ile wynika ze wzoru (3.4) jeśli układ z
rysunku 3.1. będzie stabilny i dlatego też teraz należy sprawdzić dla jakiego zakresu parametru
strojonego K układ ten będzie stabilny. Sprawdzenie to zostanie wykonane przy użyciu
kryterium Routha. W tym celu najpierw należy znaleźć transmitancję układu zamkniętego
(
)
(
)
(
)
3679
.
0
0007
.
0
)
8162
.
1
0030
.
0
(
4664
.
3
0017
.
0
0122
.
3
0010
.
0
0007
.
0
0030
.
0
0017
.
0
0010
.
0
)
(
2
3
4
2
3
+
−
−
−
+
+
+
−
+
−
−
+
=
K
z
K
z
K
z
K
z
z
z
z
K
z
T
(3.5)
Równanie charakterystyczne
(
)
(
)
0
3679
.
0
0007
.
0
)
8162
.
1
0030
.
0
(
4664
.
3
0017
.
0
0122
.
3
0010
.
0
2
3
4
=
+
−
−
−
+
+
+
−
+
K
z
K
z
K
z
K
z
(3.6)
Stabilność zostanie wyznaczona przy użyciu kryterium Routha po zastosowaniu podstawienia
r
r
z
−
+
=
1
1
(3.7)
będącego przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie charakterystyczne
(3.6) przyjmuje postać
(
)
(
)
(
)
2
3
4
2746
1
0073
0
9203
4
0053
0
6627
9
0030
0
)
(
r
.
K
.
r
.
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
0
0058
0
0010
0
1366
0
0105
0
=
+
−
+
−
+
.
K
.
r
.
K
.
(3.8)
Tablica Routha
4
r
−
0.0030K+9.6627
−
0.0073K + 1.2746
−
0.0010K + 0.0058
3
r
−
0.0053K+4.9203
−
0.0105K + 0.1366
2
r
4.9203
0.0053
9512
.
4
1443
.
0
10
7279
.
6
2
6
+
−
+
−
⋅
−
K
K
K
−
0.0010K + 0.0058
1
r
9512
.
4
1443
.
0
10
7279
.
6
0.5356
0560
.
0
0015
.
0
10
7378
.
9
2
6
2
3
8
+
−
⋅
−
+
+
⋅
−
−
K
K
K
K
K
0
r
0.00097K + 0.00581
Układ ten będzie stabilny jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny mają wartość większe od
zera, daje to cztery warunki na parametr strojony K :
1
o
)
0
9.6627
0.0030K
>
+
−
2
o
)
0
4.9203
0.0053K
>
+
−
(3.9)
3
o
)
0
4.9203
0.0053K
95148956
.
4
14454172
.
0
00000719
.
0
2
>
+
−
+
−
−
K
K
4
o
)
0
2.636
0.2728
0.007989
10
8.699
10
0
5.118
0.5357
05601
.
0
00156472
.
0
10
738
.
9
2
3
6
4
10
2
3
8
>
−
−
+
⋅
−
⋅
−
+
+
⋅
−
−
−
−
K
K
K
K
K
K
K
5
o
)
0
00581
.
0
0.00097
>
+
K
Dla każdej z nierówności (3.9) zakresy K rozwiązań są następujące
1
o
)
9
.
3220
<
K
2
o
)
1658
.
936
−
>
K
(3.10)
3
o
)
3669
.
34
<
<
∞
−
K
lub
∞
<
<
K
6406
.
21413
4
o
)
7609
.
43
8447
.
7
<
<
−
K
lub
∞
<
<
K
9793
.
16023
5
o
)
6
<
K
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
10
Po wyznaczeniu wspólnego zakresu dla rozwiązań cząstkowych (3.10) okazuje się, że układ
regulacji z rysunku 3.1. będzie stabilny gdy
−
7.8447< K < 6
(3.11)
Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest wyznaczenie wzmocnienia krytycznego.
Korzystając z analizy tablicy Routha, wzmocnieniem krytycznym w rozpatrywanym układzie
jest wartość
kr
K
=
−
7.8447
(3.12)
Podstawiając wartość K z równania (3.12) do równania (3.6) wyznaczone zostanie równanie
charakterystyczne zawierające pierwiastki zespolone znajdujące się na okręgu jednostkowym
0
3730
.
0
7930
.
1
4533
.
3
0198
.
3
2
3
4
=
+
−
+
−
z
z
z
z
(3.13)
Rozwiązania równania (3.13) są następujące
1
o
)
2084
.
0
1
2069
.
0
9784
.
0
j
e
j
p
=
+
=
2
o
)
2084
.
0
2
2069
.
0
9784
.
0
j
e
j
p
−
=
−
=
(3.14)
3
o
)
6108
.
0
3
5149
.
0
3008
.
0
5316
.
0
j
e
j
p
=
+
=
4
o
)
6108
.
0
4
5149
.
0
3008
.
0
5316
.
0
j
e
j
p
−
=
−
=
Dwa pierwsze bieguny
1
p
oraz
2
p
znajdują się dokładnie na okręgu jednostkowym. Do
wyznaczenia poszukiwanej liczby próbek w tym okresie posłuży biegun
1
p
2084
.
