Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Mirosław Tomera
1. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW DYSKRETNYCH
Wszystkie metody częstotliwościowe zdefiniowane dla układów ciągłych mogą zostać zaadoptowane
do analizy układów dyskretnych.
R(s)
E(s)
T
E
*
(s)
ZOH
G(s)
Y(s)
G
h0
(s)
Y
*
(s)
T
Rys. 1. Układ zamknięty sterowania dyskretnego
Rozważony zostanie układ sterowania dyskretnego pokazany na rysunku 1 dla którego transmitancja
układu zamkniętego
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
z
G
G
z
G
G
z
R
z
Y
z
T
h
h
+
=
=
(1)
gdzie
)
(
0
z
G
G
h
jest transformatą Z transmitancji
)
(
0
z
G
G
h
. Tak jak w przypadku układów ciągłych,
warunki stabilności zamkniętego układu dyskretnego mogą być badane przez tworzenie wykresów
funkcji
)
(
0
z
G
G
h
w dziedzinie częstotliwości.
1.2. PRZEKSZTAŁCENIE PUNKTÓW Z OKRĘGU JEDNOSTKOWEGO
Dodatnia oś j
ω
płaszczyzny s odpowiada częstotliwości rzeczywistej, dziedzina wykresu
częstotliwości
)
(
0
z
G
G
h
uzyskiwana jest przez podstawienie
T
j
e
z
ω
=
(2)
przy zmianie
ω
od 0 do
∞
. Jest to równoważne przekształceniu punktów z okręgu jednostkowego,
1
=
z
, na płaszczyźnie z na równoważną płaszczyznę
( )
T
j
h
e
G
G
ω
0
. Okrąg jednostkowy powtarzany
jest dla każdej częstotliwości próbkowania
(
)
T
s
π
ω
2
=
, jak zostało to pokazane na rysunku 2, kiedy
ω
zmienia się wzdłuż osi j
ω
, dziedzina wykresu częstotliwościowego
( )
T
j
e
G
ω
powtarza się dla
częstotliwości od
s
n
ω
ω =
do
s
n
ω
)
1
(
+
, n = 0, 1, 2,.... Stąd konieczność robienia wykresu
( )
T
j
h
e
G
G
ω
0
tylko dla zakresu od
0
=
ω
do
s
ω
ω =
. Ponieważ okrąg jednostkowy jest symetryczny
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
2
względem osi liczb rzeczywistych to wykres
( )
T
j
h
e
G
G
ω
0
tworzony we współrzędnych walcowych
powinien być realizowany w zakresie
0
=
ω
do
2
s
ω
.
j
j m z
1
0
1
Płaszczyzna
s
Płaszczyzna
z
Okrąg
jednostkowy
Re z
0
= 0
=
s
/4
=
s
/2
= 3
s
/2
s = j
j
s
j
s
/2
Rys. 2. Zależność pomiędzy osią j
ω
z płaszczyzny s i okręgiem jednostkowym z płaszczyzny z.
10.2. WYKRESY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE TWORZONE PRZY UŻYCIU PRZEKSZTAŁCENIA
W
Niestety transmitancja dyskretna G(z) po podstawieniu
T
j
e
z
ω
=
zazwyczaj staje się funkcją
niewymierną i dlatego nie jest możliwe prowadzenie dalszej analizy dyskretnych charakterystyk
częstotliwościowych na płaszczyźnie z. Wyjściem z tej trudności jest transformacja płaszczyzny z na
inną (nazywaną w) gdzie analiza ta jest możliwa. Wprowadza się nową zmienną w, która zastępuje
zmienną z przez podstawienie
1
1
2
+
−
=
z
z
T
w
(3)
Aby dokonać przekształcenia płaszczyzny z na płaszczyznę w, do transmitancji G(z) podstawia się
w
m
w
m
w
T
w
T
z
−
+
=
−
+
=
2
2
(4)
gdzie
T
m 2
=
. Wyrażenie (4) uzyskuje się z przekształcenia równania (3). W dziedzinie
częstotliwości dokonuje się podstawienia
2
tg
2
T
T
j
j
w
w
ω
ω =
=
(5)
Do analizy częstotliwościowej układów dyskretnych, podstawia się równanie (4) i równanie (5) do
G(z) aby otrzymać
(
)
w
j
G
ω
; następnie może być ta transmitancja przedstawiana w postaci wykresu
Bodego lub wykresu Nyquista. Przykład 1 ilustruje sposób wyznaczania charakterystyk
częstotliwościowych dla układów dyskretnych.
Charakterystyki częstotliwościowe dla liniowych układów dyskretnych mogą być w łatwy
sposób wyznaczane przy użyciu funkcji
bode
,
nyquist
,
nichols
zawartych w bibliotece
M
ATLABA
w sposób następujący
sysD = tf( numD, denD, T)
bode( sysD)
nyquist( sysD)
nichols( sysD)
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
3
Przykład 1
Dla układu z rysunku 1 transmitancja procesu ciągłego opisana jest następująco
)
(s
G
=
1
1
+
s
(1.1)
Okres próbkowania w tym układzie wynosi T = 1 [s]. Należy wyznaczyć charakterystyki
częstotliwościowe układu.
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna połączenia kaskadowego ekstrapolatora zerowego rzędu
i procesu
3679
.
0
6321
.
0
)
(
)
(
0
−
=
=
z
z
G
G
z
L
h
(1.2)
Częstotliwość (pulsację) próbkowania wyznacza się ze wzoru
T
s
π
ω
2
=
= 2
π
[rad/s]
(1.3)
Odpowiedź częstotliwościowa
)
(
0
z
G
G
h
uzyskiwana jest przez podstawienie
T
j
e
z
ω
=
do
równania (1.2).
( )
(
)
(
)
T
T
T
j
T
e
e
G
G
e
L
T
j
T
j
h
T
j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
2
0
sin
cos
3679
.
0
sin
cos
3679
.
0
6321
.
0
3679
.
0
6321
.
0
)
(
+
+
−
−
+
−
=
−
=
=
(1.4)
Wykres Nyquista
)
(
0
T
j
h
e
G
G
ω
w zakresie od
ω
= 0 do
2
s
ω
, uzyskany na podstawie równania
(1.4) pokazany został na rysunku 1.1. Wykres ten kończy się przy częstotliwości
π
ω
ω
=
=
2
s
[rad/s].
