Laboratorium z Mechaniki Płynów nr 2

„Pomiar natężenia przepływu w przewodzie pod ciśnieniem i korycie otwartym”

„Wyznaczanie liczby Reynoldsa”

1. Cel ćwiczenia:

Poznanie zasad działania niektórych przyrządów pomiarowych, mających na celu określenie natężenia przepływu oraz zorientowanie się co do dokładności tych przyrządów, w szczególności określenie wysokości strat przepływu na odcinku przewodu z wodomierzem.

Badanie przepływu cieczy. Uwzględniano przepływ laminarny, turbulentny oraz przejściowy pomiędzy tymi dwoma. Oprócz tego celem było również wyznaczenie dolnej i górnej krytycznej liczby Reynoldsa (Re

2. Wprowadzenie teoretyczne:

1. Podstawy teoretyczne dotyczą własności mierniczych oraz zasad działania następujących przyrządów pomiarowych:

• zwężka Venturiego,

• kryza ostrokrawędziowa (ISA),

• wodomierz skrzydełkowy,

• przelew trójkątny,

• naczynie pojemnościowe.

Kryza ostrokrawędziowa ISA

Kryza ISA jest cienką tarczą z otworem, ustawioną prostopadle do kierunku przepływu w przewodzie. Zwężenie strumienia rozpoczyna się tuz przed kryzą i dzięki istnieniu sił bezwładności, strumień zwęża się nadal, aż do przekroju minimalnego za kryzą. Dalej rozszerza się stopniowo wypełniając cały przekrój przewodu. Przed i za kryzą tworzą się strefy ruchu wirowego, przy czym strefa wirów za kryza jest większa niż przed nią. Ciśnienie strumienia przy ściance przewodu wiąż wzrasta przed kryzą i zmniejsza się do minimum za kryzą w największym przekroju strumienia. W miarę rozszerzania się strumienia jego ciśnienie przy ściance znów się zwiększa, ale nie osiąga pierwotnej wartości. Stratę ciśnienia tłumaczy się głównie stratą energii na tarcie i powstawanie wirów.

Porównując ze sobą, za pomocą równania Bernoulliego, przekroje przewodu w miejscu, gdzie kryza nie ma jeszcze wpływu na charakter strumienia oraz w miejscu największego przewężenia oraz korzystając ze wzoru na objętościowe natężenie przepływu nieściśliwego otrzymujemy:

Co ostatecznie daje nam wzór na do obliczeń natężeń przepływów dla płynów nieściśliwych w kryzie:

gdzie:
= 9,80665 m/s²

- różnica wskazań manometru [m]

- liczba przepływu dla kryzy ISA

- pole przekroju poprzecznego otworu kryzy [m²]

Zwężka Venturiego

W zwężce Venturiego można wyodrębnić trzy elementy konstrukcyjne:

-odcinek stopniowego zmniejszania przekroju poprzecznego przewodu (konfuzor),

-fragment przewodu o stałym, zmniejszonym przekroju,

-rozszerzenie przekroju poprzecznego do poprzednich wymiarów (dyfuzor).

Taka budowa zwężki powoduje znacznie mniejsze zaburzenia przepływu, a co za tym idzie - mniejsze straty energii, niż w przypadku kryz i dysz.

Konstrukcja zwężek pomiarowych umożliwia określenie wydatku w sposób pośredni - na podstawie zmian parametrów przepływu (ciśnienia i prędkości) przy przejściu cieczy przez zwężenie. Wykorzystano tu zjawisko zmiany energii potencjalnej w kinetyczną i związane z tym zmniejszenie ciśnienia na zwężonym odcinku przewodu. Na podstawie pomiaru różnicy ciśnień przed zwężeniem i w zwężeniu, można określić prędkości przepływu i wydatku przewodu. Aby tego dokonać przyjmuje się uproszenia, pomijając:

1. stratę ciśnienia (która jest miarą straty energii mechanicznej) spowodowaną zawirowania powstającymi w obrębie zwężki,

2. nierównomierny rozkład prędkości w przekroju strumienia,

3. niedokładność pomiaru różnicy ciśnień.

