Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Opisana szczegółowo technika wykreślania linii pierwiastkowych dla układów ciągłych może być
zastosowana bez żadnych komplikacji dla układów dyskretnych. Sposób wykreślania tych linii jest
identyczny jak dla układów ciągłych z tą różnicą, że analiza odbywa się na płaszczyźnie z gdzie są
inne warunki stabilności.
E(s)
T
p
K
G(s)
E
*
(s)
H(s)
U
*
(s)
Y(s)
R(s)
Y
*
(s)
T
p
Rys. 1. Układ sterowania dyskretnego ze strojonym parametrem K
Dla układu pokazanego na rysunku 1, wypadkowa transmitancja dyskretna przyjmuje postać
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
z
KGH
z
KG
z
R
z
Y
z
T
+
=
=
(1)
Dyskretne równanie charakterystyczne dla tego układu (rys. 1) jest następujące
0
)
(
1
)
(
1
)
(
=
+
=
+
=
z
KGH
z
L
z
M
(2)
gdzie L(z) jest dyskretną transmitancję pętli otwartej. Linie pierwiastkowe wykreślane na płaszczyźnie
z są trajektoriami rozwiązań równania (2) przy zmieniającej się wartości parametru K. Funkcja opisana
wzorem (2), zazwyczaj jest funkcją wymierną w funkcji z ze stałymi współczynnikami, bieguny i zera
są również liczbami skończonymi i liczba gałęzi linii pierwiastkowej na płaszczyźnie z jest również
skończona. Te same procedury konstruowania, które są stosowane dla układów ciągłych mogą być
bezpośrednio zastosowane na płaszczyźnie z dla układów sterowania dyskretnego. Inny natomiast jest
sposób oceny własności analizowanego układu, gdyż obszar położeń biegunów stabilnych ogranicza
się do wnętrza koła jednostkowego. W tabeli 1 zebrane zostały zasady wykreślania linii
pierwiastkowych dla układów dyskretnych.
Tabela 1. Własności linii pierwiastkowych
0
)
(
1
=
+
z
KGH
1. Punkty dla K = 0
Punkty dla K = 0 są biegunami transmitancji GH(z), obejmując
również takie, które znajdują się w z =
∞
.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
2
2. Punkty dla K=
∞
±
Punkty dla K=
∞
±
są zerami transmitancji GH(z), zawierając
również te które znajdują się w z =
∞
.
3. Liczba oddzielnych linii
pierwiastkowych
Całkowita liczba linii pierwiastkowych jest równa rzędowi równania
M(z) = 0.
4. Symetria linii
pierwiastkowych
Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb
rzeczywistych i czasami innej pionowej osi symetrii pojawiajacej się
w konfiguracji zero-biegunowej transmitancji KGH(z).
5. Asymptoty linii
pierwiastkowych gdy
∞
→
z
Dla dużych wartości z, linie pierwiastkowe (K > 0) są zbieżne do
asymptot, których kąty są wyznaczane z następujących zależności:
o
180
1
2
×
−
+
=
m
n
i
i
θ
Dla linii pierwiastkowych (K < 0),
o
180
2
×
−
=
m
n
i
i
θ
gdzie
i = 0, 1, 2, ...,
1
−
−
m
n
;
n = liczba skończonych biegunów transmitancji GH(z)
m = liczba skończonych zer transmitancji GH(z)
6. Punkt przecięcia
asymptot
(a) Punkt przecięcia asymptot występuje tylko na osi liczb
rzeczywistych
(b) Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest ze wzoru
m
n
z
GH
z
GH
a
−
−
=
¦
¦
)
(
cji
transmitan
zer
)
(
cji
transmitan
biegunów
σ
7. Linie pierwiastkowe na
osi liczb rzeczywistych
Linia pierwiastkowa (K > 0) występuje w tych odcinkach osi liczb
rzeczywistych dla których suma rzeczywistych zer i biegunów
transmitancji GH(z) z prawej strony tego odcinka jest parzysta. Jeśli
całkowita liczba zer i biegunów z prawej strony odcinka jest
nieparzysta, wówczas występuje linia pierwiastkowa dla (K < 0).
