Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Przy rozważaniu odpowiedzi przejściowej i uchybu w stanie ustalonym, zademonstrowana została
ważność położeń zer i biegunów transmitancji liniowego układu zamkniętego na zachowanie się
układu. Pierwiastki równania charakterystycznego, które są biegunami transmitancji układu
zamkniętego, określają bezwzględną i względną stabilność liniowych układów z pojedynczym
wejściem i wyjściem SISO (Single Input Single Output). Pamiętać należy, że własności przejściowe
układu również zależą od zer i biegunów transmitancji układu zamkniętego.
Ważnymi rozważaniami w liniowych układach sterujących jest badanie trajektorii pierwiastków
równania charakterystycznego - nazywanych liniami pierwiastkowymi - kiedy zmienia się pewien
parametr układu.
Podstawowe własności i zasady konstrukcji linii pierwiastkowych podane zostały w 1948 przez
Evansa [2]. Przedstawionych zostanie kilka prostych reguł dotyczących zasad konstruowania tych
linii. W celu wykreślenia dokładnych linii pierwiastkowych zawsze można użyć programów
komputerowych. Dla przykładu, w M
ATLABIE
istnieje funkcja rlocus wykreślająca na ekranie linie
pierwiastkowe na podstawie transmitancji pętli.
Ważne jest jednak aby poznać podstawy linii pierwiastkowych, ich własności, aby umieć
dobrze zinterpretować dane dostarczane przez linie pierwiastkowe dla celów analizy i projektowania.
Technika linii pierwiastkowych nie ogranicza się do rozważań tylko dla układów sterowania, ale może
być również zastosowana do analizy zachowania pierwiastków równania algebraicznego ze
zmieniającymi się parametrami.
Ogólnie, problem linii pierwiastkowych może być sformułowany w odniesieniu do
następującego równania algebraicznego zmiennej zespolonej s:
0
)
(
)
(
)
(
=
+
=
s
KQ
s
P
s
F
(1)
gdzie P(s) jest wielomianem n-tego rzędu
0
1
1
1
...
)
(
a
s
a
s
a
s
s
P
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
(2)
i Q(s) jest wielomianem m-tego rzędu; n i m są liczbami dodatnimi.
0
1
1
1
...
)
(
b
s
b
s
b
s
s
Q
m
m
m
+
+
+
+
=
−
−
(3)
Parametr K w równaniu (1) jest stałą rzeczywistą i może się zmieniać od
∞
−
do
∞
. Współczynniki
0
a
,
1
a
,...,
1
−
n
a
,
1
b
,
2
b
,...,
1
−
m
b
mają ustalone wartościami rzeczywiste.
2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI LINII PIERWIASTKOWYCH
W tym opracowaniu, głównym zainteresowaniem są układy sterowania, więc rozważona zostanie
transmitancja układu zamkniętego
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
2
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
s
H
s
G
s
G
s
R
s
Y
+
=
(4)
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego uzyskiwane jest poprzez przyrównanie wielomianu
mianownika do zera, stąd pierwiastki równania charakterystycznego muszą spełniać
0
)
(
)
(
1
=
+
s
H
s
G
(5)
Przypuśćmy, że
)
(
)
(
s
H
s
G
zawiera zmienny parametr K będący współczynnikiem mnożącym i
funkcja operatorowa może zostać zapisana jako
)
(
)
(
)
(
)
(
s
P
s
KQ
s
H
s
G
=
(6)
gdzie
)
(s
P
oraz
)
(s
H
są wielomianami zdefiniowanymi w równaniach (2) i (3). Równanie (5) jest
zapisywane
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
=
+
=
+
s
P
s
KQ
s
P
s
P
s
KQ
(7)
Wielomian licznika z równania (7) jest identyczny z równaniem (1).
Kiedy zmieniany parametr K nie pojawia się jako współczynnik mnożący transmitancji pętli
)
(
)
(
s
H
s
G
to zawsze można przedstawić funkcję w postaci równania (1). Aby zilustrować ten
przypadek, rozważone zostanie następujące równanie charakterystyczne układu sterowania
(
)(
)
(
)
0
5
2
3
2
1
2
=
+
+
+
+
+
+
s
K
s
s
s
s
(8)
Aby wyrazić równanie (8) w formie równania (7), podzielone zostaną obydwie strony równania przez
część nie zawierającą parametru K i otrzymuje się
(
)(
)
0
5
3
2
1
2
1
2
=
+
+
+
+
+
+
s
s
s
s
s
Ks
(9)
Porównując ostatnie równanie w równaniem (7), otrzymuje się
5
5
4
2
)
(
)
(
2
3
+
+
+
=
s
s
s
s
s
P
s
Q
(10)
Teraz K jest wydzielony jako współczynnik mnożący do funkcji
)
(
)
(
s
P
s
Q
.
Po wyrażeniu
)
(
)
(
s
H
s
G
jako
( ) ( )
s
H
s
KG
s
H
s
G
1
1
)
(
)
(
=
(11)
gdzie
)
(
)
(
1
1
s
H
s
G
nie zawiera zmiennego parametru K. Wtedy równanie (5) jest zapisane jako
( ) ( )
K
s
H
s
G
1
1
1
−
=
(12)
Aby spełnić równanie (12), poniższe warunki muszą być spełnione jednocześnie:
Warunek amplitudy
( ) ( )
K
s
H
s
G
1
1
1
−
=
∞
<
<
∞
−
K
(13)
Warunek kąta
( ) ( ) (
)
0
180
1
2
o
1
1
>
×
+
=
∠
K
i
s
H
s
G
= mnożnik nieparzysty
(14)
( ) ( )
0
180
2
o
1
1
<
×
=
∠
K
i
s
H
s
G
= mnożnik parzysty
(15)
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
3
gdzie i = 0, 1
±
, 2
±
, ...
W praktyce, warunki zaznaczone w równaniach (13), (14), (15) odgrywają różne role
w konstruowaniu linii pierwiastkowych.
1. Warunki dotyczące kąta opisane równaniami (14) lub (15) są używane do określenia
trajektorii linii pierwiastkowych na płaszczyźnie s.
2. Kiedy linie pierwiastkowe są wykreślanie, wartości K na linii są określone przez użycie
warunku amplitudy opisanej równaniem (13).
Konstruowanie linii pierwiastkowych zasadniczo jest problemem graficznym, chociaż pewne
własności są wyprowadzane analitycznie. Graficzne konstruowanie linii pierwiastkowych jest oparte
na wiedzy o biegunach i zerach funkcji
)
(
)
(
s
H
s
G
. Innymi słowy
)
(
)
(
s
H
s
G
musi być najpierw
zapisany jako
( ) ( )
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
n
m
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
s
H
s
KG
s
H
s
G
+
+
+
+
+
+
=
=
...
...
)
(
)
(
2
1
2
1
1
1
(16)
gdzie zera i bieguny funkcji
)
(
)
(
s
H
s
G
mają wartości rzeczywiste lub są parami zmiennych
zespolonych.
Stosując warunki zapisane w równaniach (13), (14) oraz (15) w równaniu (16) otrzymuje się
( ) ( )
K
p
s
z
s
s
H
s
G
j
n
j
i
m
i
1
1
1
1
1
=
+
∏
+
∏
=
=
=
∞
<
<
∞
−
K
(17)
Dla
∞
<
<
K
0
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
o
180
1
2
1
1
1
1
×
+
=
+
∠
−
+
∠
=
∠
¦
¦
=
=
i
p
s
z
s
s
H
s
G
j
n
j
i
m
i
(18)
Dla
0
<
<
∞
−
K
( ) ( )
(
)
(
)
o
180
2
1
1
1
1
×
=
+
∠
−
+
∠
=
∠
¦
¦
=
=
i
p
s
z
s
s
H
s
G
j
n
j
i
m
i
(19)
gdzie i = 0, 1
±
, 2
±
, ...
Na linii pierwiastkowej w pewnym punkcie
1
s
graficzna interpretacja równania (18), która
odpowiada dodatniej wartości K musi spełniać warunek:
Różnica pomiędzy sumą kątów wektorów wykreślonych z zer, a sumą kątów wektorów
wykreślonych z biegunów
)
(
)
(
s
H
s
G
do bieguna
1
s
jest nieparzystym mnożnikiem kąta 180
°
.