= 0
=
Re G
h0
G(e
j T
)
j Im G
h0
G(e
j T
)
1
Rys. 1.1. Wykres Nyquista
)
(
0
T
j
h
e
G
G
ω
Wykres Bodego
)
(
0
T
j
h
e
G
G
ω
składający się wykresu modułu
)
(
0
T
j
h
e
G
G
ω
w [dB] oraz
)
(
0
T
j
h
e
G
G
ω
∠
w stopniach w zależności od
ω
pokazany został na rys. 1.2.
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
4
0.01
0.1
1
10
-8
-6
-4
-2
0
[rad/s]
Mo
du
ł [d
B
]
0.01
0.1
1
10
-200
-150
-100
-50
0
Fa
za
[deg
]
[rad/s]
Rys. 1.2. Wykres Nyquista
)
(
0
T
j
h
e
G
G
ω
W inny sposób wykresy Bodego i Nyquista mogą zostać wyznaczone przy użyciu
przekształcenia w po dokonaniu podstawienia do transmitancji dyskretnej L(z) zależności (4). W
tym przypadku dla układu opisanego transmitancją (1.2) uzyskuje się
)
(w
L
=
2642
.
1
3679
.
1
2642
.
1
0321
.
0
+
⋅
+
⋅
−
w
w
(1.5)
Podstawiając
w
j
w
ω
=
do równania (1.5) i przekształcając to nowo powstałe równanie do
postaci algebraicznej uzyskuje się
)
(
w
j
L
ω
=
2
2
8711
.
1
5983
.
1
5285
.
2
5983
.
1
8647
.
0
w
w
w
j
ω
ω
ω
⋅
+
⋅
−
+
⋅
−
(1.6)
Wykresy transmitancji opisanych wzorami (1.4) oraz (1.6) pokazane są na rysunku 1.3. Należy
zauważyć, że współrzędne częstotliwości dla transmitancji (1.6) wyrażone są w funkcji
w
ω
podczas gdy transmitancji (1.4) we współrzędnych
ω
.
0.01
0.1
1
10
-8
-6
-4
-2
0
A
m
pl
it
ud
a [
dB
]
0.01
0.1
1
10
-200
-150
-100
-50
0
Fa
za
[d
B
]
w
[rad/s]
w
[rad/s]
Rys. 1.3. Wykresy Bodego transmitancji (1.4) (linia ciągła) oraz (1.6) (linia przerywana).
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
5
Wykresy z rysunku 1.3 różnią się między sobą. Aby wykresy te pokrywały się należy częstotliwość
w
ω
przeliczyć na współrzędne
ω
według zależności (5).
Wyniki w tym przykładzie uzyskane zostały przy użyciu następującego kodu programu.
clear
close all
% Transmitancja operatorowa
numGpC = 1;
denGpC = [1 1];
sysGpC = tf( numGpC, denGpC)
%sisotool( sysGpC)
T = 1; % Okres próbkowania
sysGoD = c2d( sysGpC, T, 'zoh')
[numD, denD] = tfdata( sysGoD, 'v')
% Współczynniki licznika i mianownika transmitancji dyskretnej
b0 = numD(2);
a1 = denD(1); a0 = denD(2);
% Charakterystyki częstotliwościowe
% Współczynniki licznika i mianownika transmitancji
% uzyskane w wyniku przekształcenia w
b1w = -b0*T
b0w = 2*b0
a1w = T*(a1-a0)
a0w = 2*(a1+a0)
w = [0:0.01:pi]; % Zakres częstotliwości
[RE, IM] = nyquist(
sysGoD, w); % Współrzędne wzorcowe
[m,n] = size( RE);
for i = 1:n
Re(i) = RE(:,:,i);
Im(i) = IM(:,:,i);
Mm = 20*log10( abs( Re(i) + Im(i)*j));
fiG(i) = angle( Re(i) + Im(i)*j)*180/pi;
% Dyskretna transmitancja widmowa uzyskana
% po podstawieniu z = exp(jwT)
ReGz(i) = b0*(a0+cos(w(i)*T))/((a0+cos(w(i)*T))^2 +,...
sin(w(i)*T)^2);
ImGz(i) = -b0*sin(w(i)*T)/((a0+cos(w(i)*T))^2 + sin(w(i)*T)^2);
MGz(i) = 20*log10( abs( ReGz(i) + ImGz(i)*j));
fiGz(i) = angle( ReGz(i) + ImGz(i)*j)*180/pi;
% Dyskretna transmitancja widmowa uzyskana
% w wyniku
przekszatałcenia w
% w1 = w(i)
w1 = (2/T)*tan(w(i)*T/2);
ReGw(i) = (b0w*a0w + a1w*b1w*w1^2)/(a0w^2 + a1w^2*w1^2);
ImGw(i) = w1*(b1w*a0w - a1w*b0w)/(a0w^2 + a1w^2*w1^2);
MGw(i) = 20*log10( abs( ReGw(i) + ImGw(i)*j));
fiGw(i) = angle( ReGw(i) + ImGw(i)*j)*180/pi;
end
% Wykres Nyquista
figure(1)
plot( ReGz, ImGz, 'k-', ReGw, ImGw, 'b-')
axis([-1 1 -1 1])
grid on
% Logarytmiczne charakterystyki Bode'go
figure(2)
subplot(2,1,1)
% Wykres amplitudy
semilogx( w, MGw, 'k-', w, MGz, 'k-', w, MGw, 'b-')
xlabel('w [rad/s]')
ylabel('Amplituda [dB]')
grid on
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
6
subplot(2,1,2)
% Wykres fazy
semilogx( w, fiGw, 'k-', w, fiGz, 'k-', w, fiGw, 'b-')
xlabel('w [rad/s]')
ylabel('Faza [dB]')
grid on
Wnioskiem z tego przykładu jest to, że z jest zastępowane przez
T
j
e
z
ω
=
w dziedzinie transmitancji
dyskretnej lub przez użycie transformacji w, wszystkie techniki analizy częstotliwościowej dostępne
dla układów ciągłych mogą być stosowane dla układów dyskretnych.
2. KRYTERIUM STABILNOŚCI NYQUISTA
Kryterium Nyquista dla układu dyskretnego ma taką sama postać jak dla układu ciągłego z tą różnicą,
że niestabilny obszar na płaszczyźnie z znajduje się na zewnątrz koła jednostkowego i problem polega
na tym, jaki kontur jest w stanie objąć ten obszar. Problem ten może być ominięty przez rozpatrywanie
okrążeń obszaru stabilnego i na tej podstawie obliczanie warunków stabilności. Równanie
charakterystyczne układu dyskretnego jest zapisywane jako
0
)
(
)
(
1
=
+
z
G
z
KD
(6)
i tak jak w przypadku ciągłym, zakłada się, że liczba P określa bieguny niestabilne, natomiast P
ω
bieguny na granicy stabilności pętli KD(z)G(z). Bieguny te nie zmieniają warunków stabilności
również dla wielomianu 1+ KD(z)G(z). Problem polega na określeniu niestabilnych zer Z równania
KD(z)G(z) = 0, które są niestabilnymi biegunami układu zamkniętego (6).