8. Kąty wejścia i wyjścia
Kąty wejścia lub wyjścia linii pierwiastkowej do bieguna lub zera
transmitancji GH(z) mogą być wyznaczone przy założeniu punktu,
który jest bardzo blisko rozważanego bieguna lub zera przez
zastosowanie równania
dla (K > 0)
(
)
(
)
=
−
∠
−
−
∠
=
∠
¦
¦
=
=
n
j
j
m
k
k
p
z
z
z
z
GH
1
1
1
1
1
)
(
¦
¦
=
=
−
n
j
j
m
k
k
1
1
θ
φ
(
)
o
180
1
2
×
+
±
=
i
dla (K < 0)
(
)
(
)
=
−
∠
−
−
∠
=
∠
¦
¦
=
=
n
j
j
m
k
k
p
z
z
z
z
GH
1
1
1
1
1
)
(
¦
¦
=
=
−
n
j
j
m
k
k
1
1
θ
φ
o
180
2
×
±
=
i
gdzie i = 0, 1, 2, 3, ....
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
3
9. Punkty przecięcia linii
pierwiastkowych z
okręgiem
jednostkowym
Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych
odpowiadają wartościom K, które mogą być wyznaczone przy
użyciu kryterium Routha.
10. Punkty rozgałęzień
Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej są wyznaczane z
zależności
0
=
dz
dK
, lub
0
)
(
=
dz
z
dGH
. Są to tylko warunki
konieczne.
11. Obliczenie wartości K
na podstawie linii
pierwiastkowej
Wartość bezwzględną K w pewnym punkcie
1
z należącym do linii
pierwiastkowej, wyznacza się na podstawie zależności
)
(
1
1
z
GH
K
=
Poniższy przykład ilustruje sposób konstruowania linii pierwiastkowej dla układu dyskretnego na
płaszczyźnie z.
Przykład 1
Dla poniższego układu sterowania dyskretnego (rys. 1.1) naszkicuj linie pierwiastkowe,
wyznaczając kolejne własności przy wykorzystaniu tabeli 1. Na podstawie wykreślonych linii
pierwiastkowych i kryterium Routha określ:
•
Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny
•
Wartość wzmocnienia krytycznego
kr
K przy którym w układzie pojawiają się oscylacje
o stałej amplitudzie oraz okres tych oscylacji
osc
T
.
•
Dla K = 10 wyznacz zapas wzmocnienia
Okres próbkowania T
p
= 1 [s].
E(s)
T
p
ZOH
K
s
3
+ 5s
2
+ 9s + 5
E
*
(s)
Y(s)
R(s)
Rys. 1.1. Schemat blokowy rozważanego układu regulacji
Rozwiązanie. Transmitancja dyskretna pętli otwartej dla tego układu ma postać
0067
.
0
0721
.
0
5141
.
0
0039
.
0
0569
.
0
0494
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
+
=
z
z
z
z
z
K
z
GH
(1.1)
Transmitancja dyskretna pętli otwartej zapisana w postaci zerowo-biegunowej
(
)(
)
(
)(
)(
)
1139
.
0
0731
.
0
1139
.
0
0731
.
0
3679
.
0
0737
.
0
0792
.
1
)
(
j
z
j
z
z
z
z
K
z
GH
+
−
−
−
−
+
+
=
(1.2)
Własności linii pierwiastkowej wyznaczanej dla transmitancji ciągłej zebrane są w tabeli 1. Te
same własności zostaną wykorzystane do wykreślenia linii pierwiastkowych dla układu
dyskretnego.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
4
1. Punkty w których K = 0 są biegunami transmitancji GH(z): z = 0.3679, 0.0731+j0.1139,
0.0731
−
j0.1139.
2. Punkty w których K =
∞
±
są zerami transmitancji GH(z): z =
−
1.0792,
−
0.0737,
∞
.
3. Są trzy oddzielne gałęzi linii pierwiastkowych.
4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyźnie z.