Dla ujemnych wartości K, pewien punkt
1
s
na linii pierwiastkowej musi spełniać warunek:
Różnica pomiędzy sumą kątów wektorów wykreślonych z zer, a sumą kątów wektorów
wykreślonych z biegunów
)
(
)
(
s
H
s
G
do bieguna
1
s
jest mnożnikiem parzystym kąta 180
°
,
zawierającym zero stopni.
Podczas konstruowania linii pierwiastkowych, wartości K wzdłuż linii pierwiastkowych mogą być
wyznaczone przez zapis równania (17) jako
i
m
i
j
n
j
z
s
p
s
K
+
∏
+
∏
=
=
=
1
1
(20)
Wartość K w pewnym punkcie
1
s
na linii pierwiastkowej jest uzyskiwana z równania (20) przez
podstawienie wartości
1
s
do tego równania. Graficznie, licznik równania (20) reprezentuje iloczyn
długości wektorów wykreślonych z biegunów
)
(
)
(
s
H
s
G
do bieguna
1
s
, natomiast mianownik
reprezentuje iloczyn długości wektorów wykreślonych z zer
)
(
)
(
s
H
s
G
do bieguna
1
s
.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
4
Aby zilustrować użycie równań od (18) do (20) dla konstrukcji linii pierwiastkowych,
rozważona zostanie funkcja
(
)
(
)(
)
3
2
1
)
(
)
(
p
s
p
s
s
z
s
K
s
H
s
G
+
+
+
=
(21)
Położenie biegunów i zera transmitancji
)
(
)
(
s
H
s
G
są arbitralnie umieszczone jak to pokazano na
rysunku 1. Wybrany zostanie arbitralnie punkt próbny
1
s
na płaszczyźnie s i wykreślone wektory w
kierunku od biegunów do zer transmitancji
)
(
)
(
s
H
s
G
do punktu. Jeśli
1
s
jest rzeczywiście punktem
na linii pierwiastkowej, to musi spełnić równanie (18); tzn. kąty wektorów pokazanych na rysunku 1
muszą spełniać
(
)
(
) (
)
3
1
2
1
1
1
1
p
s
p
s
s
z
s
+
∠
−
+
∠
−
∠
−
+
∠
(
)
o
180
1
2
3
2
1
1
×
+
=
−
−
−
=
i
p
p
p
z
θ
θ
θ
θ
(22)
gdzie i = 0, 1
±
, 2
±
, .... Jak pokazano na rysunku 1, kąty wektorów są mierzone względem dodatniej
osi rzeczywistej. Podobnie jeśli
1
s jest punktem na linii pierwiastkowej wykreślonej dla ujemnych
wartości K, to muszą spełniać równanie (19); tzn.
(
)
(
) (
)
3
1
2
1
1
1
1
p
s
p
s
s
z
s
+
∠
−
+
∠
−
∠
−
+
∠
o
180
2
3
2
1
1
×
=
−
−
−
=
i
p
p
p
z
θ
θ
θ
θ
(23)
gdzie i = 0, 1
±
, 2
±
, ....
Jeśli znaleziony zostanie punkt
1
s spełniający równanie (22) lub (23), wówczas równanie (20)
używane jest w celu znalezienia amplitudy K w tym punkcie. Jak pokazano na rysunku 1, długości
wektorów są reprezentowane przez A, B, C oraz D. Amplituda K jest
A
BCD
z
s
p
s
p
s
s
K
=
+
+
⋅
+
⋅
=
1
3
1
2
1
1
(24)
Dana funkcja
)
(
)
(
s
H
s
G
z K jako współczynnikiem mnożącym oraz ze znanymi biegunami i zerami,
konstruowanie linii pierwiastkowych zer
)
(
)
(
1
s
H
s
G
+
obejmuje następujące dwa kroki:
1. Poszukiwanie wszystkich punktów
1
s na płaszczyźnie
s, które spełnia równanie (18) dla
dodatniej wartości K. Jeśli linia pierwiastkowa jest wykreślona dla ujemnych wartości K musi
być spełnione równanie (19).
2. Użycie równania (20) do znalezienia amplitudy K na linii pierwiastkowej.
σ
j
ω
−
p
2
−
p
3
−
p
1
−
z
1
θ
z1
θ
p3
θ
p2
θ
p1
s
1
C
A
D
B
0
Rys. 1. Konfiguracja zerowo-biegunowa transmitancji
(
) (
)(
)
[
]
3
2
1
)
(
)
(
p
s
p
s
s
z
s
K
s
H
s
G
+
+
+
=
.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
5
Ustalone zostały podstawowe warunki konstruowania linii pierwiastkowej. Gdyby poszukiwanie na
płaszczyźnie s wszystkich punktów spełniających równania (18), (19) lub równanie (20) odbywało się
opisaną właśnie metodą prób i błędów byłoby to zadaniem bardzo uciążliwym.
Chociaż obecnie dostępne są wydajne programy do rysowania linii pierwiastkowych to w celu
właściwego zinterpretowania uzyskiwanych wyników na komputerze wymagana jest znajomość
własności linii pierwiastkowych i umiejętność prostego ich szkicowania, kiedy linie te stosowane są
do analizy i projektowania układów sterowania.
3. WŁASNOŚCI I KONSTRUKCJA LINII PIERWIASTKOWYCH
Poniższe własności są użyteczne przy ręcznym konstruowaniu linii pierwiastkowych i do ich
właściwej interpretacji. Własności te opierają się na zależnościach pomiędzy zerami i biegunami
transmitancji G(s)H(s) oraz zerami transmitancji 1+G(s)H(s), które są pierwiastkami równania
charakterystycznego.
3.1. PUNKTY DLA
K
= 0 ORAZ
K
=
∞
±
1. Punkty na linii pierwiastkowej przy K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s).
2. Punkty na linii pierwiastkowej przy K =
∞
±
są zerami transmitancji G(s)H(s).
Bieguny i zera odnoszą się również do tych wartości, które znajdują się w nieskończoności, jeśli takie
istnieją. Wnioski te uzyskiwane są z warunku na linie pierwiastkowe dane przez równanie (12). Jeśli
wartość K zmierza do zera to wówczas transmitancja
( ) ( )
s
H
s
G
1
1
osiąga nieskończoność, czyli s musi
osiągać wartości równe biegunom transmitancji
( ) ( )
s
H
s
G
1
1
lub G(s)H(s). Podobnie kiedy wartość K
osiąga nieskończoność, wówczas s musi osiągać wartości zer transmitancji G(s)H(s).
Przykład 1
Rozważ równanie
(
)(
) (
)
0
1
3
2
=
+
+
+
+
s
K
s
s
s
(1.1)
Kiedy K = 0, trzy pierwiastki równania (1.1) są równe s = 0,
−
2 oraz
−
3. Kiedy natomiast
wartość K zmierza do nieskończoności wówczas trzy pierwiastki równania (1.1) są równe s =
−
1,
∞
oraz
∞
. Dzieląc obustronnie równanie (1.1) przez składnik nie zawierający K, otrzymuje
się
(
)
(
)(
)
0
3
2
1
1
)
(
)
(
1
=
+
+
+
+
=
+
s
s
s
s
K
s
H
s
G
(1.2)
co daje
(
)
(
)(
)
3
2
1
)
(
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
H
s
G
(1.3)
Więc te trzy pierwiastki równania (1.1), kiedy K = 0 mają takie same wartości jak bieguny
funkcji G(s)H(s). Trzy pierwiastki równania (1.1) kiedy K =
∞
±
są równe trzem zerom
transmitancji G(s)H(s), obejmując również te, które znajdują się w nieskończoności. Te trzy
punkty na linii pierwiastkowej przy wartości K = 0 i punkt przy K =
∞
±
są pokazane na
rysunku 2.
σ
j
ω
0
−
1
K=0
−
2
−
3
K=0
K=0
K=
∞
±
Rys. 2. Punkty na linii pierwiastkowej przy K = 0 oraz K =
±∞
funkcji
(
)(
) ( )
0
1
3
2
=
+
+
+
+
s
K
s
s
s
.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
6
3.2. LICZBA GAŁĘZI NA LINII PIERWIASTKOWEJ
Gałąź linii pierwiastkowej jest torem pewnego pierwiastka zmieniającego swoje położenie gdy K
zmienia swoją wartość pomiędzy
∞
−
i
∞
+
. Stąd własność dla linii pierwiastkowej; liczba gałęzi
linii pierwiastkowej musi być równa liczbie pierwiastków równania.