Dlatego też wprowadzany jest współczynnik α zwany współczynnikiem wydatku lub liczbą przepływu danej zwężki pomiarowej, który uwzględnia te uproszczenia.

Aby zwężka mogła być zastosowana jako urządzenie pomiarowe, należy określić teoretyczny wydatek Q_teor oraz współczynnik przepływu α.

gdzie:
- liczba przepływu dla zwężki Venturiego

- pole powierzchni przewężenia w zwężce Venturiego [m²]

Liczbę przepływu α odczytujemy z tablic, wiedząc iż zależy ona od modułu zwężki: α_zV = α(m), gdzie:

Oraz dla Kryzy ISA również od liczby Reynoldsa: α_k = α(Re, m),

gdzie:
- szybkość przepływu cieczy w przewodzie [m/s²]

- średnica przewodu [m]

- kinematyczny współczynnik lepkości (zależny od temperatury) - odczyt. z tablic

Wodomierz

Jest to powszechne urządzenie rejestrujące pobór wody w budynkach mieszkalnych składa się on z odpowiednio wytarowanej turbinki oraz zestawu zegarów, zliczających sumaryczna objętość przepływu. Wodomierz wraz z odcinkiem przewodu doprowadzającego i odprowadzającego stanowi nierozbieralną całość i jest wmontowany do przewodu. Pomiar natężenia przepływu polega na pomiarze czasu t, w ciągu którego wskazówka na zegarze główny dokonuje pełnego obrotu, co odpowiada przepływowi określonej objętości cieczy V=0.1
.

Natężenie przepływu oblicz się z zależności:

Wodomierz wywołuje jednak znaczną stratę miejscową zależną od przepływu. Można ją policzyć ze wzoru:

gdzie:
- średnica przewodu [m].

Przelew trójkątny

Jest to urządzenie do mierzenia przepływu w korytach otwartych, składające się z dwóch zbiorników o różnych wysokościach, połączonych ze sobą progiem o, wyprofilowanym w naszym przypadku, kształcie trójkąta równoramiennego o kącie rozwarcia α=45°. Za pomocą piezometru zamocowanego do skrzyni przelewowej dokonujemy pomiaru różnicy wysokości pomiędzy wierzchołkiem trójkąta, a poziomem lustra wody. Pomijając prędkość cieczy dopływającej do przelewu ogólny wzór na wydatek przelewu ma postać:

Który dla warunków ćwiczenia
,
wynosi:

Ostatecznie wzór dla wykorzystywanego w ćwiczeniu przelewu trójkątnego przybiera postać:

gdzie:
- współczynnik wydatku przelewu trójkątnego z kątem rozwarcia 45⁰,

- szerokość zwierciadła wody na przelewie na głębokości z, pod swobodnym

zwierciadłem cieczy [m],

- wzniesienie zwierciadła wody górnej nad koronę przelewu [m],

- zagłębienie rozpatrywanego przekroju pod zwierciadłem cieczy [m].

Naczynie pojemnościowe

Urządzenie to składa się z naczynia o znanym przekroju A_np do którego napływa stale woda. Pomiar polega na zmierzeniu czasu, w którym poziom wlewającej się cieczy podniósł się w naczyniu, a zatem na skali wodowskazowej o różnicę wysokości H. Natężenie przepływu liczymy z zależności:

4. Liczba Reynoldsa jest kryterium podziału przepływów na laminarne i turbulentne. Dla danego przepływu liczna Reynoldsa zależy od gęstości płynu, jego lepkości oraz natężenia przepływu (czyli średnicy przekroju oraz prędkości strumienia).

Rys. 1. Rodzaj przepływu w zależności od Re

Poniżej dolnej krytycznej liczby Reynoldsa mamy przepływ laminarny. Po jej przekroczeniu przepływ zaczyna się stopniowo burzyć, aż w momencie przekroczenia górnej krytycznej liczby Reynoldsa staje się całkowicie turbulentny.

Rys. 2. Rodzaje przepływu

W przepływie laminarnym płyn oraz wektory prędkości układają się warstwowo, natomiast wraz ze wzrostem wartości liczby Reynoldsa ruch płynu staje się coraz bardziej zaburzony, cząsteczki `wędrują' po całej szerokości przepływu, a wektory prędkości są bardzo różnie ułożone, choć ich wypadkowa jest zgodna z kierunkiem przepływu.