5. Transmitancja GH(z) ma trzy bieguny oraz dwa skończone i jedno nieskończone zero, czyli
jedna gałąź linii pierwiastkowych osiąga nieskończoność wzdłuż asymptoty. Kąty asymptot
linii pierwiastkowych wyznaczane są z równania
o
o
180
2
3
1
2
180
1
2
−
+
=
−
+
=
i
m
n
i
i
θ
∞
<
<
K
0
(1.3)
dla i = 0. Więc tylko jedna linia pierwiastkowa dla K > 0 osiąga nieskończoność wzdłuż
asymptoty pod kątem: 180
°
. Kąty asymptot linii pierwiastkowych (K < 0) wyznaczane są
z równania
o
o
180
2
3
2
180
2
−
=
−
=
i
m
n
i
i
θ
0
<
<
∞
−
K
(1.4)
dla i = 0. Więc kiedy K osiąga
−∞
, wówczas jedna linia pierwiastkowa osiąga
nieskończoność wzdłuż asymptoty pod kątem: 0
°
.
6. Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest z równania
(
)
6670
.
1
2
3
0737
.
0
0792
.
1
1139
.
0
0731
.
0
1139
.
0
0731
.
0
3679
.
0
=
−
−
−
−
−
+
+
+
=
j
j
a
σ
(1.5)
7. Linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych. Odcinek linii pierwiastkowej (K<0) na osi
liczb rzeczywistych znajduje się od
∞
do punktu z = 0.3679 oraz od punktu –0.0737 do
punktu –1.0792, natomiast pozostałe części osi liczb rzeczywistych od punktu z = 0.3679 do
punktu –0.0737 oraz od punktu –1.0792 do
∞
pokryta jest przez linię pierwiastkową dla
K>0.
8. Kąty wyjścia: Kąt wyjścia
θ
linii pierwiastkowej z bieguna 0.0731+j0.1139 jest wyznaczany
przy użyciu równania tego samego równania. Jeśli
1
z jest punktem na linii pierwiastkowej
opuszczającej biegun 0.0731+j0.1139 i znajduje się bardzo blisko tego bieguna to.
(
) (
) (
)
3679
.
0
0737
.
0
0792
.
1
1
1
1
−
∠
−
+
∠
+
+
∠
z
z
z
(
) (
)
o
180
1139
.
0
0731
.
0
1139
.
0
0731
.
0
1
1
−
=
−
+
∠
−
−
+
∠
−
j
z
j
z
(1.6)
Wprowadzone zostały następujące zmienne opisujące powyższe kąty
o
3
2
1
2
1
180
−
=
−
−
−
+
θ
θ
θ
φ
φ
(1.7)
Po wyznaczeniu kątów zawartych pomiędzy biegunem 0.0731+j0.1139 i pozostałymi zerami
i biegunami
o
o
2
o
o
o
180
90
8758
.
158
7921
.
37
6442
.
5
−
≅
−
−
−
+
θ
(1.8)
czyli
o
2
4395
.
25
−
≅
θ
(1.9)
W podobny sposób równanie (1.9) jest używane do określenia kąta wejścia linii
pierwiastkowej (K < 0) do bieguna 0.0731+j0.1139. Kąt ten wyznaczany jest w bardzo łatwy
sposób, gdyż kąt
'
2
θ
różni się od kąta
2
θ
o 180
°
; więc
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
5
o
o
o
2
'
2
5605
.
154
4395
.
25
180
180
=
−
=
+
=
θ
θ
(1.10)
9. Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z okręgiem jednostkowym poza osią liczb
rzeczywistych na płaszczyźnie z wyznaczane są na podstawie równania charakterystycznego,
które w tym przypadku ma postać
(
)
(
)
(
)
0
0067
.
0
0039
.
0
0721
.
0
0569
.
0
5141
.
0
0494
.
0
)
(
2
3
=
−
+
⋅
+
+
⋅
−
+
+
=
K
z
K
z
K
z
z
M
(1.11)
Aby móc zastosować kryterium Routha powyższe równanie zostanie przekształcone przez
transformację biliniową o postaci
r
r
z
−
+
=
1
1
(1.12)
będącą przekształceniem okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na
lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej r. Po tym podstawieniu równanie
charakterystyczne (1.11) przyjmuje postać
(
)
(
)
2
3
4218
.
3
0945
0
5930
1
0036
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
(
)
0
9629
0
1596
0
4340
2
0193
0
=
−
+
⋅
+
−
+
.
K
.
r
.
K
.
(1.13)
Tablica Routha
3
r
−
0.0036K+1.5930
−
0.0193K + 2.4340
2
r
−
0.0945K + 3.4218
0.1596K
−
0.9629
1
r
4218
.