Liczba gałęzi linii pierwiastkowej opisanej równaniami (1) oraz (5) jest równa rzędowi
wielomianu.
Przykład 2
Liczba gałęzi linii pierwiastkowej dla równania
(
)(
) (
)
0
1
3
2
=
+
+
+
+
s
K
s
s
s
(2.1)
wynosi trzy, gdyż równanie (2.1) jest trzeciego rzędu. Innymi słowy, równanie to (2.1) ma trzy
pierwiastki czyli powinny być trzy linie pierwiastkowe.
3.3. SYMETRIA LINII PIERWIASTKOWEJ
Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s.
Ogólnie linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi symetrii konfiguracji zerowo-
biegunowej transmitancji G(s)H(s).
Własność ta wynika z tego że pierwiastki zespolone są ze sobą sprzężone. Jeśli bieguny i zera
transmitancji G(s)H(s) są symetryczne do dodatkowej osi to oznacza, że ta oś symetrii została
uzyskana przez liniową transformację.
Przykład 3
Rozważ równanie
(
)(
)
0
2
1
=
+
+
+
K
s
s
s
(3.1)
Dzieląc obustronnie równanie (3.1) przez składnik nie zawierający K, otrzymuje się
(
)(
)
2
1
)
(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
G
(3.2)
Linia pierwiastkowa (3.1) pokazana jest na rysunku 3 dla K =
∞
−
do K =
∞
. Z rysunku tego
widać, że konfiguracja zero-biegunowa transmitancji G(s)H(s) jest symetryczna zarówno
względem osi liczb rzeczywistych jak i względem osi s =
−
1. Wykres linii pierwiastkowej jest
symetryczny względem obydwu tych osi.
Punkty przy K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s), s = 0,
−
1 oraz
−
2. Funkcja G(s)H(s) ma
trzy zera w s =
∞
przy K =
∞
±
. Czytelnik powinien umieć odróżnić trzy oddzielne gałęzie
linii pierwiastkowych zaczynając w punktach przy K =
∞
−
poprzez punkty przy K = 0 na tych
samych gałęziach i kończąc w s =
∞
przy K =
∞
.
3.4. KĄTY ASYMPTOT LINII PIERWIASTKOWEJ
Jak widać to z rysunku 3, kiedy n rząd wielomianu P(s) nie jest równy rzędowi wielomianu Q(s)
oznaczonym jako m, wówczas pewne linie dążą do nieskończoności na płaszczyźnie s. Własności linii
pierwiastkowych w pobliżu nieskończoności na płaszczyźnie s są opisane przez asymptoty linii kiedy
∞
→
s
. Ogólnie kiedy
m
n
≠
, wówczas będzie
m
n
−
2
asymptot, które opisują zachowanie linii
pierwiastkowych przy
∞
→
s
. Kąty asymptot i ich punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych na
płaszczyźnie s są opisane następująco:
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
7
−
2
0
−
1
K>0
K=0
K
←
∞
K=0
K=0
K<0
−∞
→
K
σ
j
ω
K<0
K<0
K>0
K>0
Oś symetrii
Oś symetrii
K
←
−∞
K
←
−∞
∞
→
K
∞
→
K
Rys. 3. Linie pierwiastkowe funkcji
( )(
)
0
2
1
=
+
+
+
K
s
s
s
, przedstawiające własności symetrii.
Dla dużych wartości zmiennej s, linie pierwiastkowe dla
0
≥
K
są zbieżne do asymptot z kątami
wyznaczanymi następująco
o
180
1
2
×
−
+
=
m
n
i
i
θ
,
m
n
≠
(25)
gdzie i = 0, 1, 2, ...,
1
−
−
m
n
; n oznacza liczbę skończonych biegunów, natomiast m liczbę
skończonych zer transmitancji G(s)H(s). Dla
0
≤
K
kąty asymptot są wyznaczane z zależności
o
180
2
×
−
=
m
n
i
i
θ
,
m
n
≠
(26)
gdzie i = 0, 1, 2, ...,
1
−
−
m
n
.
3.5. PUNKTY PRZECIĘCIA ASYMPTOT
Punkt przecięcia
m
n
−
2
asymptot linii pierwiastkowej występuje na osi liczb rzeczywistych w
punkcie
m
n
s
H
s
G
s
H
s
G
a
−
−
=
¦
¦
)
(
)
(
)
(
)
(
cji
transmitan
zer
cji
transmitan
biegunów
σ
(27)
gdzie n oznacza liczbę skończonych biegunów, natomiast m liczbę skończonych zer transmitancji
G(s)H(s). Punkt przecięcia asymptot
a
σ
określa środek ciężkości linii pierwiastkowych i zawsze
jest liczbą rzeczywistą.
Bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) mają zarówno części rzeczywiste jak i urojone, przy czym
urojone części licznika równania (27) zawsze upraszczają się. Czyli w równaniu (27) składniki
sumowania mogą być zastąpione przez części rzeczywiste biegunów i zer transmitancji G(s)H(s).
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
8
Przykład 4
Rozważ transmitancję
(
)
(
)
(
)
2
2
4
1
)
(
)
(
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G
(4.1)
które odpowiada równaniu charakterystycznemu
(
)
(
)
(
)
0
1
2
2
4
2
=
+
+
+
+
+
s
K
s
s
s
s
(4.2)
Konfiguracja zero-biegunowa pokazana jest na rysunku Linia pierwiastkowa (3.1) pokazana jest
na rysunku 4. Korzystając z poznanych w tym rozdziale własności linii pierwiastkowych, kiedy
w równaniu (4.2) K zmienia się od
∞
−
do
∞
, wówczas:
1. K = 0: Punkty na linii pierwiastkowej w których K = 0 są biegunami transmitancji
G(s)H(s): s = 0,
−
4,
−
1+j oraz
−
1
−
j.
2. K =
∞
±
: Punkty na linii pierwiastkowej w których K =
∞
±
są zerami transmitancji
G(s)H(s): s =
−
1,
∞
,
∞
oraz
∞
.
3. Z równań (4.1) oraz (4.2) widać, że będą cztery linie pierwiastkowe, gdyż równania te są
czwartego rzędu.
4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych.
5. Ponieważ liczba biegunów transmitancji G(s)H(s) jest większa od liczby zer transmitancji
G(s)H(s) i różnica ta wynosi trzy ( n
−
m = 4
−
1 = 3 ), czyli kiedy K =
∞
±
, wówczas
linie pierwiastkowe zmierzają przy s =
∞
wzdłuż sześciu asymptot. Kąty asymptot przy
0
≥
K
są wyznaczane z równania (25)
i = 0:
o
o
60
3
180
0
=
=
θ
i = 1:
o
o
180
3
540
0
=
=
θ
i = 2:
o
o
300
3
900
0
=
=
θ
Kąty asymptot przy
0
≤
K
są wyznaczane z równania (26) i są następujące:
o
0
,
o
120
oraz
o
240
.
6. Kąty przecięcia asymptot wyznaczane są ze wzoru (27):
(
) ( )
3
5
1
4
1
1
1
4
1
−
=
−
−
−
−
−
−
=
σ
(4.3)
Asymptoty linii pierwiastkowych pokazane są na rysunku 4.
3.6. LINIE PIERWIASTKOWE NA OSI LICZB RZECZYWISTYCH
Cała oś liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s jest zajmowana przez linie pierwiastkowe (albo
przez linie dla
0
>
K
albo przez linie dla
0
<
K
.
1.
0
>
K
: Na osi liczb rzeczywistych, linia pierwiastkowa dla
0
>
K
znajduje się tylko na tych
odcinkach osi dla których liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s) z prawej strony
odcinka jest nieparzysta.
2.
0
<
K
: Na osi liczb rzeczywistych, linia pierwiastkowa dla
0
>
K
znajduje się tylko na tych
odcinkach osi dla których liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s) z prawej strony
odcinka jest parzysta. Sprzężone bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) nie wpływają na typ
linii pierwiastkowej znajdującej się na osi liczb rzeczywistych.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
9
−
4
0
−
1
K=0
K
←
∞
K=0
σ
j
ω
K
←
−∞
K
←
−∞
∞
→
K
∞
→
K
−
j
j
K=0
K=0
σ
1
=
−
5
3
60
o
60
o
60
o
60
o
Rys. 4. Asymptoty linii pierwiastkowej równania
(
)
(
)
( )
0
1
2
2
4
2
=
+
+
+
+
+
s
K
s
s
s
s
Własności te wynikają z następujących obserwacji:
1. W pewnym punkcie
1
s
znajdującym się na osi liczb rzeczywistych, kąty wektorów
wykreślonych z biegunów i zer zespolonych sprzężonych transmitancji G(s)H(s) po
zsumowaniu są równe zero. Więc tylko zera i bieguny rzeczywiste transmitancji G(s)H(s)
wpływają na kątowe zależności (18) i (19).