W kryterium Nyquista, które jest graficzno
−
analitycznym kryterium stabilności w pierwszej
kolejności należy wykreślić funkcję L(z) = KD(z)G(z) dla okręgu jednostkowego,
T
j
e
z
ω
=
w zakresie
π
ω
≤
≤
T
0
. Innym, równoważnym rozwiązaniem pozwalającym na wykreślenie charakterystyki
Nyquista jest zastosowanie transformaty w (3).
Podobnie jak dla układu ciągłego badanie stabilności przy użyciu kryterium Nyquista będzie
opierało się na następującym wzorze
(
)
o
180
5
.
0
11
×
−
−
=
ω
Φ
P
P
Z
(7)
Równanie to oznacza, że kąt całkowity
11
Φ
tworzony przez odcinek narysowany z punktu (
−
1, j0) do
wykresu Nyquista funkcji L(j
ω
), który odpowiada części konturu z górnej połówki okręgu
T
j
e
z
ω
=
znajdującego się na płaszczyźnie z, wyłączając z niego małe wyżłobienia, jeśli tam istnieją i jest
równy
11
Φ
= [ (Z) liczba zer wielomianu 1 + L(z) = 0 znajdujących się na zewnątrz koła jednostkowego
na płaszczyźnie zmiennej z.
−
(P) liczba biegunów L(z) znajdujących się na zewnątrz koła jednostkowego
−
0.5((
ω
P ) liczba biegunów
L(z) znajdujących się na okręgu jednostkowym )]
×
180
o
(8)
Kryterium stabilności Nyquista może być stosowane po skonstruowaniu tylko tej części wykresu
Nyquista, który odpowiada górnemu fragmentowi konturu Nyquista
θ
j
e
z
=
dla
θ
zmieniającego się
od
π
do 0. Dlatego też jeśli układ zamknięty jest niestabilny to poprzez znajomość wartości
11
Φ
,
ω
P
oraz P, z równania (7) wyznacza się liczbę pierwiastków równania charakterystycznego, które
znajdują się na zewnątrz koła jednostkowego.
Dla układu zamkniętego stabilnego, Z musi być równe zero. Więc kryterium Nyquista dla
stabilności układu zamkniętego
(
)
o
180
5
.
0
11
×
+
−
=
P
P
ω
Φ
(9)
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
7
Podsumowując, procedura badania stabilności układów dyskretnych przy użyciu kryterium Nyquista
może być wypunktowana następująco:
•
Określ dla pętli otwartej L(z) liczbę biegunów niestabilnych P i znajdujących się na granicy
stabilności P
ω
.
•
Zrób wykres Nyquista L(z) = KD(z)G(z) dla okręgu jednostkowego,
T
j
e
z
ω
=
w zakresie
π
→
ω
T
→
0. Jest to ruch wzdłuż okręgu jednostkowego zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
•
Określ kąt tworzony przez wektor wiodący zaczepiony w punkcie(–1, j0) i poruszający się
wzdłuż wykresu Nyquista gdy
ω
T zmienia się od
π
do 0.
•
Oblicz
(
)
180
5
.
0
11
⋅
+
+
Φ
=
ω
P
P
Z
. Układ jest stabilny tylko wówczas jeśli Z = 0.
3. WSKAŹNIKI JAKOŚCI DEFINIOWANE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI
Zapasy wzmocnienia i fazy definiowane są w celu dostarczenia dwóch punktów dokonujących
pomiaru jak blisko wykres Nyquista okrążą punkt (–1, j0) i są identyczne jak te wyprowadzone dla
układu ciągłego. Zapas wzmocnienia (GM) jest współczynnikiem przez który wzmocnienie może
zostać pomnożone aby doprowadzić układ do granicy stabilności i jest zazwyczaj odwrotną amplitudy
D(z)G(z) kiedy faza wynosi 180
o
. Zapas fazy (PM) jest różnicą pomiędzy –180
o
i fazą D(z)G(z) kiedy
amplituda jest równa 1. Zapas fazy dokonuje pomiaru wartości dodatkowego opóźnienia fazowego lub
opóźnienia czasowego, które może zostać wprowadzone do pętli doprowadzając układ do granicy
stabilności.
Przykład 2
Przy użyciu kryterium Nyquista dokonaj oceny stabilności układu z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym (rys. M1, str. 14) i transmitancją obiektu
)
(s
G
p
=
)
1
(
1
+
s
s
(2.1)
Okres próbkowania T = 1 [s]. Obiekt ten poprzedzony jest ekstrapolatorem zerowego rzędu.
Zastosowany jest regulator proporcjonalny o transmitancji D(z) = K. Dodatkowo dla K = 1
wyznacz zapasy amplitudy i fazy oraz maksymalne opóźnienie wyrażone w liczbie próbek
doprowadzające ukłąd do granicy stabilności.
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna połączenia kaskadowego regulatora, ekstrapolatora
zerowego rzędu i obiektu
(
)
3679
.
0
3679
.
1
2642
.
0
3679
.
0
)
(
)
(
2
0
+
−
+
=
=
z
z
z
K
z
G
KG
z
L
p
h
(2.2)
Bieguny transmitancji pętli
1
z = 1, oraz
2
z = 0.3679, czyli
P = 0 oraz
ω
P = 1. Wymaganie
dotyczące stabilności układu zamkniętego zgodnie ze wzorem (9) jest następujące
(
)
o
o
11
90
180
5
.
0
−
=
×
+
−
=
P
P
Φ
ω
(2.3)
W celu dokonania analizy przy użyciu kryterium Nyquista potrzebne jest analityczne
wyznaczenie transmitancji pozwalającej na zrobienie wykresu Nyquista. Można to zrobić na
dwa sposoby, w pierwszym przez podstawienie opisane wzorem (2) i wówczas uzyskuje się
niewymierną postać transmitancji pętli dla której można wykreślić charakterystykę
częstotliwościową Nyquista, ale wzory które uzyskuje się z wyodrębnienia części rzeczywistej
i urojonej transmitancji są zbyt złożone do wyznaczania częstotliwości, przy której wykres
przecina oś liczb rzeczywistych. Dlatego też dalsze obliczenia prowadzone będą po dokonaniu
podstawienia opisanego wzorem
w
m
w
m
z
−
+
=
, gdzie
T
m 2
=
.
