MODELOWANIE I SYMULACJA

Modelowanie liniowego układu dyskretnego

Wyznaczyć rozwiązanie analityczne opisujące ruch liniowego układu dyskretnego przedstawionego
na rysunku

gdzie m oznacza masę poszczególnych ciał, k – sztywność każdej sprężyny, a x

i

, i = 1, 2, ...,5 –

przemieszczenia środków poszczególnych mas.

Kolejność postępowania:

1. Wyznaczyć energię kinetyczną i potencjalną układu wykorzystując zależności:

5

4

2

2

1

1

1

1

1

,

(

)

2

2

i

i

i

i

i

E

m

v

U

k

x

x

















2. Wyznaczyć macierz sztywności K i bezwładności M korzystając ze wzorów:

2

2

,

ij

ij

i

j

i

j

U

E

k

m

x x

v v









 

 

Uwaga: należy zadeklarować najpierw obie macierze, by następnie wyznaczyć ich elementy
w podwójne pętli

3. Wyznaczyć macierz A związaną z macierzami K i M wzorem





1

A

M K

4. Przyjąć dane liczbowe: m = 1, k = 100 i wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy A

korzystając z komendy Eigenvectors w postaci

> alpha,V:=Eigenvectors(A):

5. Korzystając z procedury sortowanie posortować wartości własne zmieniając

równocześnie w odpowiedni sposób pozycje kolumn w macierzy V, zawierającej wektory
własne macierzy A

> alpha,V:=sortowanie(alpha,V);

6. Dokonać normalizacji wektorów własnych względem macierzy bezwładności korzystając ze

wzoru (u

i

– kolumny macierzy V)





,

1, 2,...,

i

i

T
i

i

i

n





u

w

u Mu

7. Wyznaczyć częstości drgań swobodnych korzystając z komendy map ze wzoru

,

1, 2,...,

i

i

i

n

  



gdzie



i

oznaczają posegregowane wartości własne.

8. Zadać warunki początkowe w formie wektora przemieszczeń początkowych x0

zawierającego zerowe elementy i wektora prędkości początkowych v0 zawierającego
niezerową pierwszą współrzędną równą 10

> x0:=Vector(5,[0,0,0,0,0]); v0:=Vector(5,[10,0,0,0,0]);

9. Wyznaczyć analityczne rozwiązanie opisujące ruch poszczególnych mas korzystając ze

wzoru

5

1

1

2

0

. .( 0

0 )

. .

0 cos (

)

sin (

)

T

T
i

i

i

i

i

i

t

t

t



















 





 































v

x

w M x

v

w

w M x

w

10. Sporządzić wykres przemieszeń i prędkości poszczególnych mas korzystając z poniższych

komend:

> plot([seq(x[i],i=1..n)],t=0..3);
> v:=map(diff,x,t):
> plot([seq(v[i],i=1..n)],t=0..3);

11. Dokonać animacji ruchu poszczególnych mas korzystając z poniższych komend:

> seq_pkt:=seq([(j-1)*3+'x'[j],0],j=1..n);
> animate(pointplot,[[seq_pkt],symbol=box,symbolsize=50],
t=0..3,frames=100,color=red,axes=none);

12. Sporządzić wykres czasowy energii mechanicznej (E + U)

> plot(E+U,t=0..5,0..100);

13. Która ze sprężyn będzie najbardziej ściśnięta/rozciągnięta w trakcie pierwszych trzech

sekund?