2. Tylko rzeczywiste bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) które znajdują się z prawej strony
punktu
1
s
wpływają na równania (18) i (19) te bieguny i zera które znajdują się z lewej strony
punktu w prowadzają zero stopni do równań (18) i (19).
3. Każdy biegun rzeczywisty transmitancji G(s)H(s) z prawej strony punktu
1
s
wprowadza
o
180
−
, natomiast każde zero transmitancji G(s)H(s) z prawej strony punktu
1
s
wprowadza
o
180
+
do równań (18) i (19).
Z ostatniej obserwacji wynika, że dla punktu
1
s
znajdującego się na linii pierwiastkowej dla
0
>
K
musi być nieparzysta liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s) z prawej strony tego punktu. Dla
punktu
1
s
znajdującego się na linii pierwiastkowej dla
0
<
K
musi być parzysta liczba biegunów i zer
transmitancji G(s)H(s) z prawej strony tego punktu.
Przykład 5
Na rysunku 5 przedstawione zostały linie pierwiastkowe dla pewnej konfiguracji transmitancji
G(s)H(s). Zauważ, że cała oś liczb rzeczywistych jest zajęta albo przez linie dla
0
>
K
albo
przez linie dla
0
<
K
.
0
σ
j
ω
K < 0
K > 0
K > 0
K < 0
K < 0
K < 0
Rys. 5. Własności linii pierwiastkowej na osi liczb rzeczywistych.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
10
3.7. KĄTY WYJŚCIA I KĄTY WEJŚCIA LINII PIERWIASTKOWYCH
Kąt wyjścia z bieguna lub wejścia do zera transmitancji G(s)H(s) oznacza kąt stycznej tej linii
w pobliżu punktu. Kąty wyjścia i wejścia określane są przy użyciu wzoru (18) dla linii wyznaczonej
dla
0
>
K
oraz wzoru (19) dla linii wyznaczonej dla
0
>
K
.
Przykład 6
Dla linii pierwiastkowej pokazanej na rysunku 6, linia pierwiastkowa w pobliżu bieguna
s =
−
1 + j może być dokładniej naszkicowana gdy znany będzie kąt przy którym linia
pierwiastkowa opuszcza biegun. Jak pokazano to na rysunku 6, kąt wyjścia z bieguna s =
−
1 + j
jest opisany przez
2
θ
i wyznaczany względem osi liczb rzeczywistych. Zakładając, że punkt
1
s
znajduje się na linii pierwiastkowej gdy
0
>
K
i znajduje się bardzo blisko bieguna s =
−
1 + j.
Wówczas
1
s
musi spełniać równanie (18)
(
) (
)
o
180
1
2
)
(
)
(
4
3
2
1
1
1
×
+
=
+
+
+
−
=
∠
i
s
H
s
G
θ
θ
θ
θ
(6.1)
gdzie i jest pewną liczbą całkowitą. Zakładając, że punkt
1
s
znajduje się bardzo blisko bieguna
s =
−
1 + j, kąty wektorów wykreślone z pozostałych trzech biegunów i aproksymowane przez
przyjęcie, że punkt
1
s
znajduje się w
−
1 + j. Na podstawie rysunku 6, równanie (6.1) może być
zapisane następująco:
(
)
(
)
o
o
o
o
180
1
2
6
.
26
90
135
2
×
+
=
+
+
+
−
i
θ
(6.2)
gdzie jedynie nieznany jest kąt
2
θ
. W tym przypadku można przyjąć, że i będzie równe
−
1 i
wówczas kąt
o
6
.
71
2
−
=
θ
.
Kiedy wyznaczany jest kąt wyjścia lub wejścia na linii, gdy
0
>
K
do prostego bieguna
lub zera transmitancji G(s)H(s). Kąt wejścia lub wyjścia na linii pierwiastkowej, gdy
0
<
K
w tym samym punkcie różni się od tego kąta o 180
°
i wówczas korzysta się z równania (19).
j
ω
σ
−
3
∞
→
K
0
K
←
∞
K
←
∞
K
←
−∞
0
=
K
0
=
K
0
=
K
∞
→
K
−∞
→
K
−∞
→
K
−∞
→
K
1
s
o
135
1
=
θ
2
θ
o
90
3
≅
θ
o
6
.
26
4
≅
θ
−
j1.095 (K=8.16)
j1.095 (K=8.16)
Rys. 6. Linia pierwiastkowa ilustrująca kąty wyjścia i wejścia na przykładzie równania charakterystycznego
(
)
(
)
0
2
2
3
2
=
+
+
+
+
K
s
s
s
s
.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
11
Z rysunku 6 widać, że kąt wejścia linii, gdy
0
<
K
, do bieguna
−
1 + j jest równy 108.4
°
, co
wyznaczone zostało z różnicy 180
°−
71.6
°
. W podobny sposób na linii pierwiastkowej z rysunku
6, można pokazać, że linia pierwiastkowa, gdy
0
<
K
, przybywa do bieguna s =
−
3 pod kątem
180
°
, natomiast linia pierwiastkowa, gdy
0
>
K
, opuszcza ten sam biegun pod kątem 0
°
. Dla
bieguna w punkcie s = 0, kąt wejścia linii pierwiastkowej, gdy
0
<
K
, wynosi 0
°
podczas gdy
kąt wyjścia linii pierwiastkowej przy
0
>
K
jest równy 180
°
. Kąty te są również wyznaczane z
wiedzy o typie linii na odcinkach osi liczb rzeczywistych oddzielonych od siebie przez bieguny
i zera transmitancji G(s)H(s). Na kąty wejścia lub wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów
lub zer znajdujących się na osi liczb rzeczywistych nie mają wpływu bieguny zespolone
sprzężone.
3.8. PUNKTY PRZECIĘCIA LINII PIERWIASTKOWYCH Z OSIĄ LICZB UROJONYCH
Punkty w których linie pierwiastkowe przecinają oś liczb urojonych na płaszczyźnie s, jeśli takie
występują, wyznaczane są przy użyciu kryterium Routha. Dla złożonych przypadków, kiedy linia
pierwiastkowa ma wiele punktów przecięcia z osią liczb urojonych, wartości krytyczne K mogą być
wyznaczone przy użyciu programów komputerowych.
Przykład 7
Linii pierwiastkowa pokazanej na rysunku 6, wykreślona jest dla równania
(
)
(
)
0
2
2
3
2
=
+
+
+
+
K
s
s
s
s
(7.1)
Z rysunku 6 widać, że linia pierwiastkowa, gdy
0
>
K
przecina oś liczb urojonych w dwóch
punktach. Stosując kryterium Routha do równania (7.1) i przez rozwiązanie równania
pomocniczego otrzymuje się wartość krytyczną K = 8.16 i odpowiadające punkty przecięcia osi
j
ω
są w
095
.
1
j
±
.
3.9. PUNKTY ROZGAŁĘZIEŃ NA LINIACH PIERWIASTKOWYCH
Punkty rozgałęzień na liniach pierwiastkowych odpowiadają pierwiastkom wielokrotnym
równania.
Na rysunku 7(a) przedstawiony został przypadek w którym dwie linie pierwiastkowe spotykają się
w punkcie rozgałęzienia na osi liczb rzeczywistych i następnie opuszczają tą oś w przeciwnych
kierunkach. W tym przypadku punkt rozgałęzienia reprezentuje podwójny pierwiastek równania,
kiedy wartość K osiąga wartość odpowiadającą temu punktowi. Na rysunku 7(b) przedstawiona
została inna sytuacja w której dwa pierwiastki zespolone sprzężone spotykają się w punkcie
rozgałęzienia znajdującego się na osi liczb rzeczywistych i następnie przemieszczają się
0
=
K
0
=
K
Punkt
rozgałęzienia
∞
=
K
∞
=
K
Punkt
rozgałęzienia
(a)
(b)
Rys.7. Przykłady punktów rozgałęzień na osi liczb rzeczywistych.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
12
w
przeciwnych kierunkach wzdłuż osi liczb rzeczywistych. W ogólnym przypadku, punkt
rozgałęzienia może obejmować więcej niż dwie linie pierwiastkowe. Linia pierwiastkowa może mieć
oczywiście więcej niż jeden punkt rozgałęzienia. Poza tym punkty przecięcia nie zawsze będą na osi
liczb rzeczywistych. Z powodu sprzężonej symetrii linii pierwiastkowych, punkty rozgałęzień
znajdujące się poza osią liczb rzeczywistych muszą być powiązane w zespolone pary sprzężone.
Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej
0
)
(
)
(
1
1
1
=
+
s
H
s
KG
muszą spełniać warunek
0
)
(
)
(
1
1
=
ds
s
H
s
dG
(28)
Ważne jest aby zaznaczyć, że warunek na punkt rozgałęzienia opisany wzorem (28) jest konieczny ale
nie wystarczający. Innymi słowy, wszystkie punkty rozgałęzień muszą spełniać równanie (28) lecz nie
wszystkie rozwiązania równania (28) są punktami rozgałęzień. Aby być punktem rozgałęzienia,
rozwiązanie równania (28) musi również spełniać równanie
0
)
(
)
(
1
1
1
=
+
s
H
s
KG
, czyli musi być
również punktem znajdującym się na linii pierwiastkowej dla pewnej wartości K. Ogólnie, poniższe
wnioski są uzyskiwane w odniesieniu do rozwiązań równania (28):
1. Wszystkie rzeczywiste rozwiązania równania (28) są punktami na linii pierwiastkowej, gdyż
cała oś liczb rzeczywistych płaszczyzny s jest zajęta przez linie pierwiastkowe.
2. Rozwiązania zespolone sprzężone równania (28) są punktami rozgałęzień tylko wówczas gdy
spełniają równanie charakterystyczne lub są punktami na linii pierwiastkowej.
3. Z warunku dotyczącego linii pierwiastkowej
)
(
)
(
1
1
1
s
H
s
G
K
−
=
(29)
wyznaczając różniczkę na obu stronach równania względem zmiennej s, otrzymuje się
[
]
2
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
s
H
s
G
ds
s
H
s
dG
ds
dK
=
(30)
Więc warunek dotyczący punktu rozgałęzienia może być również zapisany jako
0
=
ds
dK
(31)
gdzie K jest wyrażone tak jak w równaniu (29).
3.9.1. Kąty wyjścia i wejścia linii pierwiastkowych w punktach rozgałęzień
Kąty przy których linia pierwiastkowa przybywa lub opuszcza punkt rozgałęzień zależy od liczby
linii, które obejmują ten punkt. Ogólnie
n linii pierwiastkowych osiąga lub opuszcza punkt rozgałęzień pod kątem 180
°
/n
Przykład 8
Rozważ równanie drugiego rzędu
(
) (
)
0
4
2
=
+
+
+
s
K
s
s
(8.1)
Korzystając z dotychczas poznanych własności linii pierwiastkowych dla równania (8.1) linie
pierwiastkowe naszkicowane zostały na rysunku 8 dla
∞
<
<
∞
−
K
. Można udowodnić, że linia
pierwiastkowa dotyczące pierwiastków zespolonych sprzężonych jest okręgiem. Obydwa
punkty rozgałęzień znajdują się na osi liczb rzeczywistych, jeden pomiędzy 0 oraz
−
2, i drugi
pomiędzy
−
2 i
∞
−
. Z równania (8.1) otrzymuje się
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
13
(
)
2
4
)
(
)
(
1
1
+
+
=
s
s
s
s
H
s
G
(8.2)
Stosując równanie (28), punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej muszą spełniać zależność
(
) (
)(
)
(
)
2
2
1
1
2
4
1
2
2
)
(
)
(
+
+
+
−
+
=
s
s
s
s
s
s
ds
s
H
s
dG
(8.3)
lub
0
8
8
2
=
+
+
s
s
(8.4)
Rozwiązując równanie (8.4), znajduje się dwa punkty rozgałęzień linii pierwiastkowej s =
−
1.172 i
−
6.828. Z rysunku 8 widać, że obydwa te punkty znajdują się na tej części linii
pierwiastkowej dotyczącej
0
>
K
.
σ
j
ω
−
2
−
4
−
1.172
−
6.828
K > 0
K > 0
K
←
∞
±∞
=
K
K < 0
K=0
K=0
K < 0
−∞
→
K
Rys.8. Linia pierwiastkowa dla
(
) (
)
0
4
2
=
+
+
+
s
K
s
s
.
3.10. OBLICZANIE
K
Z LINII PIERWIASTKOWYCH
Przy konstruowaniu linii pierwiastkowych, wartość K w dowolnym punkcie
1
s
na linii pierwiastkowej
może być wyznaczona przy użyciu równania (20).
Wszystkie ważne własności konstruowania linii pierwiastkowych zebrane zostały w tabeli 1.
Przykład 9
Ilustracją wyznaczania wartości K z linii pierwiastkowej będzie równanie
(
) (
)
0
4
2
=
+
+
+
s
K
s
s
(9.1)
jak pokazano to na rysunku 9. Wartość K w punkcie
1
s
jest dana przez równanie
C
B
A
K
×
=
(9.2)
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
14
gdzie A oraz B są długościami wektorów wykreślonych z biegunów transmitancji
(
) (
)
2
4
)
(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
G
do punktu
1
s
, a C jest długością wektora wykreślonego z zera
transmitancji G(s)H(s) do punktu
1
s
. Wartość wzmocnienia K w punkcie w którym linia
pierwiastkowa przecina oś liczb urojonych może być również wyznaczona w ten sposób.
σ
j
ω
−
2
−
4
K > 0
K > 0
K
←
∞
±∞
=
K
K < 0
K=0
K=0
K < 0
−∞
→
K
C
B
A
1
s
Rys.9. Graficzna metoda znajdowania wartości K z linii pierwiastkowej.
Tabela1. Własności linii pierwiastkowych
0
)
(
)
(
1
1
1
=
+
s
H
s
KG
1. Punkty dla K = 0
Punkty dla K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s), obejmując
również takie które znajdują się w s =
∞
.
2. Punkty dla K=
∞
±
Punkty dla K=
∞
±
są zerami transmitancji G(s)H(s), zawierając również
te które znajdują się w s =
∞
.
3. Liczba oddzielnych linii
pierwiastkowych
Całkowita liczba linii pierwiastkowych jest równa rzędowi równania
F(s) = 0.
4. Symetria linii
pierwiastkowych
Linie pierwiastkowe są symetryczne wzdłuż osi symetrii konfiguracji
zero-biegunowej transmitancji G(s)H(s).
5. Asymptoty linii
pierwiastkowych gdy
∞
→
s
Dla dużych wartości s, linie pierwiastkowe (K > 0) są zbieżne do
asymptot, których kąty są wyznaczane z następujących zależności:
o
180
1
2
×
−
+
=
m
n
i
i
θ
Dla linii pierwiastkowych (K < 0),
o
180
2
×
−
=
m
n
i
i
θ
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
15
gdzie
i = 0, 1, 2, ...,
1
−
−
m
n
;
n = liczba skończonych biegunów transmitancji G(s)H(s).
m = liczba skończonych zer transmitancji G(s)H(s).
6. Punkt przecięcia
asymptot
(a) Punkt przecięcia asymptot występuje tylko na osi liczb rzeczywistych
(b) Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest ze wzoru
m
n
s
H
s
G
s
H
s
G
a
−
−
=
¦
¦
)
(
)
(
)
(
)
(
cji
transmitan
zer
cji
transmitan
biegunów
σ
7. Linie pierwiastkowe na
osi liczb rzeczywistych
Linia pierwiastkowa (K > 0) występuje w tych odcinkach osi liczb
rzeczywistych dla których suma rzeczywistych zer i biegunów
transmitancji G(s)H(s) z prawej strony tego odcinka jest nieparzysta.
Jeśli całkowita liczba zer i biegunów z prawej strony odcinka jest
parzysta, wówczas występuje linia pierwiastkowa dla (K < 0).