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
8
( )
)
(
0
w
G
KG
w
L
p
h
=
=
w
w
w
w
K
5282
.
2
7358
.
2
5285
.
2
0570
.
1
1036
.
0
2
2
+
+
−
−
(2.4)
następnie po podstawieniu do równania (2.4)
w
j
w
ω
=
)
(
w
j
L
ω
=
w
w
w
w
j
j
K
ω
ω
ω
ω
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
+
5282
.
2
7358
.
2
0570
.
1
1036
.
0
5285
.
2
2
2
(2.5)
Przekształcając równanie (2.5) do postaci z wyodrębnioną częścią rzeczywistą i urojoną
otrzymuje się następującą postać dyskretnej transmitancji widmowej
)
(
w
j
L
ω
=
(
) (
)
w
w
w
w
w
j
K
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
3932
.
6
4844
.
7
3932
.
6
6295
.
2
5898
.
9
2835
.
0
3
2
3
(2.6)
Po przyrównaniu części urojonej do zera wyznaczona zostanie częstotliwość przy której wykres
przecina oś rzeczywistą i w tym przypadku wynosi
wp
ω
= 1.5593 [rad/s]
(2.7)
Częstotliwość ta wymaga przeskalowania według wzoru (5)
=
2
2
T
arctan
T
wp
p
ω
ω
= 1.3244 [rad/s]
(2.8)
Po podstawieniu do równania (2.6) otrzymanej w równaniu (2.7) częstotliwości przy której
wykres Nyquista przecina oś liczb rzeczywistych otrzymuje się dokładne współrzędne tego
punktu
)
(
wp
j
L
ω
=
)
5593
.
1
( j
L
=
−
0.4180 K
(2.9)
Korzystając z warunku stabilności
)
(
wp
j
L
ω
>
−
1
(2.10)
Wyznacza się zakres stabilności dla badanego układu
0 < K < 2.3922
(2.11)
Wartość wzmocnienia przy którym w układzie pojawią się oscylacje o stałej amplitudzie
K
kr
= 2.3922
(2.12)
Liczba próbek znajdująca się w jednym okresie oscylacji o stałej amplitudzie
T
T
T
N
p
ω
π
2
osc
osc
=
=
= 4.7442 [próbek]
(2.13)
gdzie: T
osc
jest okresem oscylacji, natomiast T okresem próbkowania. Zapas amplitudy
wyznacza się ze wzoru
GM =
(
)
K
K /
log
20
kr
(2.14)
Dla K = 1
GM = 7.5760 [dB]
(2.15)
Na podstawie równania (2.5) wyznaczona zostanie częstotliwość przy której moduł osiąga
wartość 1
(
)
1
5282
.
2
7358
.
2
0570
.
1
1036
.
0
5285
.
2
2
2
=
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
+
w
w
w
w
j
j
K
ω
ω
ω
ω
(2.16)
Moduły licznika i mianownika wyznaczane są z twierdzenia Pitagorasa i równanie (2.16)
przekształca się do postaci
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
9
(
)
(
)
1
5282
.
2
7358
.
2
0570
.
1
1036
.
0
5285
.
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
=
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
w
w
w
w
K
ω
ω
ω
ω
(2.17)
Dalsze przekształcanie zależności (2.17) prowadzi do następującego wielomianu
(
)
(
)
0
3932
.
6
3932
.
6
6413
.
1
4844
.
7
0107
.
0
2
2
2
4
2
=
+
⋅
−
+
⋅
−
K
K
K
w
w
ω
ω
(2.18)
Z rozwiązania wielomianu (2.18) dla K = 1 uzyskuje się częstotliwość przy której wykres
przecina trajektorię krytyczną
wg
ω
= 0.8125 [rad/s]
(2.19)
Dodatkowo uzyskane rozwiązanie (2.19) trzeba przeskalować według zależności (5)
=
2
2
T
atan
T
wg
g
ω
ω
= 0.7717 [rad/s]
(2.20)
Podstawiając do równania (2.5) uzyskaną częstotliwość odcięcia amplitudy
wg
ω
(2.19)
)
8125
.
0
( j
L
=
o
o
o
j
j
j
e
e
e
j
j
62
.
149
3176
.
131
2981
.
18
7352
.
2
7352
.
2
0543
.
2
8059
.
1
8587
.
0
5969
.
2
−
−
=
=
+
−
−
(2.21)
Zapas fazy wyrażony w stopniach
PM =
(
)
o
o
3843
.
30
180
8125
.
0
=
+
∠
j
L
= 0.5303 [rad]
(2.22)
Natomiast z zapasu fazy wyrażonego w radianach można wyznaczyć maksymalny zakres dla
czasu opóźnienia który może zostać jeszcze dodany do układu aby nie stracił on stabilności.
o
PM
T
g
ω
=
(2.23)
czyli maksymalna wartość czystego opóźnienia, która może zostać dodana do układu przy
wzmocnieniu K = 1
7717
.
0
5303
.
0
=
=
g
T
ω
PM
o
= 0.6872 [s]
(2.24)
Po przeliczeniu tego czasu opóźnienia na liczbę próbek
1
6872
.
0
=
=
T
T
N
o
o
= 0.6872 [próbki]
(2.25)
Przykład 3
Przy użyciu kryterium Nyquista dokonaj oceny stabilności układu z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym (rys. M1, str. 14) i transmitancją obiektu
)
(s
G
p
=
(
)
13
4
)
1
(
1
2
2
2
+
+
+
+
−
s
s
s
s
s
(3.1)
Okres próbkowania T = 0.25 [s]. Obiekt ten poprzedzony jest ekstrapolatorem zerowego rzędu.
Dodatkowo dla K = 5 wyznacz zapasy amplitudy i fazy oraz maksymalne opóźnienie wyrażone
w liczbie próbek doprowadzające ukłąd do granicy stabilności.
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna połączenia kaskadowego regulatora, ekstrapolatora
zerowego rzędu i obiektu
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
10
(
)
2865
.
0
0591
.
1
6664
.
1
1472
.
0
2195
.
0
0805
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
L
(3.2)
Bieguny transmitancji pętli L(z) są następujące:
1
p =
−
0.7788, oraz
3
,
2
p = 0.4438
±
j0.4134,
czyli P = 0 oraz
ω
P = 0. Wymaganie dotyczące stabilności układu zamkniętego jest następujące
(
)
o
o
0
180
5
.
0
11
=
×
+
−
=
P
P
Ö
ω
(3.3)
Dalsze obliczenia prowadzone będą po dokonaniu podstawienia opisanego wzorem (4).