3. Opracowanie wyników:

Tabela zestawienia pomiarów w protokole:

	Zwężka Venturiego					Kryza ISA						Wodomierz
Numer pomiaru:	h1 [mm]	h2 [mm]		h [mm]		h2 [mm]		h1 [mm]		h [mm]		h1 [mm]		h2 [mm]		h [mm]	V [m^3]	t [s]
1	195	-205		400		-150		52,5		202,5		114		-185		299	0,1	54,67
2	192	-202		394		-147		72		219		115		-186		301	0,1	56,69
3	159	-170		329		-124		62		186		94		-164		258	0,1	62,06
4	118	-132		250		-91		48		139		69		-136		205	0,1	71,72
5	99	-110		209		-75		40		115		54		-119		173	0,1	76,43
6	52	-65		117		-40		28		68		21		-85		106	0,1	104,07
7	38	-51		89		-22		22		44		6		-70		76	0,1	124,50
8	21	-36		57		-12		18		30		-3		-61		58	0,1	153,45
9	8	-25		33		-5		15		20		-12		-49		37	0,1	201,62
10	-5	-14		9		5		15		10		-25		-36		11	0,1	419,10
	Naczynie pojemnościowe								Przelew trójkątny
Numer pomiaru:			t [s]				Hnp [mm]		H0 [mm]		H1 [mm]		Ht [mm]
1			15,31				100		740		800		960
2			15,5				100		740		799		59
3			16,19				100		740		796		56
4			17,41				100		740		792		52
5			19,97				100		740		790		50
6			27,72				100		740		779		39
7			33,06				100		740		774		34
8			32,81				100		740		769		29
9			51,03				100		740		765		25
10			103,63				100		740		755		15

Błąd pomiarowy na manometrach różnicowych: bł. Δh = 3mm = 0,003m

Błąd pomiarowy na stoperze: bł. t = 1s

Błąd pomiaru wysokości w przelewie trójkątnym: bł. ΔH_t = 0,2mm = 0,0002m

Temperatura wody: t = 18,5^oC; T = 291,65 K

Gęstość wody w temperaturze 297,65 K: ρ_H2O = 998,275 kg/m³

Gęstość rtęci w temperaturze 297,65 K: ρ_Hg = 13549,1 kg/m³

Średnica kryzy: d_k = 21,5 mm; d_k = 0,0215 m

Średnica przewodu przed zwężką: d₁ = 0,035 m;

Średnica zwężki: d₂ = 15 mm; d₂ = 0,015 m

Średnica przewodu: d = 40 mm; d = 0,04 m

Przyspieszenie ziemskie: g = 9,80665 m/s²

1. Przebieg doświadczenia

Układ pomiarowy składa się z układów przewodów ciśnieniowych, wraz z umieszczonym za nim korytem otwartym ze zbiornikiem górnym, oraz zrzutem do danaidy i naczynia pojemnościowego. Przyrządy pomiarowe umieszczone w układzie i wykorzystane w doświadczeniu:

1. Naczynie pojemnościowe

2. Zwężka Venturiego

3. Kryza ostrokrowędziowa ISA

4. Przelew trójkątny

5. Wodomierz

Po powolnym uruchomieniu przepływu zaworem zasilającym dla maksymalnego możliwego przepływu odczytano wskazania mierników. Po zanotowaniu wyników zmieniono przepływ i po ustaleniu się ruchu cieczy powtarzano kolejne serie odczytów(w naszym Przypadku10). Mając komplet danych pomiarowych policzono parametry dane w temacie ćwiczenia.