0
1
2069
.
0
9784
.
0
j
e
j
p
=
+
=
T
j
j
e
e
ω
θ
=
=
(3.15)
Wyznaczona pulsacja
0421
.
1
2
.
0
2084
.
0
=
=
=
T
θ
ω
(3.16)
Okres oscylacji
0291
.
6
0421
.
1
2
2
=
=
=
π
ω
π
osc
T
[s]
Poszukiwana liczba próbek w wyznaczonym okresie oscylacji
1454
.
30
2
.
0
0291
.
6
=
=
=
T
N
N
osc
osc
[próbek]
Obliczenia wykonane w tym przykładzie zostały uzyskane przy użyciu następującego kodu
programu Matlaba.
clear
close all
echo off
clc
% Parametry transmitancji procesu
numC = [1 -1];
denC = [1 5 13 14 6];
sysC = tf( numC, denC)
%sisotool( sysC)
Tp = 0.2;
% Okres próbkowania
% Konwersja do postaci dyskretnej
sysD = c2d( sysC, Tp, 'zoh');
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
%rr = roots( denD)
% Wyznaczenie stałej uchybu pozycyjnego Kp
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
11
numKp = sum( numD)
denKp = sum( denD)
Kp = numKp/denKp
% Warto
ść
uchybu pozycyjnego
R = 4;
eu = R/(1+Kp)
% Współczynniki wielomianu licznika transmitancji dyskretnej
b4z = numD(1); b3z = numD(2); b2z = numD(3); b1z = numD(4);
b0z = numD(5);
% Współczynniki wielomianu mianownika transmitancji dyskretnej
a4z = denD(1); a3z = denD(2); a2z = denD(3); a1z = denD(4);
a0z = denD(5);
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(z)
M4z = [b4z a4z]
M3z = [b3z a3z]
M2z = [b2z a2z]
M1z = [b1z a1z]
M0z = [b0z a0z]
% Wyznaczenie współczynników równania charakterystycznego M(r)
M4r = M4z - M3z + M2z - M1z + M0z
M3r = 4*M4z - 2*M3z + 2*M1z - 4*M0z
M2r = 6*M4z - 2*M2z + 6*M0z
M1r = 4*M4z + 2*M3z - 2*M1z - 4*M0z
M0r = M4z + M3z + M2z + M1z + M0z
% Wyznaczenie kolejnych współczynników
% pierwszej kolumny tablicy Routha
b4r = M4r
b3r = M3r
b2r = conv(M3r,M2r) - conv(M4r,M1r)
b1r = conv(conv(M3r,M2r),M1r) - conv(conv(M1r,M1r),M4r)...
– conv(conv(M3r,M3r),M0r)
b0r = M0r
% Wyznaczenie granicznych warto
ś
ci parametrów dla poszczególnych
% warunków stabilno
ś
ci
a4k = b4r(1); b4k = b4r(2);
Kgr4 = b4k/a4k
a3k = b3r(1); b3k = b3r(2);
Kgr3 = b3k/a3k
rrb2r = roots( b2r);
Kgr2a = rrb2r(1)
Kgr2b = rrb2r(2)
rrb1r = roots( b1r);
Kgr1a = rrb1r(1)
Kgr1b = rrb1r(2)
Kgr1c = rrb1r(3)
a0k = b0r(1); b0k = b0r(2);
Kgr0 = -b0k/a0k
K = rrb1r(3)
MzK = [M4z*[K 1]' M3z*[K 1]' M2z*[K 1]' M1z*[K 1]' M0z*[K 1]']
No = 1;
rMzK = roots( MzK)
M = abs( rMzK( No))
theta = angle ( rMzK( No))
w = theta/Tp
Tosc = 2*pi/w
Nosc = Tosc/Tp
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
12
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1.
Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku M1.Wyznacz uchyb
w stanie ustalonym pojawiający się w tym układzie regulacji. Sprawdź również zakres strojonego
parametru K dla którego układ ten jest stabilny i uzyskany wynik jest poprawny. Dodatkowo
wyznacz wzmocnienie krytyczne
kr
K
oraz ile próbek
osc
N
mieści się w jednym okresie oscylacji.
ZOH
T
E
*
(s)
E(s)
H(s)
G
p
(s)
R(s)
Y(s)
Rys. M1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
a)
( )
(
)
2
7
9
1
2
3
+
+
+
−
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
5
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.2 [s].
b)
( )
(
)
(
)
2
3
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
4
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
c)
( )
(
)
(
)
6
10
2
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
3
2
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.1 [s].
d)
( )
(
)
2
6
7
2
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
2
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.5 [s].
e)
( )
(
)
(
)
4
6
3
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
,
r(t) =
)
(
1
10
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
f)
( )
(
)
(
)
3
5
4
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
20
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.1 [s].
g)
( )
(
)
6
14
13
1
2
3
+
+
+
−
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
15
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.5 [s].
h)
( )
(
)
(
)
5
2
3
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
12
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
i)
( )
(
)
(
)
10
2
2
5
2
2
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
20
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.2 [s].
j)
( )
(
)
5
2
4
40
38
2
3
2
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
12
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.1 [s].
k)
( )
(
)
4
10
9
3
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
10
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.25 [s].
l)
( )
(
)
(
)
6
4
7
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
p
, r(t) =
)
(
1
5
2
t
t
⋅
, okres próbkowania T = 0.2 [s].