( )
w
L
=
3954
.
54
5760
.
72
9819
.
21
0120
.
4
1843
.
4
0581
.
9
6449
.
4
4473
.
0
2
3
2
3
+
+
+
+
−
+
−
w
w
w
w
w
w
K
(3.4)
Po podstawieniu wzoru (5) do równania (3.4) i przekształceniu go do postaci z wyodrębnioną
częścią rzeczywistą i urojoną otrzymuje się następującą postać dyskretnej transmitancji
widmowej dla części rzeczywistej
)
(
Re
w
j
L
ω
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
6
9819
.
21
3954
.
54
9819
.
21
3954
.
54
6049
.
227
0403
.
1002
9049
.
170
7943
.
1
w
w
w
w
w
w
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
−
⋅
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
(3.5)
i dla części urojonej
)
(
Im
w
j
L
ω
=
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
9819
.
21
3954
.
54
9819
.
21
3954
.
54
3965
.
796
3387
.
557
4669
.
28
w
w
w
w
w
w
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
−
⋅
+
⋅
−
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
(3.6)
Po przyrównaniu części urojonej do zera wyznaczone zostaną częstotliwości przy których
wykres przecina oś rzeczywistą i w tym przypadku wynoszą one
1
wp
ω
= 1.2201 [rad/s]
(3.7)
2
wp
ω
= 4.3350 [rad/s]
(3.8)
Częstotliwość te po przeskalowaniu według wzoru (5)
=
2
2
1
1
T
atan
T
wp
p
ω
ω
= 1.2108 [rad/s]
(3.9)
=
2
2
2
2
T
atan
T
wp
p
ω
ω
= 3.9727 [rad/s]
(3.10)
Po podstawieniu do równania (3.5) otrzymanych w równaniu (3.6) częstotliwości przy których
wykres Nyquista przecina oś liczb rzeczywistych otrzymuje się dokładne współrzędne tych
punktów
)
(
1
wp
j
L
ω
=
)
2201
.
1
( j
L
=
−
0.1260K
(3.11)
)
(
2
wp
j
L
ω
=
)
3350
.
4
( j
L
= 0.2317K
(3.12)
Korzystając z warunków stabilności dla K > 0
)
(
1
wp
j
L
ω
>
−
1
(3.13)
oraz dla K < 0
)
(
2
wp
j
L
ω
−
< 1
(3.14)
Wyznacza się zakres stabilności dla badanego w tym przykładzie układu
−
4.3162 < K < 7.9363
(3.15)
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
11
Zapas amplitudy wyznacza się ze wzoru
GM =
(
)
K
K
gr
/
log
20
(3.16)
Dla K = 5
GM =
(
)
5
/
9363
.
7
log
20
= 4.0129 [dB]
(3.17)
Na podstawie równania (3.4) po podstawieniu wzoru (5) wyznaczona zostanie częstotliwość
przy której moduł osiąga wartość 1
(
)
(
)
(
)
1
0120
.
4
5760
.
72
9819
.
21
3954
.
54
4473
.
0
0581
.
9
6449
.
4
1843
.
4
2
2
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
w
w
w
w
w
w
j
j
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(3.18)
Moduły licznika i mianownika wyznaczane są z twierdzenia Pitagorasa i równanie (3.18)
przekształca się do postaci
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0120
.
4
5760
.
72
9819
.
21
3954
.
54
4473
.
0
0581
.
9
6449
.
4
1843
.
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
+
⋅
−
w
w
w
w
w
w
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(3.19)
Po podstawieniu do równania (3.19) za K = 5 i przekształceniuu go uzyskuje się następujący
wielomian
0
1621
.
2521
3891
.
1796
9630
.
435
0954
.
11
2
4
6
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
w
w
w
ω
ω
ω
(3.20)
Z rozwiązania wielomianu (3.20) uzyskuje się dwie częstotliwość przy których wykres przecina
trajektorię krytyczną
1
wg
ω
= 2.4496 [rad/s]
(3.21)
2
wg
ω
= 5.8645 [rad/s]
(3.22)
Po przeskalowaniu uzyskanych rozwiązań (3.21) oraz (3.22), według zależności (5) otrzymuje
się
=
2
2
1
1
T
atan
T
wg
g
ω
ω
= 2.3771 [rad/s]
(3.23)
=
2
2
2
2
T
atan
T
wg
g
ω
ω
= 5.0606 [rad/s]
(3.24)
Podstawiając do równania (2.5) częstotliwość odcięcia amplitudy
1
wg
ω
= 2.4496 [rad/s]
)
4496
.
2
( j
L
=
o
o
o
j
j
j
e
e
e
j
j
7281
.
269
1199
.
123
6081
.
146
8576
.
141
8576
.
141
0981
.
118
5102
.
77
0730
.
78
4407
.
118
−
−
=
=
+
−
−
−
(3.25)
oraz częstotliwość odcięcia amplitudy
2
wg
ω
= 5.8645 [rad/s]
)
8645
.
5
( j
L
=
o
o
o
j
j
j
e
e
e
j
j
9248
.
317
3340
.
151
5908
.
166
6266
.
799
6266
.
799
5823
.
383
6176
.
701
4366
.
185
8277
.
777
=
=
−
−
+
−
−
(3.26)
Zapasy fazy wyrażone w stopniach i radianach
PM
1
=
(
)
o
o
7281
.
89
180
4496
.
2
−
=
+
∠
j
L
= 4.7076 [rad]
(3.27)
oraz
PM
2
=
(
)
o
o
9248
.
137
180
8645
.
5
=
−
∠
j
L
= 2.4072 [rad]
(3.28)
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
12
Z zapasu fazy wyrażonego w radianach można wyznaczyć maksymalne opóźnienie wyrażone w
liczbie próbek, które doprowadzi ten układ do granicy stabilności, według następującego wzoru
T
N
g
o
rad
PM
ω
=
(2.29)
gdzie T jest okresem próbkowania. Po przekształceniu wzoru (2.29) wyznaczone zostały liczby
próbek dla tego układu
=
=
1
1
PM
g
rad
T
N
ω
o1
7.9216 [próbek]
(2.30)
=
=
2
2
PM
g
rad
T
N
ω
o2
1.9027 [próbek]
(2.30)
Wyniki w tym przykładzie uzyskane zostały przy użyciu następującego kodu programu
Matlaba.