1. Pomiary natężenia przepływu dla:

1. Naczynia pojemnościowego:

Przykładowe obliczenia dla pomiaru pierwszego:

Pozostałe obliczenia stablicowano:

Nr pomiaru	H [m]	t [s]	Qteor [m^3/s]⋅10^-3
1	0,1	15,310	1,6329
2	0,1	15,500	1,6129
3	0,1	16,190	1,5442
4	0,1	17,410	1,4360
5	0,1	19,970	1,2519
6	0,1	27,720	090188
7	0,1	33,060	0,75620
8	0,1	32,810	0,76196
9	0,1	51,030	0.48991
10	0,1	103,630	0,24124

Ponieważ wartość przepływu uzyskana za pomocą naczynia pojemnościowego jest najdokładniejsza uznawana będzie za wartość teoretyczną, bezbłędną i na jej podstawie dokonywane będą obliczenia współczynników przepływu pozostałych urządzeń.

2. Zwężka Venturiego:

Aby wyznaczyć liczbę przepływu należy obliczyć moduł zwężki α_zV = α(m),:

A następnie korzystając ze wzoru znalezionego w tablicach liczymy:

Przekrój zwężki ma kształt koła zatem:

Przykładowe obliczenia liczby przepływu dla pomiaru pierwszego:

Jeszcze obliczenia na jednostkach, by sprawdzić, czy wszystko się zgadza:

Przykładowe obliczenie błędu bezwzględnego i względnego za pomocą różniczki zupełnej dla pomiaru pierwszego:

Zakładając, że główny błąd pomiarowy leży w dokładności odczytu na manometrze różnicowym liczymy:

1. Błąd odczytu dla manometru różnicowego wynosi: Δh_1,2 = 0,003m, ponieważ we wzorze wykorzystujemy różnicę pomiarów, zatem ostateczny błąd jest sumą dwóch błędów odczytów i wynosi: Δh = 0,006m

2. Błąd odczytu gęstości rtęci oraz wody jest zależny od błędu odczytu temperatury ΔT=0,5K, na podstawie analizy tablic wynosi: Δρ_H2O = 0,096 kg/m³ oraz
   Δρ_Hg =1,25 kg/m³

Błąd względny:

Reszta obliczeń została stablicowana:

Zwężka Venturiego
Numer pomiaru	h [m]	QzV [m^3/s] ⋅10^-3	ΔQ [m^3/s] ⋅10^-3
1	0,407	1,801	0,0136	0,85%
2	0,394	1,787	0,0138	0,77%
3	0,329	1,633	0,0138	0,68%
4	0,25	1,424	0,0143	0,43%
5	0,209	1,302	0,0149	0,40%
6	0,117	974	0,0153	0,25%
7	0,089	849	0,0150	0,12%
8	0,057	680	0,0162	1,07%
9	0,033	517	0,0173	1,22%
10	0,009	270	0,0047	0,048%

3. Kryza ostrokrwędziowa ISA

Liczbę przepływu odczytujemy z wykresu z zależności: α_k = α(Re, m), gdzie:

- odczytana z tablic z zależności od temperatury

Z tablic oczytano:

Przekrój kryzy:

Obliczenia przepływu analogicznie jak dla zwężki Venturiego zostały stablicowane. Błąd kryzy ISA jest większy od błędu zwężki Venturiego o dokładność odczytu liczby przepływu z wykresu zależności od liczby Reynoldsa i modułu kryzy, który wynosi: Δα_k = 0,002, ponadto: Δh = 0,006m, Δρ_H2O = 0,096 kg/m³ oraz Δρ_Hg =1,25 kg/m³. Zatem:

Błąd względny:

Pozostałe obliczenia stablicowano:

Kryza ISA
Nr pomiaru	h [m]	Qk[m^3/s] ⋅10^-3	ΔQ [m^3/s] ⋅10^-3
1	0,2025	1,67	0,0301	1,80%
2	0,2190	1,73	0,0293	1,69%
3	0,1860	1,60	0,0309	1,94%
4	0,1390	1,38	0,0342	2,48%
5	0,1150	1,26	0,0368	2,93%
6	0,0680	9,65	0,0457	4,73%
7	0,0440	7,77	0,0555	7,14%
8	0,0300	6,41	0,0662	10,32%
9	0,0200	5,24	0,0802	15,32%
10	0,0100	3,70	1,29E-04	4,67%

4. Przelew trójkątny:

Współczynnik przelewu trójkątnego o kącie 45^o odczytujemy z tablic i wynosi on:

