Dla kratownicy o schemacie jak poniżej (Rys. 1.1) wyznaczyć linie wpływu zaznaczonych wielkości

statycznych.

4

4

8

18

18

36

6

6

6

6

2

1

3

4

-

6

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

S

4

3

-

5

S

3

-

6

S

5

-

6

S

6

6

7

-

8

S

Rys. 1.1 Rozpatrywana kratownica

4

4

8

18

18

36

x

36

-

x

2

1

3

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

4

Rys. 1.1.1 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych)

Linie wpływu reakcji podporowych uzyskuje się z równań równowagi statecznej.

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

∑

M

C

=0  36 V

A

−P 36−x=0

36 V

A

=36 − x /÷36

lw V

A

=1−

x

36

(1.1.1)

Aby graficznie przedstawić powyższą funkcję (prostą), potrzebujemy minimum dwa punkty przez które ona
przechodzi.

∣

dla x=0

 V

A

=1

dla x

=36  V

A

=0

∣

[−]

(1.1.2)

∑

M

A

=0  −36 V

C

P⋅x=0

36 V

C

=x /÷36

lw V

C

=

x

36

(1.1.3)

Postępując analogicznie jak wcześniej do równania (1.1.3) podstawiamy konkretne wartości:

∣

dla x=0

 V

C

=0

dla x=36 

V

C

=1

∣

[−]

(1.1.4)

∑

X =0 

H

A

−H

C

=0

H

A

=H

C

=H

(1.1.5)

Ponieważ mamy do czynienia z układem trójprzegubowym, musimy rozważyć dwa następujące przypadki:

1

o

Gdy siła „P” działa na lewą część układu (Rys.1.1.3) tzn. na lewo od przegubu, czyli

x ∈ 〈0 , 18 〉

4

4

8

18

18

x

2

1

3

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

4

8

7

x ∈ 〈0,18 〉

Rys. 1.1.3 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych), gdy siła działa na lewo od przegubu

Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

∑

M

B

=0  −18 V

C

4 H =0

4 H =18 V

C

/÷4

lw H =

18

4

lw V

C

(1.1.6)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.1.6), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.3)

otrzymamy:

lw H =

18

4

⋅

x

36

=

x

8

(1.1.7)

∣

dla x=0



H =0,0

dla x=18 

H =2,25

∣

[−]

(1.1.8)

2

o

Gdy siła „P” działa na prawą część układu (Rys.1.1.4) tzn. na prawo od przegubu, czyli

x ∈ 〈18,36 〉

4

4

8

18

18

2

1

3

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

4

8

7

x ∈ 〈18,36 〉

18

-

x

Rys. 1.1.4 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczeniem reakcji (sił biernych), gdy siła „P”działa na prawo od

przegubu

Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):

∑

M

B

=0  18 V

A

−4 H =0

4 H =18 V

A

/÷4

lw H =

18

4

lw V

A

(1.1.9)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.1.9), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.1)

otrzymamy:

lw H =

18

4



1−

x

36



=

18

4

−

x

8

(1.1.10)

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

∣

dla x=18



H =2,25

dla x=36



H =0,0

∣

[−]

(1.1.11)

Warto zauważyć, że w przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.1.8),

równa jest wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.1.11). Zgodność ta nie jest
przypadkowa i stanowić może pewnego rodzaju sprawdzenie poprawności przeprowadzanych obliczeń.

Linie wpływu sił normalnych w prętach kratownicy uzyskuje się, wykorzystując znane metody

rozwiązywania kratownic tzn. metodę równoważenia węzłów i metodę Rittera.

1

o

Gdy siła „P” działa na węzły, położone na lewo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.1), czyli

x ∈ 〈0 , 6 〉

4

4

8

18

18

36

6

6

6

6

x

2

1

3

4

-

6

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

S

4

3

-

5

S

3

-

6

S

6

6





x ∈ 〈0 , 6 〉

Rys. 1.2.1 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła „P”

działa na węzły położone na lewo od nich

Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):

- dla pręta S

3-5

∑

M

6

=0  −24 V

C

4 H −4 S

3−5

=0

4 S

3−5

=4 H −24 V

C

/÷4

lw S

3−5

=lw H −6 lw V

C

(1.2.1)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.1), wielkości wcześniej już wyprowadzone (1.1.3 i 1.1.7)

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

otrzymamy:

lw S

3−5

=

x

8

−6

x

36

=−

x

24

(1.2.2)

∣

dla x=0



S

3−5

=0,0

dla x

=6 

S

3−5

=−0,25

∣

[−]

(1.2.3)