clear
close all
numGpC = [1 -2 1];
denGpC = conv([1 1],[1 4 13]);
sysGpC = tf( numGpC, denGpC)
sisotool( sysGpC)
T = 0.25; % Okres próbkowania
% Wyznaczenie transmitancji dyskretnej
sysGoD = c2d( sysGpC, T, 'zoh')
[numD, denD] = tfdata( sysGoD, 'v')
rr = roots( denD)
% Współczynniki transmitancji dyskretnej
b3 = numD(1); b2 = numD(2); b1 = numD(3); b0 = numD(4); % Licznika
a3 = denD(1); a2 = denD(2); a1 = denD(3); a0 = denD(4); % Mianownik
% Wykres Nyquista
%w = [0.01:0.01:pi];
%nyquist( sysGoD, w);
% Współczynniki transmitancji uzyskanej po zastosowaniu transformaty w
m = 2/T;
% Licznika
b3w = b3-b2+b1-b0
b2w = (b3-b2-b1+3*b0)*m
b1w = (b3+b2-b1-3*b0)*m^2
b0w = (b3+b2+b1+b0)*m^3
% Mianownika
a3w = a3-a2+a1-a0
a2w = (3*a3-a2-a1+3*a0)*m
a1w = (3*a3+a2-a1-3*a0)*m^2
a0w = (a3+a2+a1+a0)*m^3
% Wyznaczenie częstotliwości przecięcia z osią liczb rzeczywistych
Pw = [a3w*b3w 0 (a2w*b2w-a3w*b1w-b3w*a1w) 0 (b1w*a1w-b0w*a2w-a0w*b2w)
0 a0w*b0w]
Qw = [(a2w*b3w-a3w*b2w) 0 (-a0w*b3w+a1w*b2w-a2w*b1w+a3w*b0w) 0
(a0w*b1w-a1w*b0w)]
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
13
Qws = Qw;
rQws = roots( Qws)
w = rQws(3)
w1 = (2/T)*atan(w*T/2)
% Wyznaczenie punktu przecięcia z osią liczb rzeczywistych
Mws = (a0w-a2w*w^2)^2 + (w^2)*(a1w-a3w*w^2)^2;
Pws = (a3w*b3w*w^6 + (a2w*b2w-a3w*b1w-b3w*a1w)*w^4 + (b1w*a1w-b0w*a2w-
a0w*b2w)*w^2 + a0w*b0w)/Mws
Kgr = -1/Pws
% Zapasy wzmocnienia i fazy
K = 5; % wartość wzmocnienia
% Zapas wzmocnienia
DK = Kgr/K
GMdB = 20*log10(DK)
% Wyznaczenie
częstotliwośći przy której moduł transmitancji widmowej
% jest równy jedności
QQp = [(K^2*b3w^2-a3w^2) 0 ((-2*b1w*b3w+b2w^2)*K^2-(a2w^2-2*a1w*a3w))
0 (K^2*(-2*b0w*b2w+b1w^2)-(a1w^2-2*a0w*a2w)) 0 (K^2*b0w^2-a0w^2)]
rQQp = roots( QQp)
wg = rQQp(2)
wg1 = (2/T)*atan(wg*T/2)
w=wg
% Licznik transmitancji widmowej dla w = wg w postaci algebraicznej
Lw = K*((b0w-b2w*w^2) + (b1w-b3w*w^2)*w*j)
MLw = abs( Lw)
phi_Lw = angle( Lw)*180/pi
% Mianownik transmitancji widmowej dla w = wg w postaci algebraicznej
Mw = (a0w-a2w*w^2) + (a1w-a3w*w^2)*w*j
MMw = abs( Mw)
phi_Mw = angle( Mw)*180/pi
% Transmitancja wypadkowa w postaci wykładniczej
Aw = MLw/MMw
phi = phi_Lw - phi_Mw
% zapas fazy w stopniach
PM = -180+phi
% zapas fazy w radianach
%PM_rad = (180-PM)*pi/180
PM_rad = PM*pi/180
% Maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
To_gr = (PM_rad/wg1)
No_gr = To_gr/T
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
14
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1.
Schemat blokowy układu sterowania impulsowego pokazany jest na rysunku M1. Przy użyciu
kryterium Nyquista, wyznacz następujące parametry:
•
zakres wartości wzmocnienia K dla którego analizowany układ będzie stabilny,
•
wartość wzmocnienia krytycznego i liczbę próbek mieszczących się w jednym okresie
oscylacji.
•
dla zadanego K wyznacz zapas amplitudy i fazy,
•
na podstawie wyznaczonego zapasu fazy wyznacz maksymalną wartość czystego czasu
opóźnienia wyrażonego w próbkach N
o
, które może zostać wprowadzone do układu.
Wykres Nyquista L(j
ω
) skonstruuj przy użyciu programu komputerowego.
T
K
ZOH
G
p
(s)
R(s)
Y(s)
E(s)
E
*
(s)
U
*
(s)
H(s)
Rys. M1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
Uwaga:
Po wyznaczeniu dyskretnej transmitancji pętli L(z) w celu wyznaczenia L(w) dokonaj
następującego podstawienia:
w
m
w
m
z
−
+
=
, gdzie
T
m 2
=
.
a)
( )
2
7
1
2
+
+
=
s
s
s
G
p
,
okres próbkowania T = 0.2 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 10.
b)
( ) ( )
2
5
+
=
s
s
s
G
p
,
okres próbkowania T = 0.1 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
c)
( )
4
1
2
+
+
=
s
s
s
G
p
,
okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 5.
d)
( )
2
6
1
2
+
+
=
s
s
s
G
p
,
okres próbkowania T = 0.5 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 3.
e)
( ) ( )
4
3
+
=
s
s
s
G
p
,
okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
f)
( )
2
2
5
2
+
+
=
s
s
s
G
p
, okres próbkowania T = 0.1 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 5.
g)
( )
6
4
1
2
+
+
=
s
s
s
G
p
, okres próbkowania T = 0.5 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 10.
h)
( ) ( )
5
2
+
=
s
s
s
G
p
, okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
i)
( )
(
)
10
2
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
p
, okres próbkowania T = 0.2 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 1.
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
15
j)
( )
5
2
4
4
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
p
,okres próbkowania T = 0.1 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 2.
k)
( )
4
10
9
3
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
p
, okres próbkowania T = 0.25 [s], zapasy amplitudy i fazy dla K = 5.
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
M1.
a)
warunek stabilności:
o
11
0
=
Φ
;
1711
.
0
6027
.
0
0980
.
0
0855
.
0
0066
.
0
10
9387
.
1
)
(
2
2
4
+
+
+
−
⋅
−
=
−
w
w
w
w
K
w
L
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
6027
.
0
0980
.
0
1711
.
0
9338
.
32
3323
.
0
1482
.
9
7123
.
7
0119
.