3
0945
.
0
.4504
7
4739
.
0
0014
.
0
2
+
−
+
−
K
K
K
0
r
0.1596K
−
0.9629
Wzmocnienia przy którym linie pierwiastkowe przecinają się z okręgiem jednostkowym
poza osią liczb rzeczywistych na płaszczyźnie z muszą spełniać dwa warunki, po pierwsze
znajdować się na krańcach zakresu stabilności (1.14) i po drugie zerować współczynnik
w pierwszej kolumnie w wierszu przy
1
r
. Aby układ był stabilny asymptotycznie to
wszystkie współczynniki w pierwszej kolumnie tablicy Routha muszą być większe od zera,
uzyskuje się w ten sposób układ czterech nierówności i zakres wzmocnienia spełniający
wszystkie te cztery nierówności jest następujący
−
5 < K < 16.5475
(1.14)
Wartość wzmocnienia K zerująca współczynnik w pierwszej kolumnie w wierszu przy
1
r
i znajdująca się na krańcu (granicy) stabilności w (1.14) to
K = 16.5475
(1.15)
Po podstawieniu wyznaczonej wartości K do równania (1.11) uzyskuje się
0
0583
.
0
0143
.
1
3031
.
0
)
(
2
3
=
+
+
+
=
z
z
z
z
M
(1.16)
Pierwiastkami równania (1.16) które znajdują się dokładnie na okręgu jednostkowym są
o
0302
.
97
6935
.
1
2
,
1
9925
.
0
1224
.
0
j
j
e
e
j
z
=
=
±
−
=
(1.17)
10. Punkty rozgałęzień wyznaczane są na podstawie następującej zależności
0
0067
.
0
0721
.
0
5141
.
0
0039
.
0
0569
.
0
0494
.
0
)
(
2
3
2
=
¸¸¹
·
¨¨©
§
−
+
−
+
+
=
z
z
z
z
z
dz
d
z
GH
dz
d
(1.18)
Uzyskuje się w ten sposób następujący wielomian
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
6
0
0007
.
0
0034
.
0
0210
.
0
1139
.
0
0494
.
0
2
3
4
=
−
+
+
−
−
z
z
z
z
(1.19)
Rozwiązania powyższego wielomianu przyjmują wartości
z =
−
2.4665
z =
−
0.1786
z = 0.1696 + j0.0435
z = 0.1696
−
j0.0435
Dwa pierwsze rozwiązania wielomianu (1.19) mają wartości rzeczywiste i są one
poszukiwanymi punktami rozgałęzień linii pierwiastkowej na osi liczb rzeczywistych.
4665
.
2
1
−
=
z
dla K > 0
(1.20)
1786
.
0
2
−
=
z
dla K < 0
(1.21)
Poszukiwane linie pierwiastkowe znajdują się na rysunku 1.2.
−
3.0
−
2.5
−
2.0
−
1.5
−
1.0
−
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
−
1.5
−
1.0
−
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
K>0
Re z
Im z
K>0
K=0
K=0
K=0
z
1
=
−
2.4665
z
2
=
−
0.1786
K=
−
5
K>0
z =
−
0.1224+j0.9925 (K=16.5475)
z =
−
0.1224+j0.9925 (K=16.5475)
K<0
K>0
Rys. 1.2.
Dyskretne linie pierwiastkowe dla układu z rysunku 1.1
Układ jest na granicy stabilności gdy
kr
K
= 16.5475 i okres oscylacji
osc
T
wyznacza się
z rozwiązania dla którego dwa pierwiastki sprzężone umiejscowione są dokładnie na okręgu
jednostkowym (1.17). W pierwszej kolejności należy wyznaczyć
ω
p
T
j
j
j
e
e
e
j
z
ω
θ
=
=
=
±
−
=
6935
.
1
2
,
1
9925
.
0
1224
.
0
(1.22)
czyli
6935
.
1
=
=
θ
ω
p
T
, stąd
6935
.
1
1
6935
.
1
=
=
=
p
T
θ
ω
(1.23)
wobec tego
[ ]
s
T
osc
7102
.
3
6935
.
1
2
2
=
=
=
π
ω
π
(1.24)
Liczba próbek znajdująca się w pojedynczym okresie oscylacji
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
7
7102
.