- dla pręta S

4-6

∑

M

3

=0  −30 V

C

8 H 4 S

4−6

=0

4 S

4−6

=30 V

C

−8 H

/÷4

lw S

4−6

=

15

2

lw V

C

−2 lw H

(1.2.4)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.4), wielkości wcześniej już wyprowadzone (1.1.3 i 1.1.7)

otrzymamy:

lw S

4−6

=

15

2

⋅

x

36

−2⋅

x

8

=−

x

24

(1.2.5)

∣

dla x=0



S

4−6

=0,0

dla x=6



S

4−6

=−0,25

∣

[−]

(1.2.6)

- dla pręta S

3-6

Do obliczeń potrzebować będziemy kąt zawarty między krzyżulcami a pasem dolnym prętów kratownicy

(Rys.1.2.1).

tg =

4

6

 =arctg

4

6

=33,69

o

Stąd:

sin =0,5547

cos =0,8320

(1.2.7)

∑

Y =0 

V

C

S

3−6

⋅sin =0

S

3−6

⋅sin =−V

C

/÷sin 

lw S

3−6

=−

1

sin 

lw V

C

(1.2.8)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.8), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.3)

otrzymamy:

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

lw S

3−6

=−

x

36 sin 

(1.2.9)

∣

dla x=0



S

3−6

=0,0

dla x=6



S

3−6

=−0,3

∣

[−]

(1.2.10)

2

o

Gdy siła „P” działa na węzły, położone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), czyli

x ∈ 〈12 , 36 〉

4

4

8

18

18

36

6

6

6

6

x

2

1

3

4

-

6

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

S

4

3

-

5

S

3

-

6

S

6

6





x ∈ 〈12 , 36 〉

Rys. 1.2.2 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła

„P”działa na węzły położone na prawo od nich

Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):

- dla pręta S

3-5

∑

M

6

=0  12 V

A

−4 H 4 S

3−5

=0

4 S

3−5

=4 H −12 V

A

/÷4

lw S

3−5

=lw H −3 lw V

A

(1.2.11)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.11), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.1)

otrzymamy:

lw S

3−5

=lw H −3



1−

x

32



=

x

12

−3lw H

(1.2.12)

Celowo nie podstawiono równania za linie wpływu reakcji „H”, gdyż zależnie od położenia siły „P” w

stosunku do przegubu jest ono inne. W ten sposób ponownie musimy rozpatrzyć dwa następujące przypadki:

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

2

o

1

o

Gdy siła „P” działa na węzły położone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na lewo od

przegubu, czyli

x ∈ 〈12 , 18 〉

. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyrażona będzie wzorem

(1.1.7) a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:

dla x ∈ 〈12 , 18 〉



lw H =

x

8

lw S

3−5

=

x

12

−3

x

8

=

5 x

24

−3

(1.2.13)

∣

dla x=12



S

3−5

=−0,5

dla x=18



S

3−5

=0,75

∣

[−]

(1.2.14)

2

o

2

o

Gdy siła „P” działa na węzły położone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na prawo

od przegubu, czyli

x ∈ 〈18 , 36 〉

. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyrażona będzie

wzorem(1.1.10), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:

dla x ∈ 〈18 , 36 〉



lw H =−

x

8



18

4

lw S

3−5

=

x

12

−3

x

8

−

x

8



18

4

=−

x

24



3
2

(1.2.15)

∣

dla x=18



S

3−5

=0,75

dla x=36



S

3−5

=0,0

∣

[−]

(1.2.16)

W przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.2.14), równa jest

wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.2.16).

- dla pręta S

4-6

∑

M

3

=0  6 V

A

−8 H −4 S

4−6

=0

4 S

4−6

=6 V

A

−8 H

/÷4

lw S

4−6

=

3
2

lw V

A

−2 lw H

(1.2.17)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.17), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.1)

otrzymamy:

lw S

4−6

=

3
2



1−

x

36



−2 lw H =−

x

24



3
2

−2 lw H

(1.2.18)

Analogicznie jak dla pręta S

3-5,

ponownie musimy rozpatrzyć dwa następujące przypadki:

2

o

1

o

Gdy siła „P” działa na węzły położone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na lewo od

przegubu, czyli

x ∈ 〈12 , 18 〉

. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyrażona będzie wzorem

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

(1.1.7), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:

dla x ∈ 〈12 , 18 〉



lw H =

x

8

lw S

4−6

=−

x

24



3
2

−2⋅

x

8

=−

7 x

24



3
2

(1.2.19)

∣

dla x=12



S

4−6

=−2,0

dla x

=18 

S

4−6

=−3,75

∣

[−]

(1.2.20)

2

o

2

o

Gdy siła „P” działa na węzły położone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), ale na prawo

od przegubu, czyli

x

∈ 〈18 , 36 〉

. W takim przypadku linia wpływu reakcji „H”, wyrażona będzie

wzorem(1.1.10), a linia wpływu siły normalnej w rozpatrywanym pręcie przyjmie następującą postać:

dla x ∈ 〈18 , 36 〉



lw H =−

x

8



18

4

lw S

4−6

=−

x

24



3
2

−2



−

x

8



18

4



=

5 x

24

−

15

2

(1.2.21)

∣

dla x=18



S

3−5

=−3,75

dla x=36



S

3−5

=0,0

∣

[−]

(1.2.22)

W przegubie (czyli dla x = 18) wartość wyliczona dla układu z jego lewej strony (1.2.20), równa jest

wartości wyliczonej dla układu z prawej strony przegubu (1.2.22).