0
)
(
w
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
+
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
1
wp
ω
= 0 [rad/s],
2
wp
ω
= 9.9557 [rad/s]
po przeskalowaniu
1
p
ω
= 0 [rad/s],
2
p
ω
= 7.8318 [rad/s].
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
)
(
1
wp
j
L
ω
= 0.5K,
)
(
2
wp
j
L
ω
=
−
0.0110K,
Stabilny dla
−
2 < K < 91.0986,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
91.0986, w jednym okresie
=
osc
N
4.0113 [próbek]
Dla K = 10; zapas wzmocnienia, GM = 19.1902 dB,
wielomian:
0
1134
.
439
2745
.
201
0022
.
6
2
4
=
+
−
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 81.6876
o
(
wg
ω
= 1.4338 [rad/s],
g
ω
= 1.4240 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
5.0059 [próbek].
b)
warunek stabilności:
o
11
90
−
=
Φ
;
w
w
w
w
K
w
L
2508
.
7
6375
.
3
1269
.
18
8762
.
0
0015
.
0
)
(
2
2
+
+
−
−
=
(
) (
)
(
)
(
)
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
3
2
2
3
2508
.
7
6375
.
3
4342
.
131
1760
.
3
2888
.
72
0055
.
0
)
(
+
−
−
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
wp
ω
= 6.4330 [rad/s],
po przeskalowaniu
p
ω
= 6.2240 [rad/s].
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
K
j
L
wp
1208
.
0
)
(
−
=
ω
,
Stabilny dla 0 < K < 8.2757,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
8.2757, w jednym okresie
=
osc
N
10.0952 [próbek]
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 12.3355 dB,
wielomian: 0
3416
.
1314
2841
.
49
2311
.
13
2
4
=
+
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 26.8058
o
(
wg
ω
= 2.8770 [rad/s],
g
ω
= 2.8574 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
1.6373 [próbek].
c)
warunek stabilności:
o
11
0
=
Φ
;
8646
.
13
5392
.
3
3410
.
3
4661
.
3
4151
.
0
0023
.
0
)
(
2
2
+
+
+
−
−
=
w
w
w
w
K
w
L
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
5392
.
3
3410
.
3
8646
.
13
0223
.
18
3787
.
1
0566
.
48
0178
.
13
0076
.
0
)
(
w
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
+
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
1
wp
ω
= 0 [rad/s],
2
wp
ω
= 3.6155 [rad/s]
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
16
po przeskalowaniu
1
p
ω
= 0 [rad/s],
2
p
ω
= 3.3957 [rad/s].
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
)
(
1
wp
j
L
ω
= 0.25K,
)
(
2
wp
j
L
ω
=
−
0.0954K,
Stabilny dla
−
4 < K < 8.5265,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
8.5265, w jednym okresie
=
osc
N
7.4014 [próbek]
Dla K = 5; zapas wzmocnienia, GM = 4.6360 dB,
wielomian:
0
5385
.
129
8850
.
100
2259
.
14
2
4
=
+
+
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 15.0669
o
(
wg
ω
= 2.9514 [rad/s],
g
ω
= 2.8275 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
0.3720 [próbek].
d)
warunek stabilności:
o
11
0
=
Φ
;
4428
.
2
6070
.
7
9469
.
1
2244
.
1
1698
.
0
0339
.
0
)
(
2
2
+
+
+
−
−
=
w
w
w
w
K
w
L
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
6070
.
7
9469
.
1
4428
.
2
6996
.
9
0730
.
0
9837
.
2
5860
.
3
0660
.
0
)
(
w
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
+
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
1
wp
ω
= 0 [rad/s],
2
wp
ω
= 11.5255 [rad/s]
po przeskalowaniu
1
p
ω
= 0 [rad/s],
2
p
ω
= 4.9470 [rad/s].
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
)
(
1
wp
j
L
ω
= 0.5K,
)
(
2
wp
j
L
ω
=
−
0.0223K,
Stabilny dla
−
2 < K < 44.7655,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
44.7655, w jednym okresie
=
osc
N
2.5402 [próbek]
Dla K = 3; zapas wzmocnienia, GM = 23.4764 dB,
wielomian:
0
4593
.
7
2695
.
47
7801
.
3
2
4
=
+
−
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 122.3558
o
(
wg
ω
= 0.3948 [rad/s],
g
ω
= 0.3935 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
10.8535 [próbek].
e)
warunek stabilności:
o
11
90
−
=
Φ
;
w
w
w
w
K
w
L
1139
.
10
7358
.
2
5854
.
7
7927
.
0
0194
.
0
)
(
2
2
+
+
−
−
=
(
) (
)
(
)
(
)
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
3
2
2
3
1139
.
10
7358
.
2
7187
.
76
9722
.
1
7695
.
28
0532
.
0
)
(
+
−
−
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
wp
ω
= 6.2370 [rad/s],
po przeskalowaniu
p
ω
= 5.2976 [rad/s].
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
K
j
L
wp
0784
.
0
)
(
−
=
ω
,
Stabilny dla 0 < K < 4.7442,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
4.7442, w jednym okresie
=
osc
N
4.7442 [próbek]
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 16.0954 dB,
wielomian: 0
1560
.
230
5987
.
98
4829
.
7
2
4
=
+
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 60.5416
o
(
wg
ω
= 1.4225 [rad/s],
g
ω
= 1.4078 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
3.0023 [próbek].
f)
warunek stabilności:
o
11
0
=
Φ
;
2387
.
7
2508
.
7
6194
.
3
0968
.
18
8747
.
0
0015
.
0
)
(
2
2
+
+
+
−
−
=
w
w
w
w
K
w
L
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
2508
.
7
6194
.
3
2387
.
7
5469
.
137
1548
.
3
9970
.
130
8299
.
71
0055
.
0
)
(
w
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
+
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
1
wp
ω
= 0 [rad/s],
2
wp
ω
= 6.6029 [rad/s]
po przeskalowaniu
1
p
ω
= 0 [rad/s],
2
p
ω
= 6.3776 [rad/s].
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
17
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
)
(
1
wp
j
L
ω
= 2.5K,
)
(
2
wp
j
L
ω
=
−
0.1206K,
Stabilny dla
−
0.4 < K < 8.2897,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
8.2897, w jednym okresie
=
osc
N
9.8520 [próbek]
Dla K = 5; zapas wzmocnienia, GM = 4.3913 dB,
wielomian:
0
9132
.
8134
3163
.
20
0997
.
13
2
4
=
+
+
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 9.4512
o
(
wg
ω
= 5.0702 [rad/s],
g
ω
= 4.9656 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
0.3322 [próbek].
g)
warunek stabilności:
o
11
0
=
Φ
;
2157
.
