Opis dynamiki liniowych układów dyskretnych

U(t) u(t)* u_s(t)

Impulsator Ekstrapolator

t

T 2T 3T 4T

Impulsator z ekstrapolatorem jest układem dynamicznym, który z sygnału wejściowego u(t) pobiera próbki u(KT) w dyskretnych chwilach czasu t=KT i zapamiętuje każdorazowo do następnej chwili impulsowania. Sygnał wyjściowy ma postać funkcji schodkowej

U_s(t)= u(KT) dla Kt<t <KT+T, k=0, +1, +2, …

Sygnał wyjściowy U_s(t) można przedstawić za pomocą funkcji

U(KT) [□(t-KT) - □(t-KT-T), która w k-tym przedziale

Przyjmuje wartość u(KT) o a w pozostałym wartość zera

□(KT)

KT (K-1)T t

□(KT-T)

Sygnał u_s(t) = $\sum_{k = 0}^{\infty}{u\left( \text{KT} \right)\lbrack{t - KT} - {t - KT - T}\rbrack}$ transformata Laplace’a tego sygnału jest równa

U*_s=$\sum_{k = 0}^{\infty}{u\left( \text{KT} \right)\lbrack\frac{1}{s}e^{- skT} - \frac{1}{s}}s^{- sT(K + T)}\rbrack = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{s}e^{- skT}\lbrack 1 - e^{- sT}\rbrack\sum_{k = 0}^{\infty}{u\left( \text{KT} \right) = \ \frac{1 - e^{- sT}}{s}\sum_{k = 0}^{\infty}{u(KT)e^{- skT}}}$

U*(s) = $\sum_{k = 0}^{\infty}{u(KT)e^{- skT}}$

H(s) = $\frac{1 - e^{- sT}}{s} \rightarrow$ transmitancje ekstrpolatora mozemy polaczyc z transmitancji ciaglego elemntu dynamicznego za ekstrapolatorem.

Dynamika obiektów i procesów dyskretnych

G₀(s) = $\frac{K}{1 + sT}$

G₁(s) = $\frac{1 - e^{- \text{sTs}}}{s}$ G₁₀ = G₁⦁G₀ = $\frac{1 - e^{- sTs}}{s}\frac{k}{1 + sT} = \ \frac{k(1 - e^{- sTs})}{s(1 + sT)}$

Rozkładamy G₁₀ na ułamki proste

G₁₀ = k(1—^sTs)$\frac{1}{s(1 + sT)} = k\left( 1 - \ e^{- sTs} \right)\frac{\frac{1}{T}}{s\left( 1 + s \right)} = \ k\left( 1 - e^{- sTs} \right)\left( \frac{a}{s\left( a + s \right)} \right) = \ k\left( 1 - e^{- sTs} \right)\left( \frac{A}{s} + \frac{B}{\left( a + s \right)} \right) = \ k(1 - e^{- sTs})(\frac{1}{s} - \frac{1}{(a + s)}$

a=$\frac{1}{T}$

A(a+s) + Bs = a

Aa+As+Bs=a

Aa=a ->A=1

A+B=0 B=-A=-1

Przekształcić G₁₀(s) na transmitancję dyskretną G₁₀(2)

Z=e^sTs

G₁₀=G₁⦁G₀ = $\frac{1 - e^{- \text{sTs}}}{s}$⦁$\frac{k}{1 + \text{sT}} = \frac{e^{\text{sTs}} - 1}{e^{\text{sTs}}}\frac{k}{s\left( 1 + \text{sT} \right)\ } = \ \frac{e^{\text{sTs}} - 1}{e^{\text{sTs}}}$k$\lbrack\frac{1}{s} - \frac{1}{a + s}\rbrack$

G₁₀(2) = $\frac{z - 1}{z}2\left\lbrack \frac{k}{s} - \frac{k}{a + s} \right\rbrack = \frac{z - 1}{z}\frac{\text{zK}}{z - 1} - \frac{z - 1}{z}\frac{\text{zK}}{z - d} = \frac{z - 1}{z}k\left\lbrack \frac{z}{z - 1} - \frac{k}{z - d} \right\rbrack = k\frac{1 - d}{z - d} = k\frac{1 - e^{\frac{- Ts}{T}}}{z - e^{\frac{- Ts}{T}}} = 1\frac{1 - e^{\frac{- 1}{1}}}{z - e^{\frac{- 1}{1}}} = \frac{1 - 0,3678}{z - 0,3678} = \frac{0,63212}{z - 0,3678}$