- pręta S

3-6

∑

Y =0 

V

A

−S

3−6

⋅sin =0

S

3−6

⋅sin =V

A

/÷sin 

lw S

3−6

=

1

sin 

lw V

A

(1.2.23)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.16), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.1)

otrzymamy:

lw S

3−6

=

1

sin 

⋅



1−

x

36



(1.2.24)

∣

dla x=12



S

3−6

=1,2

dla x=36



S

3−6

=0,0

∣

[−]

(1.2.25)

1

o

Gdy siła „P” działa na węzły, położone na lewo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.1), czyli

x ∈ 〈0 , 6 〉

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

5

-

6

S

4

4

8

18

18

36

6

6

6

6

x

2

1

3

6

-

8

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

S

4

3

-

5

S

6

6

x

0 , 6

Rys. 1.2.3 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy sił „P”

działa na węzły położone na lewo od nich

Liczymy równowagę z prawej strony (łatwiej - mniej składowych równania):

Y

0

V

C

S

5

−

6

0

S

5

−

6

V

C

lw S

5

−

6

lw V

C

(1.2.26)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.26), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.3)

otrzymamy:

lw S

5

−

6

x

36

(1.2.27)

dla x 0

S

5

−

6

0,0

dla x 6

S

5

−

6

0,17

(1.2.28)

2

o

Gdy siła „P” działa na węzły, położone na prawo od rozpatrywanych prętów (Rys.1.2.2), czyli

x

12 , 36

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

x

5

-

6

S

4

4

8

18

18

36

6

6

6

6

2

1

3

6

-

8

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

S

4

3

-

5

S

6

6

x

12 , 36

Rys. 1.2.4 Rozpatrywana kratownica wraz z zaznaczonymi siłami wewnętrznymi w badanych prętach, gdy siła „P”

działa na węzły położone na prawo od nich

Liczymy równowagę z lewej strony (łatwiej - mniej składowych równania):

Y

0

V

A

S

5

−

6

0

S

5

−

6

V

A

lw S

5

−

6

lw V

A

(1.2.29)

Po podstawieniu do powyższego równania (1.2.29), równania wcześniej już wyprowadzonego (1.1.1)

otrzymamy:

lw S

5

−

6

x

36

1

(1.2.30)

dla x 12

S

5

−

6

0,67

dla x 36

S

5

−

6

0,0

(1.2.31)

Linie wpływu siły normalnej w tym pręcie, można wyliczyć w analogiczny sposób jak dotychczas. Można ją

jednak wyznaczyć bez liczenia, poprzez teoretyczną analizę. Zauważmy, że jeżeli w nieobciążonym węźle
schodzą się tylko dwa pręty, są to pręty zerowe. Czyli rozpatrywany pręt jest prętem zerowym gdy siła „P”
przyłożona jest poza przedziałem x ε <18,24), tzn. gdy nie działa w węźle 7. Jeżeli jednak stanie w tym
węźle to cały skutek jej działania przejmie rozpatrywany pręt (będzie on ściskany). W przedziale między

x

18 , 24

zakładamy, że linia wpływu rozpatrywanego pręta zmienia się liniowo.

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater

4

4

8

18

18

36

6

6

6

6

x

36

-

x

1

2

1

3

4

-

6

6

8

10

12

5

7

9

11

13

14

S

4

3

-

5

S

3

-

6

S

5

-

6

S

6

6

7

-

8

S

lw

lw

lw

lw

lw

lw

lw

lw

lw

lw

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0,17

0,67

0

0

0

0

0,30

1,20

0,25

3,75

0,75

0,50

0,25

2,25

1

−

x

36

x

36

x

8

18

4

−

x

8

−

x

24

5 x

24

−

3

−

x

24

−

x

36 sin



x

36

−

x

24



3
2

−

7 x

24



3
2

5 x

24

−

15

2

1

sin



⋅

1

−

x

36

x

36

−

1

Rys. 1.3.1 Zestawienie wyników

Krzysztof Tymper Mechanika Budowli Projekty

AlmaMater