9
9173
.
6
6947
.
1
5359
.
1
2582
.
0
0315
.
0
)
(
2
2
+
+
+
−
−
=
w
w
w
w
K
w
L
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
9173
.
6
6947
.
1
2157
.
9
0099
.
13
22
.
0
1547
.
14
0990
.
4
0533
.
0
)
(
w
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
+
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
1
wp
ω
= 0 [rad/s],
2
wp
ω
= 7.6885 [rad/s]
po przeskalowaniu
1
p
ω
= 0 [rad/s],
2
p
ω
= 4.3643 [rad/s].
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
)
(
1
wp
j
L
ω
= 0.1667K,
)
(
2
wp
j
L
ω
=
−
0.0373K,
Stabilny dla
−
6 < K < 26.7923,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
26.7923, w jednym okresie
=
osc
N
2.8794 [próbek]
Dla K = 10; zapas wzmocnienia, GM = 8.5602 dB,
wielomian:
0
9837
.
150
2867
.
0
7731
.
2
2
4
=
+
−
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 58.7103
o
(
wg
ω
= 2.7069 [rad/s],
g
ω
= 2.3797 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
0.8612 [próbek].
h)
warunek stabilności:
o
11
90
−
=
Φ
;
w
w
w
w
K
w
L
4159
.
11
5730
.
2
5730
.
2
4549
.
0
0145
.
0
)
(
2
2
+
+
−
−
=
(
) (
)
(
)
(
)
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
3
2
2
3
5730
.
2
5730
.
2
1293
.
52
0049
.
1
9420
.
16
0373
.
0
)
(
+
−
−
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
wp
ω
= 7.2023 [rad/s],
po przeskalowaniu
p
ω
= 5.8638 [rad/s].
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
K
j
L
wp
0398
.
0
)
(
−
=
ω
,
Stabilny dla 0 < K < 25.0973,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
25.0973, w jednym okresie
=
osc
N
4.2761 [próbek]
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 21.9719 dB,
wielomian: 0
4069
.
83
9663
.
128
6195
.
6
2
4
=
+
−
−
w
w
ω
ω
zapas fazy PM = 75.3847
o
(
wg
ω
= 0.7916 [rad/s],
g
ω
= 0.7890 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
6.6703 [próbek].
i)
warunek stabilności:
o
11
90
−
=
Φ
;
w
w
w
w
w
w
K
w
L
7729
.
63
1872
.
13
0436
.
6
7546
.
12
1884
.
5
6447
.
0
10
7202
.
1
)
(
2
3
2
3
4
+
+
+
+
−
⋅
−
=
−
(
) (
)
(
)
(
)
w
w
w
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
2
3
2
2
4
3
5
0436
.
6
7729
.
63
1872
.
13
3978
.
813
4489
.
32
8938
.
3
6796
.
162
8464
.
39
0010
.
0
)
(
−
+
−
−
−
+
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
wp
ω
= 4.3828 [rad/s],
po przeskalowaniu
p
ω
= 4.1306 [rad/s].
Punkt przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
K
j
L
wp
0992
.
0
)
(
−
=
ω
,
Teoria sterowania
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-29
M. Tomera
18
Stabilny dla 0 < K < 10.0768,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
10.0768, w jednym okresie
=
osc
N
7.6056 [próbek]
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 14.0459 dB,
wielomian:
0
7182
.
650
5337
.
3893
5974
.
598
5245
.
36
2
4
6
=
+
−
+
−
w
w
w
ω
ω
ω
zapas fazy PM = 94.5078
o
(
wg
ω
= 0.4142 [rad/s],
g
ω
= 0.4140 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
19.9202 [próbek].
j)
warunek stabilności:
o
11
0
=
Φ
;
9131
.
32
2747
.
13
2921
.
26
6481
.
6
3305
.
26
3537
.
5
3335
.
0
)
(
2
3
2
+
+
+
+
+
−
=
w
w
w
w
w
K
w
L
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
2
4
6481
.
6
2747
.
13
2921
.
26
9131
.
32
3240
.
173
8614
.
29
2171
.
2
6198
.
8666
2400
.
610
3599
.
44
)
(
w
w
w
w
w
w
w
w
w
j
K
j
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
−
−
+
+
+
−
−
=
,
Częstotliwość przy której wykres przecina oś rzeczywistą:
1
wp
ω
= 0 [rad/s],
2
wp
ω
= 2.0928 [rad/s]
po przeskalowaniu
1
p
ω
= 0 [rad/s],
2
p
ω
= 2.0852 [rad/s].
Punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych:
)
(
1
wp
j
L
ω
= 0.8K,
)
(
2
wp
j
L
ω
=
−
0.3379K,
Stabilny dla
−
1.25 < K < 2.9594,
Oscylacje o stałej amplitudzie:
=
kr
K
2.9594, w jednym okresie
=
osc
N
30.1316 [próbek]
Dla K = 2; zapas wzmocnienia, GM = 3.4035 dB,
wielomian: 0
9086
.
1689
3894
.
1739
3272
.
514
1971
.
44
2
4
6
=
+
−
−
−
w
w
w
ω
ω
ω
zapas fazy PM = 2.9251
o
(
wg
ω
= 1.8373 [rad/s],
g
ω
= 1.8322 [rad/s])
maksymalna wartość czystego czasu opóźnienia
=
o
N
0.2786 [próbek].
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.
Addison-Wesley Publishing Company, 1998
2. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7
th
ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Badanie stabilności układów na podstawie kryterium Nyquista Zapas?zy i wzmocnienia
Badanie stabilności układów na podstawie kryterium Nyquista Zapas?zy i wzmocnienia
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Lab 6 Drgania Swobodne Liniowych Układów Dyskretnych
Kryteria oceny dla właściwego doboru systemowych deskowań stropowych
PALIWA GAZOWE DLA UKŁADÓW KOGENERACYJNYCH KalinaSkorekpaliwa
lab 10 Modelownie liniowych układów dyskretnych
Kryteria dostępu i kryteria strategiczne dla Priorytetu IX
lab Modelownie liniowych układów dyskretnych
KRYTERIA WYMOGÓW DLA KLASY II, DLA DZIECI, Klasa 2, klasa II(1)
Kryteria oceniania dla klasy III na rok szkolny 14
6.1.2 Kryterium Nyquista
17 Kryterium Nyquista, MiBM Politechnika Poznanska, IV semestr, automatyka, egzamin, pierdoly, Autom
Opis dynamiki liniowych układów dyskretnych
więcej podobnych podstron