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
13
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
M1.
a)
( )
(
)
1653
.
0
2062
.
1
0336
.
2
0068
.
0
0076
.
0
0108
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
5
.
0
*
=
,
K
e
u
5
.
0
1
5
*
+
=
;
Zakres stabilności:
−
2 < K < 5.6660;
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 5.6660; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 35.1624
b)
( )
(
)
4724
.
0
8577
.
1
3853
.
2
0161
.
0
0090
.
0
0288
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
v
=
*
,
K
e
u
4
*
=
;
Zakres stabilności: 0 <
K
< 8.3474
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 8.3474; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 9.0638
c)
( )
(
)
5488
.
0
0976
.
2
5488
.
2
0695
.
0
1469
.
0
0849
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
a
6667
.
1
*
=
,
K
e
u
6
.
3
*
=
;
Zakres stabilności: 0.5279 < K <
∞
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 0.5279; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 69.6315
d)
( )
(
)
0302
.
0
7018
.
0
6094
.
1
0117
.
0
0074
.
0
0666
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
=
*
,
K
e
u
+
=
1
2
*
;
Zakres stabilności:
−
1 < K < 24.7619
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 24.7619; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 3.5850
e)
( )
(
)
2231
.
0
3194
.
1
0962
.
2
0094
.
0
0079
.
0
0252
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
+
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
=
*
p
K
∞
,
0
*
=
u
e
;
Zakres stabilności: 0 < K < 20.6061
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 20.6061; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 6.5977
f)
( )
(
)
7408
.
0
4816
.
2
7408
.
2
0706
.
0
1716
.
0
1053
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
∞
=
*
v
K
,
0
*
=
u
e
;
Zakres stabilności: 0 < K < 20.0331
Wzmocnienie krytyczne: brak
g)
( )
(
)
0015
.
0
5701
.
0
4734
.
1
0047
.
0
0321
.
0
0209
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
1667
.
0
*
−
=
,
K
e
u
1667
.
0
1
15
*
−
=
;
Zakres stabilności:
−
10.7519 < K < 6
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
=
−
10.7519; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 12.3481
h)
( )
(
)
2865
.
0
5730
.
1
2865
.
2
1022
.
0
2953
.
0
2110
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
∞
=
*
v
K
,
0
*
=
u
e
;
Zakres stabilności: 0 < K < 8.4573
Wzmocnienie krytyczne: brak
i)
( )
(
)
6703
.
0
0218
.
2
3515
.
2
2304
.
0
2890
.
0
0714
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
v
2
.
0
*
=
,
K
e
u
100
*
=
;
Zakres stabilności: 0 < K < 1.8109
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 1.8109; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 35.6830
j)
( )
(
)
6703
.
0
3261
.
2
6517
.
2
0588
.
0
1631
.
0
2549
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
8
*
=
,
K
e
u
8
1
12
*
+
=
;
Zakres stabilności:
−
0.0291 < K < 3.7899
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 3.7899; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 5.4004
Teoria sterowania
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 06-05-17
M. Tomera
14
k)
( )
(
)
1054
.
0
9817
.
0
8526
.
1
0061
.
0
0032
.
0
0207
.
0
2
3
2
0
−
+
−
−
+
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
p
75
.
0
*
=
,
K
e
u
75
.
0
1
10
*
+
=
;
Zakres stabilności:
−
1.3333 < K < 52.2678
Wzmocnienie krytyczne
kr
K
= 52.2678; Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 4.4958
l)
( )
(
)
3012
.
0
6024
.
1
3012
.
2
0531
.
0
2524
.
0
2180
.
0
2
3
2
0
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
G
G
p
h
,
K
K
a
6667
.
0
*
=
,
K
e
u
15
*
=
;
Zakres stabilności: 0 < K < 9.9421
Wzmocnienie krytyczne: brak
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.
Addison-Wesley Publishing Company, 1986
2. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analizowanie działania układów pneumatycznych u
Lab 6 Drgania Swobodne Liniowych Układów Dyskretnych
Analizowanie dzialania ukladow Nieznany
Analizowanie działania układów analogowych i cyfrowych u
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
lab 10 Modelownie liniowych układów dyskretnych
lab Modelownie liniowych układów dyskretnych
Analizowanie prostych układów elektrycznych
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Spektrofotometryczna analiza ilościowa układów jedno i wieloskładnikowych
Opis dynamiki liniowych układów dyskretnych
Analizowanie działania układów hydraulicznych (23 58)
lab 10 Modelownie liniowych układów dyskretnych2
cyfrowa realizacja ukladow dyskretnych
lab 10 Modelownie liniowych układów dyskretnych
Analiza podst ukł dyskretnych i Reg Cyfr
Analizowanie działania układów pneumatycznych u
więcej podobnych podstron