3
1
7102
.
3
=
=
=
p
osc
osc
T
T
N
(1.25)
Zapas wzmocnienia dla K = 10 wyznacza się z zależności
6547
.
1
10
5475
.
16
max
=
=
=
∆
K
K
K
(1.26)
Zapas wzmocnienia zazwyczaj podawany jest w decybelach
3746
.
4
log
20
=
∆
=
K
GM
[dB]
(1.27)
Poniżej znajduje się kod źródłowy zapisany w języku Matlaba przy użyciu którego uzyskane
zostały powyższe wyniki.
clear
close
clc
Tp = 1;
% Okres próbkowania
% Transmitancja obiektu
num = 1;
den = [1 5 9 5];
G = tf(num, den);
sysD = c2d( G, Tp, 'zoh')
[numD, denD] = tfdata( sysD, 'v')
%sisotool(sysD)
% Współczynniki licznika transmitancji
b3 = numD(1); b2 = numD(2); b1 = numD(3); b0 = numD(4);
% Współczynniki mianownika transmitancji
a3 = denD(1); a2 = denD(2); a1 = denD(3); a0 = denD(4);
% zera transmitancji dyskretnej
r_numD = roots( numD)
z1 = r_numD(1)
z2 = r_numD(2)
% bieguny transmitancji dyskretnej
r_denD = roots( denD)
p1 = r_denD(1)
p2 = r_denD(2)
p3 = r_denD(3)
% sigma_a – punkt przeci
ę
cia asymptot
sigma_a = sum( r_denD) - sum( r_numD)
% Wielomian na podstawie którego wyznaczane s
ą
punkty rozgał
ę
zie
ń
dGHZ = conv([2*b2 b1],[a3 a2 a1 a0])-conv([3*a3 2*a2 a1],[b2 b1 b0])
r_dGHZ = roots( dGHZ)
% Wyznaczenie k
ą
ta wyj
ś
cia z bieguna: p2 = 0.0731+j0.1139
fi_1 = angle(p2 - z1)*180/pi
fi_2 = angle(p2 - z2)*180/pi
theta_1 = angle(p2 - p1)*180/pi
theta_3 = angle(p2 - p3)*180/pi
theta_2_wyj = 180 + fi_1 + fi_2 - theta_1 - theta_3
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
8
% Wyznaczenie k
ą
ta wej
ś
cia do bieguna p2 = 0.0731+j0.1139
theta_2_wej = 180 + theta_2_wyj
% Współczynniki równania charakterystycznego M(z)
M3z = [b3 a3]; M2z = [b2 a2]; M1z = [b1 a1]; M0z = [b0 a0];
% Współczynniki równania charakterystycznego M(r) po transformacji
% biliniowej z = (1+r)/(1-r)
M3r = M3z - M2z + M1z - M0z
M2r = 3*M3z - M2z - M1z + 3*M0z
M1r = 3*M3z + M2z - M1z - 3*M0z
M0r = M3z + M2z + M1z + M0z
% Współczynnik tablicy Routha
b1r = conv(M2r, M1r) - conv(M3r, M0r)
% Warto
ś
ci wzmocnie
ń
przy których linie pierwiastkowe przecinaj
ą
okr
ą
g
% jednostkowy
rM3r = roots( M3r)
rM2r = roots(M2r)
r_b1r = roots( b1r)
rM0r = roots(M0r)
% Wzmocnienie krytyczne
K = r_b1r(2)
Mz =[ M3z*[K 1]'
M2z*[K 1]'
M1z*[K 1]'
M0z*[K 1]' ]
r_Mz = roots( Mz)
r = abs(r_Mz(1))
theta = angle(r_Mz(1))
% Wyznaczenie okresu oscylacji
w = theta/Tp
% Okres oscylacji
Tosc = 2*pi/w
% Liczba próbek w pojedynczym okresie oscylacji
Nosc = Tosc/Tp
% Zapas wzmocnienia dla
K = 10
Kkr = r_b1r(2)
DK = Kkr/K
GM = 20*log10(DK) % w decybelach
ĆWICZENIA
M1.
Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego pokazany jest na rysunku M.1. Skonstruuj
linie pierwiastkowe wyznaczając:
•
Zera i bieguny transmitancji pętli
•
Punkt przecięcia asymptot,
•
Kąty asymptot, dla K > 0 oraz K < 0
•
Punkty rozgałęzień,
•
Kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów i zer znajdujących się poza osią
liczb rzeczywistych
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
9
•
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym
Na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ
•
Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układy te są stabilne
•
Wartość wzmocnienia krytycznego
kr
K przy którym w układzie pojawiają się oscylacje o
stałej amplitudzie, okres tych oscylacji
osc
T
oraz liczbę próbek znajdującą się w jednym
okresie oscylacji
osc
N
.
•
Dla K = 1 wyznacz zapas wzmocnienia
E(s)
T
p
ZOH
G(s)
E
*
(s)
Y(s)
R(s)
Rys. M.1. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym.
a)
( )
(
)
2
7
9
1
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.2 [s].
b)
( )
(
)
(
)
2
3
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.25 [s].
c)
( )
(
)
(
)
6
10
2
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.1 [s].
d)
( )
(
)
2
6
7
2
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.5 [s].
e)
( )
(
)
(
)
4
6
3
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.25 [s].
f)
( )
(
)
(
)
3
5
4
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.1 [s].
g)
( )
(
)
6
14
13
1
2
3
+
+
+
−
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.5 [s].
h)
( )
(
)
(
)
5
2
3
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.25 [s].
i)
( )
(
)
(
)
10
2
2
5
2
2
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.2 [s].
j)
( )
(
)
5
2
4
40
38
2
3
2
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.1 [s].
k)
( )
(
)
4
10
9
3
2
3
+
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.25 [s].
l)
( )
(
)
(
)
6
4
7
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
, okres próbkowania T
p
= 0.2 [s].
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
10
ODPOWIEDZI DO ĆWICZEŃ
M1.
a)
1653
.
0
206
.
1
034
.
2
0061
.
0
0028
.
0
0126
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 1.8082,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.9193 + j0.05:
1
θ
= 114.3915
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.9193 + j0.05:
'
1
θ
=
−
65.6085
°
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z =
−
1.7246;
dla K < 0,
2
z = 0.9302.
(
)
(
)
2
3
3315
.
3
0280
0
4051
4
0093
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
) (
)
0
0073
0
0036
0
2561
0
0337
0
=
+
+
⋅
+
+
.
K
.
r
.
K
.
Stabilny:
−
2 < K < 106.3554; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 106.3554;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
9983
.
0
0583
.
0
2
,
1
j
z
±
−
=
dla K = 106.3554,
Okres oscylacji:
osc
T
= 0.7713 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 3.8567 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 40.5352 [dB]
b)
4724
.
0
8577
.
1
3853
.
2
0161
.
0
0090
.
0
0288
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
+
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 2.6989,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z =
−
2.7262;
2
z = 0.8860
dla K < 0, brak
(
)
(
)
2
3
1105
.
2
0860
0
7154
5
0037
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
0
0218
0
1741
0
0680
0
=
+
⋅
+
+
K
.
r
.
K
.
Stabilny: 0 < K < 8.3474; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 8.3474;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
6390
.
0
7692
.
0
2
,
1
j
z
±
=
dla K = 8.3474,
Okres oscylacji:
osc
T
= 2.2659 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 9.0638 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 18.4311 [dB]
c)
5488
.
0
0976
.
2
5488
.
2
0695
.
0
1469
.
0
0849
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 0.8189,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z = 1.0000;
dla K < 0,
2
z = 0.7462.
(
)
(
)
2
3
8048
.
1
2705
0
1952
6
3013
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
+
⋅
+
−
=
0
0075
0
0233
0
=
+
⋅
+
K
.
r
K
.
Stabilny:
−
2 < K < 106.3554; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 0.5279;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
09
.
0
9959
.
0
2
,
1
j
z
±
=
dla K = 0.5279,
Okres oscylacji:
osc
T
= 6.9631 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 69.6315 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM =
−
5.5489 [dB]
d)
0302
.
0
018
.
7
6094
.
1
0117
.
0
0074
.
0
0666
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
−
+
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 1.8082,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.7806 + j0.1314:
1
θ
= 103.4597
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.7806 + j0.1314:
'
1
θ
= 283.4597
°
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
11
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z =
−
1.4875;
dla K < 0,
2
z = 0.7962.