8. Kąty wyjścia
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna lub zera lub wyjścia
z bieguna transmitancji G(s)H(s) może być wyznaczona przy założeniu
punktu, który jest bardzo blisko bieguna lub zera przez zastosowanie
równania
(
)
(
)
¦
¦
=
=
+
∠
−
+
∠
=
∠
n
j
j
m
k
k
p
s
z
s
s
H
s
G
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
(
)
o
180
1
2
×
+
=
i
(K > 0)
o
180
2
×
=
i
(K < 0)
gdzie i = 0,
±
1,
±
2,
±
3, ....
9. Punkty przecięcia linii
pierwiastkowych z osią
liczb urojonych
Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych
odpowiadają wartościom K, które mogą być wyznaczone przy użyciu
kryterium Routha.
10. Punkty rozgałęzień
Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej są wyznaczane z zależności
0
=
ds
dK
, lub
0
)
(
)
(
=
ds
s
H
s
dG
. Są to tylko warunki konieczne.
11. Obliczenie wartości K
na podstawie linii
pierwiastkowej
Wartość bezwzględną K w pewnym punkcie
1
s
należącym do linii
pierwiastkowej, wyznaczane są na podstawie zależności
)
(
)
(
1
1
1
1
1
s
H
s
G
K
=
Poniższe przykłady podsumowują wszystkie własności linii pierwiastkowych zebrane w tabeli 1.
Przykład 10
Dla poniższego układu regulacji (rys. 10.1) naszkicuj linie pierwiastkowe. Na podstawie
wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ:
•
Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny
•
Wartość wzmocnienia krytycznego
kr
K
przy którym w układzie pojawiają się oscylacje
o stałej amplitudzie oraz okres tych oscylacji
osc
T
.
•
Dla K = 10 wyznacz zapas wzmocnienia
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
16
K
1
s
3
+5s
2
+9s+5
R(s)
R(s)
Rys. 10.1. Schemat blokowy rozważanego układu regulacji
Transmitancja pętli otwartej dla tego układu ma postać
(
)(
)(
)
j
s
j
s
s
K
s
s
s
K
s
H
s
G
+
+
−
+
+
=
+
+
+
=
2
2
1
5
9
5
)
(
)
(
2
3
(10.1)
Własności linii pierwiastkowej zebrane w tabeli 1, dla tego przypadku wyznaczane są
następująco:
1. Punkty w których K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s): s =
−
1,
−
2+ j,
−
2
−
j.
2. Punkty w których K =
∞
±
są zerami transmitancji G(s)H(s): s =
∞
,
∞
,
∞
.
3. Są trzy oddzielne gałęzi linii pierwiastkowych.
4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s.
5. Transmitancja G(s)H(s) ma trzy bieguny i żadnego skończonego zera, czyli trzy gałęzie linii
pierwiastkowych osiągają nieskończoność wzdłuż asymptot. Kąty asymptot linii
pierwiastkowych wyznaczane są z równania (25)
o
o
180
0
3
1
2
180
1
2
−
+
=
−
+
=
i
m
n
i
i
θ
∞
<
<
K
0
(10.2)
dla i = 0, 1, 2.Więc trzy linie pierwiastkowe dla K > 0 osiągają nieskończoność wzdłuż
asymptot pod kątami: 60
°
, 180
°
, 300
°
. Kąty asymptot linii pierwiastkowych (K < 0)
wyznaczane są z równania (26)
o
o
180
0
3
2
180
2
−
=
−
=
i
m
n
i
i
θ
0
<
<
∞
−
K
(10.3)
dla i = 0, 1, 2. Więc kiedy K osiąga
−∞
, wówczas trzy linie pierwiastkowe osiągają
nieskończoność wzdłuż asymptot pod kątami: 0
°
, 120
°
, 240
°
.
6. Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest z równania (27)
6667
.
1
0
3
2
2
1
−
=
−
+
−
+
−
−
=
j
j
a
σ
(10.4)
7. Linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych. Odcinek linii pierwiastkowej (K<0) na osi
liczb rzeczywistych znajduje się od
∞
do punktu s =
−
1, natomiast pozostałe część osi liczb
rzeczywistych od punktu s =
−
1 do
−∞
pokryta jest przez linię pierwiastkową dla K>0.
8. Kąty wyjścia: Kąt wyjścia
θ
linii pierwiastkowej z bieguna
−
2+j jest wyznaczany przy
użyciu równania (18). Jeśli
1
s
jest punktem na linii pierwiastkowej opuszczającej biegun
−
2+j i znajduje się bardzo blisko tego bieguna to.
(
) (
) (
) (
)
o
180
1
2
2
2
1
1
1
1
×
+
=
+
+
∠
−
−
+
∠
−
+
∠
−
i
j
s
j
s
s
(10.5)
lub
o
o
o
180
135
90
2
−
≅
−
−
−
θ
(10.6)
czyli
o
45
2
−
≅
θ
(10.7)
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
17
W podobny sposób równanie (19) jest używane do określenia kąta wejścia linii
pierwiastkowej (K < 0) do bieguna
−
2+j. Kąt ten wyznaczany jest w bardzo łatwy sposób,
gdyż kąt
'
2
θ
różni się od kąta
2
θ
o 180
°
; więc
o
o
o
135
45
180
180
2
'
2
=
−
=
+
=
θ
θ
(10.8)
9. Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią urojoną wyznaczane są przy użyciu kryterium
Routha. Dla układu z rysunku 10.1 równanie charakterystyczne ma postać
0
5
9
5
2
3
=
+
+
+
+
K
s
s
s
(10.9)
Tablica Routha
3
s
1
9
2
s
5
5
+
K
1
s
5
40
+
−
K
0
s
5
+
K
Aby równanie (10.9) nie miało pierwiastków na osi liczb urojonych ani w prawej
półpłaszczyźnie, wówczas wszystkie elementy pierwszej kolumny tablicy Routha muszą
mieć ten sam znak. Czyli spełnione muszą być następujące zależności
–K + 40 > 0 lub K < 40
(10.10)
K + 5 > 0 lub K > –5
(10.11)
Czyli wszystkie pierwiastki równania (10.9) pozostaną w lewej półpłaszczyźnie, jeśli K
będzie przyjmowało wartość z zakresu pomiędzy –5 oraz 40 co oznacza, że linia
pierwiastkowa będzie przecinać oś liczb urojonych kiedy K = 40. Współrzędne punktów
przecięcia na osi liczb urojonych, które odpowiadają wartości parametru K = 40, są
wyznaczane z następującego równania pomocniczego
0
5
5
)
(
2
=
+
+
=
K
s
s
p
(10.12)
Równanie (10.12) zostało uzyskane przez użycie współczynników z wiersza znajdującego
się bezpośrednio nad wierszem zerowym w
1
s
, który powstaje gdy K = 40. Podstawiając
K = 40 do równania (10.12), otrzymuje się
0
45
5
2
=
+
s
(10.13)
Pierwiastkami równania (10.13) są s = j3 oraz
−
j3, które są punktami w których linia
pierwiastkowa przecina oś liczb urojonych.
10. Punkty rozgałęzień: Opierając się na informacjach z poprzednich 9 punktów można podjąć
próbny szkic linii pierwiastkowych z którego wynika, że nie będzie w tym przypadku
żadnego punktu rozgałęzień na całej linii pierwiastkowej. Aby wyznaczyć punkt rozgałęzień
należy poddać obustronnej operacji różniczkowania zależność (10.1) względem s
i przyrównać to do zera; wówczas uzyskuje się następujące równanie
0
9
10
3
2
=
−
−
−
s
s
(10.14)
Ponieważ nie jest spodziewany żaden punkt rozgałęzień czyli z uzyskanych z równania
(10.14) rozwiązań żadne nie jest poprawne. Pierwiastki uzyskane z rozwiązania równania
(10.14) są następujące
s =
−
1.6667 + j0.4714 s =
−
1.6667
−
j0.4714
Obydwa rozwiązania nie spełniają równania (10.9) i dlatego też nie są punktami rozgałęzień.
Bazując na informacjach uzyskanych w ostatnich dziesięciu krokach, linie pierwiastkowe
równania (10.1) są pokazane na rysunku 10.2.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
18
-5
-4
-3
-2
-1
0
j1
j2
j3
j4
−
j1
−
j2
−
j3
−
j4
K<0
K<0
K>0
K=0
K>0
K<0
K>0
K=0
K=0
∞
→
K
∞
→
K
∞
→
K
−∞
→
K
−∞
→
K
−∞
→
K
σ
j
ω
−
1.6667
(K=40)
(K=40)
Rys. 10.2. Linie pierwiastkowe
0
5
9
5
2
3
=
+
+
+
+
K
s
s
s
Zakres stabilności układu
−
5 < K < 40
(10.15)
Układ jest na granicy stabilności gdy
kr
K
= 40 i okres oscylacji
osc
T
wyznacza się
z rozwiązania dla którego dwa pierwiastki sprzężone umiejscowione na osi urojonej w tym
przypadku w punktach
3
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
.
