Metoda eliminacji Gaussa pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiawiadomymi Ax=b. Przekształcamy w niej macierz współczynników A do macierzy trójkątnej górnej R, z której następnie obliczamy ostateczne rozwiązanie - czyli wektor x. Macierz trójkątną górną R otrzymujemy w następujący sposób: (Przez macierz (A,b) rozumieć będziemy macierz współczynników A z dodaną na końcu kolumną wyrazów wolnych b)
1. W macierzy (A,b) szukamy elementu a_r1 różnego od zera i przechodzimy do następnego punktu. Jeżeli nastomiast nie istnieje taki element to znaczy, że macierz jest osobliwa i nie możemy rozwiązać tego ukaładu.
2. Zamieniamy wiersz r-ty i pierwszy.
3. Odejmujemy od i-tego wiersza macierzy l_i krotność wiersza i-tego i pierwszego. Można to przedstawić za pomocą wzorów: (i=2,3,...,n j=2,3,...,n)

4. Następnie wywołujemy tą procedurę od punktu pierwszego rekurncyjnie dla macierzy (A',b') - czyli macierz (A,b) pomniejszoną o pierwszą kolumnę i pierwszy wiersz.

Wybór częściowy elementu podstawowego uzyskamy wybierając za element, a w punkcie pierwszym |a_r1|=max|a_i1| i=1,2,...,n
Pełny wybór elementu podstawowego poprzez |a_rs|=max|a_ij| i=1,2,...,n j=1,2,...,n Musimy przestawić wiersz r-ty i pierwszy oraz kolumnę s-tą i pierwszą (zmiany kolumn należy zapamiętać gdyż powoduje ona zamianę niewiadowmych!).
Gdy przekształcimy już macierz współczynników A do macierzy trójkątnej górnej R, oraz wektor b do wektora c możemy już wyznaczyć ostateczne rozwiązanie ze wzoru: (i=n,n-1,...,1)

Przykład, niech będzie dana macierz A oraz wektor b, z których tworzymy macierz (A,b)

Ponieważ ostatniej macierzy nie możemy już rekurancyjnie wywołać (po odcięciu górnego wiersza i prawej kolumny zostanie wektor), zatem otrzymaliśmy szukaną macierz R i wektor c, z których wyznaczamy ostateczne rozwiązanie

x[3]=0.25 x[2]=0.75 x[1]=-0.25

---