(
)
(
)
2
3
8170
.
3
1092
0
3414
3
0475
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
(
)
0
0623
0
0623
0
7794
0
0945
0
=
+
+
⋅
+
+
.
K
.
r
.
K
.
Stabilny:
−
1 < K < 24.7619; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 24.7619;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
9835
.
0
1809
.
0
2
,
1
j
z
±
−
=
dla K = 24.7619,
Okres oscylacji:
osc
T
= 1.7925 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 3.5850 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 27.8757 [dB]
e)
2231
.
0
3194
.
1
0962
.
2
0094
.
0
0079
.
0
0252
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
−
+
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 2.4111,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z =
−
2.3462;
2
z = 0.9081
dla K < 0, brak.
(
)
(
)
2
3
1075
.
3
0614
0
6387
4
0079
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
0
0238
0
2538
0
0455
0
=
+
⋅
+
+
K
.
r
.
K
.
Stabilny: 0 < K < 20.6061; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 20.6061;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
8148
.
0
5798
.
0
2
,
1
j
z
±
=
dla K = 20.6061,
Okres oscylacji:
osc
T
= 1.6494 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 6.5977 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 26.2799 [dB]
f)
7408
.
0
4816
.
2
7408
.
2
0706
.
0
1716
.
0
1053
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 1.1110,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z zera (K < 0) 0.8149 + j0.0822:
1
φ
= 270
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K > 0) 0.8149 + j0.0822:
'
1
φ
= 90
°
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z = 1.0000;
dla K < 0,
2
z = 0.8200.
(
)
(
)
2
3
0367
.
1
2783
0
9633
6
3476
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
+
⋅
+
−
=
0
0043
0
0650
0
=
+
⋅
+
K
.
r
K
.
Stabilny: 0 < K < 20.0331; Wzmocnienie krytyczne: brak;
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 26.0331 [dB]
g)
0015
.
0
5707
.
0
4734
.
1
0047
.
0
0321
.
0
0209
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
=
−
0.0626
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.7354 + j0.1594:
1
θ
= 258.4363
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.7354 + j0.1594:
'
1
θ
= 78.4363
°
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z =
−
0.4051;
2
z = 0.1727,
3
z = 0.7190
dla K < 0,
4
z = 2.5854.
(
)
(
)
2
3
8988
.
3
0028
0
0451
3
0483
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
(
)
0
0952
0
0159
0
9609
0
0670
0
=
+
−
+
⋅
+
+
.
K
.
r
.
K
.
Stabilny:
−
10.7519 < K < 6; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
=
−
10.7519;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
4872
.
0
8733
.
0
2
,
1
j
z
±
=
dla K =
−
10.7519,
Okres oscylacji:
osc
T
= 6.1741 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 12.3481 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 15.5630 [dB]
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
12
h)
2865
.
0
5730
.
1
2865
.
2
1022
.
0
2953
.
0
21106
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 0.8869,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z = 0.7123;
2
z = 1.0000
dla K < 0, brak
(
)
(
)
2
3
8540
.
2
3908
.
0
1460
5
6085
0
)
(
r
K
r
.
K
.
r
M
⋅
+
+
⋅
+
−
=
0
0178
0
19987
0
=
+
⋅
+
K
.
r
K
.
Stabilny: 0 < K < 8.4573; Wzmocnienie krytyczne: brak;
i)
6703
.
0
0218
.
2
3515
.
2
2304
.
0
2890
.
0
0714
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
=
−
1.6973,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.6757 + j0.4623:
1
θ
= 265.4514
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.6757 + j0.4623:
'
1
θ
= 85.4514
°
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z = 0.7257;
2
z = 0.7963,
3
z = 1.2349,
dla K < 0,
4
z = 5.3406.
(
)
(
)
2
3
3187
.
1
9088
0
0436
6
5908
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
+
⋅
+
−
=
(
)
0
0128
0
6377
0
3308
0
=
+
⋅
+
−
+
K
.
r
.
K
.
Stabilny: 0 < K < 1.8109; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 1.8109;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
1752
.
0
9845
.
0
2
,
1
j
z
±
=
dla K = 1.8109,
Okres oscylacji:
osc
T
= 7.1366 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 35.6830 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 5.1581 [dB]
j)
6703
.