Dla niego liczymy przepływ dla pomiaru pierwszego:

Błąd pomiaru wynika wyłącznie z niedokładności odczytu wysokości zwierciadła wody, czyli wartości: Δh = 0,002m, głównie ze względu na trudność idealnego zetknięcia igły miarki z lustrem wody. Liczymy go z różniczki zupełnej:

Dla pomiaru pierwszego:

Błąd bezwzględny:

Obliczenia dla pozostałych pomiarów stablicowano:

Przelew trójkątny
Nr pomiaru	h [m]	Qpt[m^3/s]⋅10^-3	ΔQ [m^3/s] ⋅10^-3
1	0,06000	51,2	0,0427	8,33%
2	0,05900	49,1	0,0,16	8,47%
3	0,05600	43,1	0,0385	8,93%
4	0,05200	35,8	0,0344	9,62%
5	0,05000	32,5	0,0325	10,00%
6	0,03900	17,4	0,0224	12,82%
7	0,03400	12,4	0,0182	14,71%
8	0,02900	83,1	0,0143	17,24%
9	0,02500	57,4	0,0115	20,00%
10	0,01500	16,0	0,00533	33,33%

5. Wodomierz:

Dokonując obliczeń dla pomiaru pierwszego:

Błąd przepływu na wodomierzy jest funkcją błędu pomiaru czasu, dla Δt = 1s:

Błąd bezwzględny:

Resztę obliczeń stablicowano:

Wodomierz
Nr pomiaru	V [m^3]	t [s]	Qw[m^3/s] ⋅10^-3	ΔQ [m^3/s] ⋅10^-3
1	0,1	54,67	1,829	0,0038	2,07%
2	0,1	56,69	1,764	0,0311	1,93%
3	0,1	62,06	1,611	0,0260	1,68%
4	0,1	71,72	1,394E	0,0194	1,35%
5	0,1	76,43	1,308	0,0171	1,37%
6	0,1	104,07	0,9609	0,0092	1,02%
7	0,1	124,5	0,8032	0,0065	0,85%
8	0,1	153,45	0,6517	0,0042	0,56%
9	0,1	201,62	0,4960	0,0025	0,50%
10	0,1	419,1	0,2386	0,0006	0,24%

Obliczenia współczynnika strat na wodomierzu:

Dla pierwszego pomiaru, dla d = 0,04m

Błąd strat liczymy z różniczki zupełnej, t.ż.:

Błąd względny liczymy:

Wodomierz
Nr pomiaru	Δh [m]	Qw[m^3/s] ⋅10^-3	ζ
1	0,299	1,097	35,935	0,731	2,04%
2	0,301	3,528	38,898	0,776	2,00%
3	0,258	9,668	39,957	0,833	2,09%
4	0,205	5,577	42,402	0,966	2,28%
5	0,173	5,234	40,637	1,018	2,51%
6	0,106	4,804	46,165	1,583	3,43%
7	0,076	3,213	47,370	2,116	4,47%
8	0,058	1,955	54,918	3,084	5,62%
9	0,037	9,920	60,481	5,125	8,47%
10	0,011	4,772	77,693	21,373	2,04%

Z wykresu możemy odczytać, że funkcja zależności strat od przepływu ma charakter malejący. Wraz ze wzrostem przepływu straty są mniej znaczące, więc wodomierz jest najbardziej precyzyjny dla pomiaru przewodów pod wysokim ciśnieniem i o dużym przepływie. Można stwierdzić, że funkcja maleje liniowo, ale dla tak małej ilości punktów pomiarowych nie jest to oczywiste.

Inne wnioski:

Liczba przepływu dla kryzy ISA znaczniej różni się od jedności niż liczba wyznaczona dla przepływu na zwężce Venturiego, a więc kryza ISA wymaga większych poprawek wyniku teoretycznego. Spowodowane jest to większym wpływem niedokładności pomiarowych niż w przypadku zwężki. Wynikają one przede wszystkim ze strat ciśnienia powstałych przez zawirowania w obrębie zwężki, a te z kolei z budowy obu tych urządzeń pomiarowych. Zwężka Venturiego ma kształt podobny do kształtu przepływu strumienia wody w przewodzie przez zwężkę, co wiąże się z mniejszymi stratami ciśnienia. Kształt kryzy odbiega od kształtu przepływu strumienia, dlatego tworzą się większe wiry za dyszą, przez co straty ciśnienia są większe.