[ ]
s
T
09
.
2
3
2
2
osc
=
=
=
π
ω
π
(10.16)
Zapas wzmocnienia dla K = 10 wyznacza się z zależności
4
10
40
max
=
=
=
∆
K
K
K
(10.17)
Zapas wzmocnienia zazwyczaj podawany jest w decybelach
0412
.
12
log
20
log
20
=
∆
=
∆
=
K
K
GM
[dB]
(10.18)
ZAGADNIENIA KONTROLNE
Poniższe pytania odnoszą się do równania P(s)+KQ(s) = 0, gdzie P(s) i Q(s) są wielomianami
w funkcji s ze stałymi współczynnikami.
1. Podaj warunki jakie muszą być spełnione aby można było skonstruować linie pierwiastkowe.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
19
2. Określ punkty na linii pierwiastkowej dla których K = 0, w odniesieniu do zer i biegunów
funkcji Q(s)/P(s).
3. Określ punkty na linii pierwiastkowej dla których K =
±
∞
, w odniesieniu do zer i biegunów
funkcji Q(s)/P(s).
4. Podaj znaczenie punktów rozgałęzień w odniesieniu do pierwiastków funkcji P(s) + KQ(s) = 0.
5. Podaj równanie określające punkt przecięcia asymptot.
6. Asymptoty linii pierwiastkowych odnoszą się do kątów linii gdy K =
±
∞
.
(Tak) (Nie)
7. Czy jest tylko jeden punkt przecięcia asymptot na liniach pierwiastkowych ?
(Tak) (Nie)
8. Punkt przecięcia asymptot musi zawsze wystąpić na osi liczb rzeczywistych.
(Tak) (Nie)
9. Punkty rozgałęzienia linii pierwiastkowych muszą zawsze wystąpić na osi liczb rzeczywistych.
(Tak) (Nie)
10. Określenie punktów przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych może zostać
dokonane przez rozwiązanie równania pomocniczego z tablicy Routha.
(Tak) (Nie)
ĆWICZENIA
C1.
Znajdź kąty asymptot i punkty ich przecięcia na liniach pierwiastkowych poniższych równań, gdy
K zmienia się do
−∞
do
∞
.
a)
(
)
0
8
4
4
2
3
4
=
+
+
+
+
+
K
s
K
s
s
s
b)
(
)
0
5
6
2
3
=
+
+
+
+
K
s
K
s
s
c)
(
)
0
40
2
2
2
3
2
=
+
+
+
+
s
s
s
K
s
d)
(
)
(
)
0
3
1
3
2
2
2
3
=
+
−
+
+
+
s
s
K
s
s
s
e)
(
)
0
2
2
3
2
2
3
4
5
=
+
+
+
+
+
s
s
K
s
s
s
f)
(
)
0
5
25
6
2
4
=
+
+
+
+
s
K
s
s
C2.
Dla poniższych transmitancji pętli, znajdź kąty wejścia lub wyjścia linii pierwiastkowych we
wskazanym zerze lub biegunie.
a)
(
)
(
)
1
1
)
(
)
(
2
+
+
=
s
s
Ks
s
H
s
G
Kąt wejścia (K < 0) i kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s = j.
b)
(
)
(
)
1
1
)
(
)
(
2
+
−
=
s
s
Ks
s
H
s
G
Kąt wejścia (K < 0) i kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s = j.
c)
(
)
(
)
2
2
2
)
(
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
H
s
G
Kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s =
−
1 + j.
d)
(
)
2
2
)
(
)
(
2
2
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
G
Kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s =
−
1 + j.
e)
(
)
(
)(
)
3
2
2
2
)
(
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G
Kąt wejścia (K > 0) w punkcie s =
−
1 + j.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
20
C3.
Zaznacz punkty w których K = 0 i K =
± ∞
oraz linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych
dla (K > 0) i (K < 0) dla konfiguracji zero-biegunowych pokazanych na rysunku C3
σ
j
ω
0
−
1
−
2
−
3
−
4
σ
j
ω
0
−
1
−
2
−
3
j
−
j
1
(a)
(b)
σ
j
ω
0
−
1
−
2
−
4
j
−
j
σ
j
ω
0
−
1
−
2
−
3
−
4
j
−
j
(c)
(d)
Rys. C3.
C4.
Znajdź wszystkie punkty rozgałęzień linii pierwiastkowych układu opisanego przez konfiguracje
zero-biegunowe pokazane na rysunku C3.
C5. D
la każdego z poniższych układów sterowania dla których podane są zera i bieguny transmitancji
pętli G(s)H(s) Skonstruuj linie pierwiastkowe wyznaczając:
•
Punkt przecięcia asymptot,
•
Kąty asymptot, dla K > 0 oraz K < 0
•
Punkty rozgałęzień,
•
Kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów i zer znajdujących się poza osią liczb
rzeczywistych
•
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych
Na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ
•
Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układy te są stabilne
•
Wartość wzmocnienia krytycznego
kr
K
przy którym w układzie pojawiają się oscylacje o stałej
amplitudzie oraz okres tych oscylacji
osc
T
.
•
Dla K = 1 wyznacz zapas wzmocnienia
a) Bieguny: s = 0,
−
1,
−
3 brak skończonych zer.
b) Bieguny: s = 0,
−
1,
−
2; zero: s =
−
5.
c) Bieguny: s = 0,
−
5,
−
6; zero: s =
−
8.
d) Bieguny: s = 0,
−
2,
−
2; zero: s =
−
4.
e) Bieguny: s = 0,
−
1 + j,
−
1
−
j; zero: s =
−
2.
f) Bieguny: s =
−
1 + j,
−
1
−
j,
−
4; brak skończonych zer.
g) Bieguny: s =
−
1,
−
2,
−
3; zera: 1+j, 1
−
j
h) Bieguny: s =
−
1,
−
2+j3,
−
2
−
j3; zera: 1+j, 1
−
j
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
21
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ*
C1.
a)
( )
2
2
)
2
(
1
)
(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
G
Punkt przecięcia asymptot:
1
σ
=
−
1,
Kąty asymptot:
i
θ
= 60
°
, 180
°
, 300
°
, dla K > 0;
i
θ
= 0
°
, 120
°
, 240
°
, dla K < 0; i = 1, 2, 3.
b)
( )
)
5
)(
1
(
1
)
(
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
H
s
G
Punkt przecięcia asymptot:
1
σ
=
−
5,
Kąty asymptot:
i
θ
= 90
°
, 270
°
, dla K > 0;
i
θ
= 0
°
, 180
°
, dla K < 0; i = 1, 2.
c)
(
)
(
)
2
2
10
2
4
)
(
)
(
s
s
s
s
K
s
H
s
G
+
−
+
=
;
Nie można skonstruować linii pierwiastkowych, gdyż liczba zer jest większa od liczby biegunów.
d)
( )
)
2
)(
1
(
)
3
(
1
)
(
)
(
2
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G
Nie ma asymptot, gdyż liczba zer jest równa liczbie biegunów.
e)
(
)
)
5
2
)(
5
2
(
5
)
(
)
(
2
2
+
+
+
−
+
=
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G
Punkt przecięcia asymptot:
1
σ
=
3
5
,
Kąty asymptot:
i
θ
= 60
°
, 180
°
, 300
°
, dla K > 0;
i
θ
= 0
°
, 120
°
, 240
°
, dla K < 0; i = 1, 2, 3.