0
3261
.
2
6517
.
2
0588
.
0
1631
.
0
2549
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 2.0116,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.9846 + j0.1128:
1
θ
= 126.9831
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.9846 + j0.1128:
'
1
θ
=
−
53.0169
°
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z =
−
1.3826;
dla K < 0,
2
z = 1.0254.
(
)
(
)
2
3
3146
.
1
2683
0
6481
6
3592
0
)
(
r
K
.
r
.
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
(
)
0
0041
0
0329
0
0332
0
5946
0
=
+
+
⋅
+
+
.
K
.
r
.
K
.
Stabilny:
−
0.0291< K < 3.7899; Wzmocnienia krytyczne:
1
kr
K
=
−
0.0291;
2
kr
K
= 3.7899;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
0975
.
0
9952
.
0
2
,
1
j
z
±
=
dla K =
−
0.0291, wówczas
Okres oscylacji:
osc
T
= 6.4349 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 64.3492 [próbek].
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
9182
.
0
3962
.
0
4
,
3
j
z
±
=
dla K = 3.7899, wówczas
Okres oscylacji:
osc
T
= 0.54 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 5.4004 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 11.5726 [dB]
k)
1054
.
0
9817
.
0
8526
.
1
0061
.
0
0032
.
0
0207
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
−
+
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 2.0049,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (K > 0) 0.8548 + j0.0809:
1
θ
= 98.5959
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (K < 0) 0.8548 + j0.0809:
'
1
θ
= 278.5959
°
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z =
−
1.8694;
dla K < 0,
2
z = 0.8609.
(
)
(
)
2
3
5547
.
3
0422
0
9397
.
3
0114
0
)
(
r
K
.
r
K
.
r
M
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
(
)
(
)
0
0237
0
0178
0
4819
0
0359
0
=
+
+
⋅
+
+
.
K
.
r
.
K
.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
Ostatnia aktualizacja: 2009-05-19
M. Tomera
13
Stabilny:
−
1.3333 < K < 52.2678; Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 52.2678;
Punkty przecięcia z okręgiem jednostkowym:
9850
.
0
1724
.
0
2
,
1
j
z
±
=
dla K = 52.2678
Okres oscylacji:
osc
T
= 1.1240 [s], Liczba próbek w jednym okresie oscylacji
osc
N
= 4.4958 [próbek].
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 34.3647 [dB]
l)
3012
.
0
6024
.
1
3012
.
2
0531
.
0
2524
.
0
2180
.
0
)
(
2
3
2
−
+
−
+
−
=
z
z
z
z
z
K
z
KGH
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 1.1431,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
; dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Punkty rozgałęzień: dla K > 0,
1
z = 1.0000;
2
z = 0.7605,
3
z = 0.4282,
4
z = 0.1275;
dla K < 0, brak
(
)
(
)
2
3
7952
.
2
1938
.
0
2048
.
5
5235
0
)
(
r
K
r
K
.
r
M
⋅
+
+
⋅
+
−
=
0
0186
.
0
3111
0
=
+
⋅
+
K
r
K
.
Stabilny: 0 < K < 9.9421; Wzmocnienie krytyczne: brak
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 19.9495 [dB]
LITERATURA
1. Kuo B.C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7
th
ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Kryterium Nyquista dla układów dyskretnych
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Lab 6 Drgania Swobodne Liniowych Układów Dyskretnych
Linie Ladunkowe, Dla żeglarzy, Różne
PALIWA GAZOWE DLA UKŁADÓW KOGENERACYJNYCH KalinaSkorekpaliwa
lab 10 Modelownie liniowych układów dyskretnych
7.2.1 Linie pierwiastkowe, zadania rozwiązane
lab Modelownie liniowych układów dyskretnych
Linie pierwiastkowe
Opis dynamiki liniowych układów dyskretnych
lab 10 Modelownie liniowych układów dyskretnych2
Linie pierwiastkowe id 268644 Nieznany
cyfrowa realizacja ukladow dyskretnych
lab 10 Modelownie liniowych układów dyskretnych
Analiza uchybowa układów dyskretnych
Lab 6 Drgania Swobodne Liniowych Układów Dyskretnych
Własności dynamiczne układów dyskretnych − Matlab
więcej podobnych podstron