Tak, więc zwężka Venturiego ma bardziej wszechstronne zastosowanie w systemie miernictwa. Warto nadmienić, że jest również bardziej odporna na osadzanie się zanieczyszczeń, co również przemawia na jej korzyść.

Przelew trójkątny również okazał się dość dokładnym przyrządem, niestety jego ograniczone zdolności pojemnościowe wykluczają go jako miernik bardzo dużych przepływów.

2. Przebieg doświadczenia

Rys. 3. Schemat układu pomiarowego

Układ pomiarowy składa się ze zbiornika wody z przelewem (dla utrzymania stałych warunków w zbiorniku), dozownika z cieczą fluorescencyjną oraz rury zakończonej zaworem, którym reguluje się natężenie przepływu.

Odkręcając lekko zawór i dodając ciecz fluorescencyjną możemy obserwować przepływ laminarny. Odkręcając zawór dalej, zwiększamy natężenie przepływu (a co za tym idzie, również liczbę Reynoldsa) i zaburzamy przepływ. W pewnym momencie (osiągnięcie górnej krytycznej Re) ciecz fluorescencyjna całkowicie rozpływa się w wodzie, co jest dowodem przejścia w przepływ całkowicie zaburzony (turbulentny).

Dla początkowego zaburzenia (przejście z gładkiej strużki w lekkie fale) oraz rozpłynięcia się cieczy w wodzie dokonujemy pomiarów natężenia przepływu, które posłużą do określenia dolnej i górnej krytycznej liczby Reynoldsa.

Pomiary

Mierzono czas napełnienia menzurki o pojemności max 1.75 litra. Dla obu wartości krytycznych Re wykonano po dwie serie pomiarów.

Rurka o pojemności 20mm	1	28.07s	1
		2	25.03s
	Rurka o pojemności 30mm	1	15,41s	1
		2	13,47s	1

Obliczenia

V=0,5 l = 500 cm³

D=20mm

ρ=999,24

μ=1∙10^-3 Pa∙s

Dla dolnej krytycznej Re

Natężenie i prędkość przepływu:

Dla pierwszej seri pomiarowej:

Dla drugiej Seri pomiarowej:

Dolna krytyczna liczba Reynoldsa

Gęstość wody dla 14 °C wynosi 999,24 kg/

Objętość naczynia pomiarowego wynosi

Wnioski

Przeprowadzone doświadczenie potwierdziło teoretyczne założenia. Przepływ poniżej określonej wartości liczby Reynoldsa był laminarny, czego dowodem była gładka strużka barwnika. Wraz ze zwiększaniem natężenia przepływu w pewnym przedziale wartości liczby Reynoldsa wzrastała wartość składowych prędkości prostopadłych do kierunku przepływu, aż po przekroczeniu górnej wartości krytycznej nie dało się już obserwować cieczy fluorescencyjnej ze względu na jej rozpuszczenie w wodzie.

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że dolna krytyczna liczba Reynoldsa, poniżej której przepływ jest laminarny, wynosi w przybliżeniu 1748,67. Niepewności pomiaru i obliczeń wynikają z różnych przyczyn. Jedną z nich jest niezbyt dokładny pomiar czasu. Ten zaś wynika z trudności dokładnego określenia momentu rozpoczęcia przepływu przejściowego, a później zaniku barwnika. Wpływ na to ma także czas reakcji mierzącego, a także niepewność określenie zapełnienia menzurki.

Dla uzyskania dokładniejszych wartości należałoby przeprowadzić większą liczbę pomiarów, aby uzyskać miarodajną średnią wartość czasu, a co za tym idzie, natężenia i prędkości przepływu. Konieczne byłoby również odizolowanie układu od czynników zewnętrznych, gdyż nawet lekkie wstrząsy zaburzają przebieg doświadczenia i moment przejścia z przepływu laminarnego w przejściowy i z przejściowego w laminarny.

---