C2.
a) Kąt wejścia linii pierwiastkowej (K < 0) do bieguna s = j:
'
θ
= 315
°
.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s = j:
θ
= 135
°
b) Kąt wejścia linii pierwiastkowej (K < 0) do bieguna s = j:
'
θ
= 225
°
.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s = j:
θ
= 45
°
c) Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s =
−
1+ j:
θ
= 270
°
d) Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s =
−
1+ j:
θ
= 180
°
e) Kąt wejścia linii pierwiastkowej (K > 0) do zera s =
−
1+ j:
'
θ
= 71.56
°
C4.
a)
(
)(
)
)
4
)(
1
(
3
2
)
(
)
(
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G
; punkty rozgałęzień:
1
s =
−
2.388,
2
s =
−
0.727; dla K < 0.
b)
( )( )
)
2
2
)(
3
)(
2
(
1
1
)
(
)
(
2
2
+
+
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G
; punkty rozgałęzień:
1
s =
−
2.460, dla K > 0;
2
s = 2.209; dla K < 0.
c)
(
)
(
)
4
)
2
2
(
)
1
(
2
)
(
)
(
2
2
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
Ks
s
H
s
G
; punkty rozgałęzień:
1
s = 0.475, dla K < 0.
d)
(
)(
)
(
)
)
3
)(
1
(
2
2
4
2
)
(
)
(
2
+
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
K
s
H
s
G
; Nie można skonstruować linii pierwiastkowych, gdyż liczba zer
jest większa od liczby biegunów.
C5.
a)
)
3
)(
1
(
)
(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
=
−
1.3333,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 60
°
, 180
°
, 300
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, 120
°
, 240
°
; i = 0, 1, 2.
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
22
Punkty rozgałęzień: 0
3
5
2
3
=
−
−
+
s
s
s
dla K > 0,
1
s =
−
0.5720;
dla K < 0,
2
s =
−
2.5141
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych:
7321
.
1
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K = 12
Stabilny: 0 < K < 12
Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 12, Okres oscylacji:
osc
T
= 3.6276 [s]
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 21.5836 [dB]
b)
(
)
)
2
)(
1
(
5
)
(
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 1,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 90
°
, 270
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, 180
°
, i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: 0
10
30
18
2
2
3
=
−
−
−
−
s
s
s
dla K > 0,
1
s =
−
0.4475;
dla K < 0,
2
s =
−
6.9434,
3
s =
−1
.6091.
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych:
2361
.
2
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K = 3
Stabilny: 0 < K < 3
Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 3, Okres oscylacji:
osc
T
= 2.8099 [s]
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 9.5424 [dB]
c)
(
)
)
6
)(
5
(
8
)
(
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
=
−
1.5,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 90
°
, 270
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, 180
°
, i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: 0
240
176
35
2
2
3
=
−
−
−
−
s
s
s
dla K > 0,
1
s =
−
2.2178;
dla K < 0,
2
s =
−
9.7098,
3
s =
−
5.5724.
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: brak
Stabilny: 0 < K <
∞
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM =
∞
[dB]
d)
(
)
2
)
2
(
4
)
(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 0,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 90
°
, 270
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, 180
°
, i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: 0
16
32
16
2
2
3
=
−
−
−
−
s
s
s
dla K > 0,
1
s =
−
0.7639;
dla K < 0,
2
s =
−
5.2361,
3
s =
−
2.
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: brak
Stabilny: 0 < K <
∞
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM =
∞
[dB]
e)
(
)
)
2
2
(
3
)
(
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 0.5,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 90
°
, 270
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, 180
°
, i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: 0
6
12
11
2
2
3
=
−
−
−
−
s
s
s
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
23
dla K > 0, brak
dla K < 0,
2
s =
−4
.2558.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (
−
1+j):
1
θ
=
−
18.4349
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (
−
1+j):
'
1
θ
= 161.5651
°
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych:
4495
.
2
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K = 4
Stabilny: 0 < K < 4
Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 4, Okres oscylacji:
osc
T
= 2.5651 [s]
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 12.0412 [dB]
e)
(
)
)
2
2
(
3
)
(
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
= 0.5,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 90
°
, 270
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, 180
°
, i = 0, 1.
Punkty rozgałęzień: 0
6
12
11
2
2
3
=
−
−
−
−
s
s
s
dla K > 0, brak
dla K < 0,
2
s =
−4
.2558.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (
−
1+j):
1
θ
=
−
18.4349
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (
−
1+j):
'
1
θ
= 161.5651
°
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych:
4495
.
2
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K = 4
Stabilny: 0 < K < 4
Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 4, Okres oscylacji:
osc
T
= 2.5651 [s]
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 12.0412 [dB]
f)
(
)
)
2
2
(
4
)
(
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
=
−
2,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 60
°
, 180
°
, 300
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, 120
°
, 240
°
, i = 0, 1, 2.
Punkty rozgałęzień: 0
2
2
3
2
3
=
−
−
+
s
s
s
dla K > 0, brak
dla K < 0,
1
s =
−
3.4142,
2
s =
−
0.5858.
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (
−
1+j):
1
θ
= 71.5651
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (
−
1+j):
'
1
θ
= 251.5651
°
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych:
1623
.
3
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K = 52
Stabilny:
−
8 < K < 52
Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 52, Okres oscylacji:
osc
T
= 1.9869 [s]
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 34.3201 [dB]
g)
(
)
( )
)
2
)(
1
(
1
2
2
)
(
)
(
2
+
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
=
−
8,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Punkty rozgałęzień: 0
34
12
17
4
2
3
4
=
−
−
+
+
−
s
s
s
s
dla K > 0,
1
s =
−
1.3493
dla K < 0,
2
s = 6.2685,
3
s = 1.5973,
4
s =
−
2.5166
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z zera (1+j):
1
φ
=
−
30.9638
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do zera (1+j):
'
1
φ
= 149.0362
°
Teoria sterowania
Linie pierwiastkowe
Ostatnia aktualizacja: 04-09-28
M. Tomera
24
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych:
5357
.
0
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K =
−
6.2783
4594
.
1
4
,
3
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K = 4.7783
Stabilny:
−
3 < K < 4.7783
Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
= 4.7783, Okres oscylacji:
osc
T
= 4.3054 [s]
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 13.5855 [dB]
h)
(
)
( )
)
13
4
(
1
2
2
)
(
)
(
2
2
+
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
K
s
H
s
KG
Punkt przecięcia asymptot:
a
σ
=
−
7,
Kąty asymptot: dla K > 0,
i
θ
= 180
°
;
dla K < 0;
i
θ
= 0
°
, i = 0.
Punkty rozgałęzień: 0
60
6
21
4
2
3
4
=
−
+
+
+
−
s
s
s
s
dla K > 0, brak
dla K < 0,
1
s = 6.9623,
2
s = 1.4421
Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna (
−
2+j3):
1
θ
= 254.7449
°
z zera (1+j):
1
φ
=
−
43.9949
°
Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna (
−
2+j3):
'
1
θ
= 74.7449
°
do zera (1+j):
'
1
φ
= 136.0051
°
Punkty przecięcia z osią liczb urojonych:
1728
.
5
2
,
1
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K =
−
4.2783
4979
.
1
4
,
3
j
j
s
±
=
±
=
ω
dla K = 7.3788
Stabilny:
−
4.8788 < K < 7.3788
Wzmocnienie krytyczne:
kr
K
=
−
4.2783, Okres oscylacji:
osc
T
= 1.2147 [s]
kr
K
= 7.3788, Okres oscylacji:
osc
T
= 4.1959 [s]
Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 17.3597 [dB]
LITERATURA
1. Dorf R.C., Bishop R.H. Modern Control Systems. Addison-Wesley Longman, 1998.
2. Evans W.R. "Graphical Analysis of Control Systems", Transaction of AIEE, Vol. 67, pp. 547-551,
1948.
3. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.
Addison-Wesley Publishing Company, 1986
4. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.
5. Nise N.S. Control Systems Engineering. 3th ed. John Wiley&Sons Inc., 2000.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Linie pierwiastkowe dla układów dyskretnych
7.2.1 Linie pierwiastkowe, zadania rozwiązane
Linie pierwiastkowe id 268644 Nieznany
Budowa Układu Okresowego Pierwiastków
4 Linie wpływu wielkości statycznych w ustrojach prętowych
16 LINIE, PODZIAŁKI I RKUSZE RYSUNKOWE
Linie wplywowe w ukladach statycznie wyznaczalnych belka3
Pierwiastki Zadanie domowe [PDF], Pierwiastki Rozwiązanie zadania domowego
UKŁAD OKRESOWY PIERWIASTKÓW
uszeregowanie pierwiastków w układzie okresowym przez Dmitrija I
pierwiastkowanie kart
pierwiastki ph redoks
Układ okresowy, a właściwości pierwiastków
Metoda projektowania układów regulacji za pomocą linii pierwiastkowych
4 Co to są linie poślizgu widoczne na powierzchni próbki ze stali GX120Mn13
więcej podobnych podstron